书名：非平稳随机信号的分数域分析与处理
ISBN：978-7-115-62814-5
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著 苗红霞 张 峰 彭木根
责任编辑 李 瑾
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本书主要围绕通信、雷达、生物医学等实际工程领域中常见的两种chirp型非平稳随机信号——chirp平稳信号和chirp循环平稳信号展开，详细介绍了这两种信号的分数域信号分析与处理理论及应用，为非平稳随机信号的分数域分析提供了研究框架。
本书选取以线性正则变换和分数傅里叶变换为代表的分数变换，介绍chirp平稳信号的二阶统计量定义与性质、通过线性时变系统后的统计规律及不同变换域的信息量变化规律；在此基础上，介绍这些基本原理在时变匹配滤波、时变反卷积系统设计中的应用；并介绍chirp循环平稳信号的统计量定义与估计子、经过时变系统后的统计规律；进而介绍这些基本原理在时变匹配滤波、时变系统辨识、心电信号特征提取等方面的应用。
本书注重理论，联系应用，构建了确定性和随机性chirp型非平稳信号的分数域分析理论研究框架，可作为电子信息类专业高年级本科生或研究生的教学参考书，也可供非平稳信号处理、随机信号分析、分数域信号处理等研究方向的研究人员参考。
平稳随机信号和循环平稳信号分析与处理理论相对完善，在雷达、声呐、通信、导航等众多领域中发挥着至关重要的作用，尤其是循环平稳信号理论在通信信号处理中显示了比平稳随机信号理论更好的效果。随着科学技术的发展，实际工程中遇到的信号呈现更加非平稳的随机性特征，基于平稳随机信号和循环平稳信号模型的理论甚至会产生不可接受的误差。因此，人们又发展了众多非平稳信号模型。其中，受多普勒效应的影响，在雷达、声呐、通信等领域经常产生chirp型非平稳随机信号。本书主要介绍chirp型非平稳随机信号的分析与处理。
chirp型非平稳随机信号主要包括chirp平稳信号和chirp循环平稳信号。以往研究chirp循环平稳信号的成果往往是建立在傅里叶分析的基础上的，而傅里叶分析在处理非平稳信号时的表现常常不尽如人意；研究chirp平稳信号模型的成果不能完全涵盖chirp循环平稳信号理论，信号模型较为狭义。在分析和处理chirp平稳信号的过程中引入的分数傅里叶分析为chirp循环平稳信号处理提供了启示。国内外很少有系统介绍chirp型非平稳随机信号处理的著作，本书将chirp平稳信号和chirp循环平稳信号的研究有机结合起来，巧妙地借助分数傅里叶分析来处理chirp型非平稳随机信号，旨在丰富相关研究，为两者统一建立桥梁。
本书共分为6章。第1章是本书的引论，介绍chirp平稳信号、循环平稳信号和chirp循环平稳信号的分析与处理研究进展。第2章介绍傅里叶分析与时频分析的相关概念。介绍时频分布一方面有助于理解分数变换的物理含义，另一方面与后续章节中随机信号的统计量相关联；介绍与分数傅里叶变换相关的线性时变系统，为后续chirp型非平稳随机信号处理提供基本工具。第3章首先介绍chirp平稳信号的相关概念，然后利用分数傅里叶变换定义该信号的统计量，利用这种统计量设计线性时变滤波器，最后介绍chirp平稳信号的分数谱分解。第4章介绍循环平稳信号处理的相关知识，为后续两章的chirp循环平稳信号的分析与处理提供基础知识。第5章着重介绍chirp循环平稳信号的统计量及其在滤波器设计和心电信号处理中的应用，这些工作都是从统计平均的角度对随机信号展开研究的。第6章从时间平均的角度给出chirp循环信号分析与处理的方法。
本书第2章、第4章和第5章的部分章节所涉及的知识相对成熟，已有许多相关著作，因此只介绍了与本书其他章节有关的知识点；第3章、第5章、第6章的知识相对较新，相关的著作较少，因此在本书中进行了详细的介绍。本书在撰写过程中注重对知识的归纳整理，例如，介绍分数傅里叶变换时，将分数统计量和分数多普勒放在一起对“分数”概念进行对比和区分；介绍chirp函数时，将Heisenberg序列和二值Reed-Muller放在一起对“chirp”的概念进行比较。
本书的撰写与出版获得国家自然科学基金项目（项目编号：62201078）和北京邮电大学引进人才科研启动经费的支持。书中引用了本领域国内外学者的相关研究成果，在此向他们表示深深的谢意。
随着研究的不断发展，本书难以覆盖所有新理论和新方法，且由于作者学识有限，难免有疏漏与不妥之处，敬请广大读者批评指正。
作者
2023年7月
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矩阵或向量的转置
矩阵或向量的共轭转置
线性正则变换参数矩阵
E[·] 数学期望算子
:= 记作或定义为
n! 正整数n的阶乘
rect(·) 矩形窗函数
狄拉克函数
克罗内克函数
min 最小值
max 最大值
exp 自然常数e
线性正则变换算子
分数傅里叶变换算子
信号
的线性正则变换
信号的分数傅里叶变换
chirp分量提取算子
时延参数
chirp型非平稳随机信号模型在工程实践中广泛存在。例如，在雷达信号处理中，合成孔径雷达等chirp雷达体制中发射的宽带信号是chirp型信号；在通信/声呐/雷达中，接收端与发射端存在相对匀加速运动时，接收信号呈现chirp型特征[34,40]；在光学信号处理中，由光的干涉形成的牛顿环是二维chirp信号[200]，此外，光在非均匀介质（由透镜和梯度折射率光纤组成的光学系统）中传播时，输出就是输入的分数傅里叶变换[136]；在不同轨道角动量的时间延迟脉冲驱动下，极紫外波段自扭转光束产生高次谐波[153]。chirp型随机信号可建模为chirp信号调制随机信号的形式。当chirp信号调制平稳随机信号时，可得chirp平稳信号[187]；当chirp信号调制循环平稳信号时，可得chirp循环平稳信号[123,125]。本书重点围绕这两种chirp型随机信号的分析与处理展开。
chirp型随机信号模型中的chirp调制项会产生时变统计量中时间参数的chirp调制项、时延参数的chirp调制项和时间时延参数耦合项。chirp型随机信号是非平稳随机信号，其相关函数、矩、功率谱等统计量随时间变化，难以刻画信号特征。特别地，信号模型中的乘性chirp函数项带来统计量中有关时间参数的chirp调制项、时延参数的chirp调制项和时间时延参数耦合项，给chirp型随机信号分析与处理带来困难。傅里叶分析的基函数都是正弦信号，与chirp循环平稳信号的统计量中的chirp调制项不匹配，给chirp型随机信号分析带来困难。例如，chirp循环平稳信号的循环频率集为空集或不可数集。具体来讲，在傅里叶分析框架中，奇数阶次和部分偶数阶次的chirp循环平稳信号的循环频率集为空集，因为其循环矩（循环累积量）恒为零[89]，进而无法通过该统计量来提取chirp循环平稳信号中所包含的信息。其他偶数阶次的chirp循环平稳信号的循环频率集是不可数的，不仅如此，其循环矩谱（循环累积量谱）因受chirp调制项的影响而呈现宽带特征，不便于后续参数估计等应用。分数变换的基函数是chirp型函数（线性调频正交基），已经在chirp型确定信号处理中广泛应用并发挥了巨大优势。在chirp型随机信号处理方面，分数变换已经应用于二阶chirp平稳信号的研究，例如基于分数傅里叶变换构建了符合chirp平稳信号特征的二阶统计量（分数相关和分数功率谱）[187]，这些统计量在滤波和参数估计中取得了比基于傅里叶分析更好的效果[172]。分数变换的基函数与chirp循环平稳信号的统计量表达式形式匹配[94,104,105]，也已经引入chirp循环平稳信号分析中，此工作为精确分析通信、雷达和声呐信号并提取更加精准的信息奠定了理论基础。
chirp平稳信号的概念在2008年才被明确提出[187]。北京理工大学陶然教授团队和哈尔滨工程大学的史军教授在chirp平稳信号处理方面做了大量工作。首先，陶然教授团队基于分数傅里叶变换研究chirp平稳信号[187,203]，定义了分数相关函数和分数功率谱函数，并分析了chirp平稳过程的这两个特征经过线性时变滤波器后的变化规律，并将之用于雷达信号参数估计和系统辨识中。随后，史军教授从线性正则变换的角度来研究chirp平稳信号的统计量，因为线性正则变换是分数傅里叶变换的广义形式，所以正则相关函数和正则谱函数分别是分数相关函数和分数功率谱函数的广义形式[172]。作者将这些统计量用于匹配滤波器设计，并讨论其在合成孔径成像激光雷达脉冲压缩技术中的应用和在提升冲击雷达距离分辨率中的应用，讨论这些统计量与广义模糊函数之间的关系，推动了匹配滤波在理论和应用方面的发展。在最优滤波器设计方面，史军教授结合chirp平稳信号的采样问题提出了优化滤波技术[170]，推动了最优滤波理论的发展。其他学者也有关于该信号的研究，文献[204]结合chirp循环平稳信号的二阶统计量，研究了chirp平稳信号的采样问题等。这些工作都是针对chirp循环平稳信号的二阶统计量展开的，关于chirp平稳信号的分数域高阶矩的定义和性质有初步研究[10]，并在参数估计中发挥了作用。
台湾大学Soo-chang Pei教授研究了随机信号的相关函数与信号做分数傅里叶变换后相关函数之间的关系[136]，但是该工作没有介绍随机信号的分数傅里叶分解的条件和性质。哥伦比亚桑坦德工业大学R.Torres博士基于另一种分数相关和魏格纳-维利（Wigner-Ville）分布在分数域分析和研究随机信号[189]，但是其研究工作是基于随机信号每个样本函数（确定函数）的分数傅里叶变换展开的。在实际应用中只能得到随机信号的部分样本函数，但是为了全面研究随机信号，从理论上分析chirp循环平稳信号的可分解性是这些工作的前提条件。另一方面，随机信号在确定性基函数上的展开依然具有随机性，建立时域中随机信号与其在变换域所对应的随机信号之间的关系具有重要意义。
平稳随机信号的谐波分解研究是基于其相关函数的谐波分解得出的，相关函数是确定函数，这种利用确定信号的谐波分解指导随机信号谐波分解的方法很有借鉴意义。平稳随机信号一定可以谐波分解，其在频域的分量构成了正交过程[37,107,134,148,149]，并且应用于癫痫信号检测[108]。有了前述方法论，循环平稳的谐波分解和其相关函数的谐波分解几乎是同时期开展研究的，其中循环平稳信号可分解为平稳信号的加和[87]，这些平稳过程是等带宽的，并且所占的频带互不重叠。振荡平稳过程[147]也是基于正交过程的分解，其幅值是受低频信号调制的正弦波，在此基础上，提出了振荡几乎循环平稳过程模型，其分解分量是几乎循环平稳过程[116,125]。本书将补充讲解基于分数变换基函数的随机信号的分解。
基于二阶统计量的chirp平稳信号分析核心是把时变的二维相关函数转化为时不变的一维分数相关函数（见图 1.1），进而，可通过分数功率谱提取信号在分数傅里叶变换域的特征。
（a）自相关函数
（b）分数相关函数
图1.1 chirp平稳信号处理示意图
循环平稳信号是一种非平稳随机信号，其统计量随时间参数周期变化，这类信号常产生于通信、雷达、声呐和旋转机械等系统中[8]。信号的期望随时间周期性变化的信号称为一阶循环平稳信号，信号的相关函数随时间参数周期性变化的信号称为二阶循环平稳信号，以此类推，信号的k阶矩随时间周期性变化的信号称为k阶循环平稳信号。数字通信中的振幅、相位、频率键控信号[174,207]，旋转机械、电视、传真及雷达系统中的各种周期扫描或往复的机械运动都会产生具有循环平稳性质的信号[29,30]。循环平稳信号统计量的周期性是区别于噪声和其他非循环平稳干扰信号的主要特征[42,65,77,80,152,167]。从20世纪50年代开始，循环平稳信号处理技术日渐完善，应用领域日益扩大。文献[76][124][164]总结了近一个世纪以来循环平稳信号的发展历程和相关成果。
国际上，美国加州大学戴维斯分校W.A.Gardner教授是该领域的开创者和奠基人[65,67,68,72,73,157,158]，其博士生W.A.Brown开展了循环平稳信号二阶统计量和滤波的理论研究[38]；其博士生C.M.Spooner主要是在分时概率框架中研究高阶循环平稳信号[68,179]，并创建了以“循环平稳”为主题的博客；美国弗吉尼亚大学A.V.Dandawate在循环平稳信号的二阶及高阶统计量的估计子方面做出了巨大贡献，包括估计量的估计及其渐进性、一致性等性质分析[44,45,46,155]；意大利那不勒斯大学的N.Antonio教授基于循环频率未知的假设，提出了循环统计量的估计子并研究了其性质[117]；美国加州大学欧文分校N.J.Bershad教授、阿联酋C4 Advanced Solutions成员E.Eweda教授和巴西圣卡塔琳娜联邦大学J.C.M.Bermudez教授专注于各种条件下的循环平稳信号自适应滤波理论和应用的研究[33,55,56,57]；法国里昂大学J.Antoni教授将循环平稳信号处理理论引入旋转机械故障检测[24,25,26,205]；以色列本古里安大学R.Dabora副教授带领的团队联合以色列魏茨曼科学研究所Y.C.Eldar教授从信息论角度研究循环平稳高斯信号采样的率失真函数和含有循环平稳高斯噪声的信道容量[19,96,165,175,176]；美国伊利诺伊大学香槟分校的R.W.Schoonover博士将循环平稳信号处理应用于脉冲光场分析[160]。在国内，国防科学技术大学黄知涛团队主要研究和丰富了循环平稳信号的理论和应用体系；上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室将循环平稳信号用于近场声全息理论并用于滚动轴承故障检测[1,2,5,14]；太原理工大学李灯熬教授在循环平稳信号在盲均衡器设计和盲源分离算法研究方面取得了大量成果[9]。其他学者也为循环平稳信号处理理论做出了自己的贡献[157,159,201]。在循环平稳信号应用方面，将微多普勒信号相位的循环平稳特征用于无人机检测[210]。具体来讲，微多普勒信号可建模为正弦调频信号，即相位是正弦波函数[140]，在其他场景产生的微多普勒信号检测中有潜在的应用。此外，循环平稳信号处理理论还应用于随机幅度多项式相位信号的参数估计和检测[78,99,106,166,211]、盲源分离[20,59]等。
与平稳随机信号的应用不同，在循环平稳信号处理理论的实践方面，发展了基于时间平均的分时概率框架[51,74,109,179]。这是因为随机信号处理理论是建立在集平均的基础上，而集平均要求无数个样本实现，这在工程实际中显然是无法满足的。为了应用随机信号处理理论，经常假设信号是平稳且遍历的。遍历性假设保证了单样本观测的时间平均能够代替集平均，使得抽象的理论能够在工程实际中落实。类似地，在应用循环平稳信号处理理论时，相关学者也提出了循环遍历的概念。既然遍历信号的基于集平均的统计量与基于时间平均的统计量相等，也就是可以从单观测样本的时间平均建立一种“概率”框架[198]，那么这种框架与经典集平均框架应该有某种联系。该思想起源于维纳对于平稳随机信号时间平均的研究，他的研究工作主要针对平稳随机信号展开[198]；后在处理循环平稳信号时，以W.A.Gardner教授为主导的学者提出了以时间均值为度量的另一种“概率”框架，并建立了这种新的框架与原始概率框架之间的同构关系[86,199]。在此框架中，基于每个信号都可以建立一个“概率”框架，信号也不必是某随机信号的样本。
基于各阶统计量的循环平稳信号处理的原理是将周期时变的统计量转化为时不变的循环统计量，通过傅里叶分析，可将连续的周期时变的变量转化为可数个循环频率，在每个循环频率处分别对信号进行分析与处理。巧妙的是，循环矩谱与信号谱的矩之间存在等价关系，拓展了维纳-辛钦定理。与图1.1所表示的将时变相关函数转化为时不变分数相关函数的原理不同循环相关函数依然是二维函数，通过固定不同的循环频率分量处理循环平稳信号（如图1.2所示）。具体内容详见第4章的介绍。
（a）自相关函数
（b）循环相关函数
（c）循环相关函数
图1.2 循环平稳信号处理示意图
在高动态移动通信中，当观测时长较小时，多普勒的影响可忽略不计，但是在实际应用中涉及由样本估计统计量等物理参数，这时又要求尽可能长的观测时间（可提高信噪比或信杂比等优点），若为了增加观测时长，而忽略了模型的变化，会导致观测信号与模型不匹配，从而得到更差的分析效果[126]。另外，输入为循环平稳信号的多径多普勒信道的输出也不再严格是循环平稳信号[123]。心电等生物医学信号呈现出一定的周期性，但是又不是严格的周期性，这种信号中可能包含有随时间变化的周期分量。因此，在循环平稳信号处理的基础上发展了多种广义的循环平稳信号模型[115]。
由循环平稳模型衍生的广义模型主要包括chirp平稳过程、广义循环平稳过程、谱相关过程和振荡几乎循环平稳过程[116,125]。这4种模型分别适用于不同场景。其中，chirp平稳过程的循环频率随时延参数线性变化，适用于发送平稳随机信号且接收端相对于发送端匀加速运动场景接收的信号[187]；广义循环平稳过程是指循环频率随时延参数的变化而变化，适用于发送循环平稳信号且信号接收端与发送端存在相对运动的情景和采样间隔随时间缓慢变化的离散信号[121]；谱相关过程模型是指其谐波分解后有相关关系的分量在频-频平面呈现多斜率斜线的特征，适用于信号源与信号接收端相对匀速运动的情景[116]；振荡几乎循环平稳过程模型是建立在振荡平稳过程的基础上，振荡平稳过程是指信号的谐波分解分量是正交的，而振荡几乎循环平稳过程的谐波分解分量是几乎循环平稳的，本概念在2016年才提出[125]，因此有关其理论研究较少。从研究方法上来讲，chirp平稳信号的分析和处理与确定性chirp型信号处理方法类似，都是基于分数傅里叶分析和时频分析；而广义循环平稳过程、谱相关过程和振荡几乎循环平稳过程的研究与循环平稳信号研究方法类似，是基于傅里叶分析展开的。
本书所介绍chirp循环平稳信号是广义循环平稳信号的主要研究目标。广义循环平稳信号没有固定的模型表达式，其研究比较概念化。本书专门提出chirp循环平稳信号并通过分数傅里叶分析来研究，在理论上和实际应用中取得了比基于傅里叶分析的研究更好的结论。同时，chirp循环平稳信号也是chirp平稳信号的广义形式[120]。所以，以下从广义循环平稳信号中与chirp循环平稳相关的部分来介绍chirp循环平稳信号处理理论和应用的研究进展。
广义循环平稳信号是指循环频率随时延参数变化的非平稳随机信号，此信号的循环相关函数中循环频率和时延参数是耦合的[115,125]。特别地，循环频率随时延参数线性变化的信号称为chirp循环平稳信号[113]。循环频率随时延参数线性变化且时延参数取零值时循环频率也为零的信号称为chirp平稳信号[187]。所以chirp平稳信号是chirp循环平稳信号的子集。意大利那不勒斯大学A.Napolitano教授专注于对广义循环平稳信号基本理论的研究，在连续、离散广义循环平稳信号的采样[122,127]、统计量定义、性质及应用方面取得了一系列成果[89,117,118,119,120,121,123,125]。此外，其他学者也有关于通信中chirp循环平稳信号处理的研究，例如chirp循环平稳噪声抑制和到达时间差估计[40,194]等。
二阶平稳信号的相关函数是时延参数的一维函数，相关函数的傅里叶变换是功率谱函数。而循环平稳信号的相关函数是时间和时延参数的二维函数[76]，相关函数关于时间参数周期变化，因此适合用傅里叶级数来处理。相关函数有关时间参数的傅里叶级数展开可得循环相关函数，更进一步，循环相关函数关于时延参数的傅里叶变换是循环谱[126]。有关chirp循环平稳信号二阶统计量的研究主要包括广义循环相关函数和广义循环谱函数的定义、性质和估计子[116,121,122]，以及这些理论在雷达等信号处理[78,194]中的应用基础理论。相关函数具体分为共轭相关函数和非共轭相关函数[161,162]。因为chirp循环平稳信号的共轭相关函数中含有时间参数的二次相位项而没有一次相位项，所以基于共轭相关函数的广义循环相关函数为零，不能从此角度提取chirp循环平稳信号的特征。广义循环相关函数关于时延参数的傅里叶变换记为循环谱函数，chirp循环平稳信号的广义循环相关函数含有时延参数的二次相位项，其在频域中是展宽的，即循环谱函数是宽带的，给基于循环谱函数的研究带来不便。这些工作都是基于傅里叶分析展开的。但是由chirp循环平稳信号模型——chirp信号调制循环平稳信号——可知基于傅里叶变换分析该信号的统计量存在一定的弊端。
随机信号的高阶统计量是指矩和累积量，循环平稳信号的高阶统计量在这两者的基础上分别发展了两种新的高阶统计量：循环矩、循环矩谱和循环累积量、循环累积量谱。类似地，定义了针对广义循环平稳信号的广义循环矩、广义循环矩谱和广义循环累积量、广义循环累积量谱[89]。文献[89][120]中详细分析了这些广义循环统计量的性质。文献[127]中分析了广义循环平稳信号的采样理论。有关高阶统计量的研究，大部分是建立在广义分时概率框架[179]的基础上的。其中，chirp循环平稳信号的只有从偶数阶次且取共轭运算和非共轭运算相等的矩（累积量）定义的广义循环矩和广义累积量函数是非零的。这大大限制了信号的应用范围。即使满足上述条件的广义循环统计量，因其受时延参数的二次相位调制，经过傅里叶变换后也是展宽[89]的。所以由广义循环矩和广义循环累积量的傅里叶变换得到的广义循环矩谱和广义循环累积量谱是展宽的，携带的信息弥散在频域中。造成广义循环统计量失效的主要原因是矩和累积量中关于时间和时延参数有二次相位调制项。而分数变换恰好具有二次相位的基函数，所以通过在分数域构建新的循环统计量，有望提高这些算法的性能。
除了对信号本身进行分析，对信号经过系统后进行输出分析也是必要的。对信号经过系统后的二阶统计量变化规律进行研究，一方面可以根据系统的输出和已知的系统特性反推信号源的性质；另一方面可以通过输入输出信号特性推断滤波器的特性。在平稳随机信号处理中的匹配滤波和最优滤波（包括维纳滤波和系统辨识）等都是建立在随机信号经过系统后“谱”的变化规律上的。关于广义循环平稳信号经过时变滤波器后的各阶统计量的变化规律已有研究工作[90,91,123]。遗憾的是，当线性时变系统的输入信号为chirp循环平稳时，输出信号的二阶频域统计量为零，也就无法从信号角度开展系统性质的研究。因此，有必要寻找新的信号特征，既要能反映chirp循环平稳信号的统计量的chirp循环特征，又要使其通过线性时变系统后的统计量不为零。
本书所涉及的3种非平稳随机信号之间的关系如图1.3所示。图1.3（a）是从信号模型的角度来讲：由chirp平稳信号模型和循环平稳信号模型的定义可知，这两种信号之间没有必然的联系，兼具这两种信号特征的信号模型为chirp循环平稳信号模型。图1.3（b）是从信号统计量的分析方法上来讲：分数相关函数与循环相关函数之间存在一定的联系，它们都是对相关函数经过正弦波提取算子得到的，只不过分数相关函数中的“循环频率”是与时延变量相关的变量（详见第3章），而循环相关函数的“循环频率”不受时延变量的影响（详见第4章）。这为chirp循环平稳信号的分析提供了启示：寻找使得“循环频率”与时延变量分离的方法，使得多变量可分别分析（详见第5章）；若在某些情况下这些变量确实无法分离，那么可以利用傅里叶分析的方法进行分析（详见第5章）。
（a）信号模型角度 （b）信号分析角度
图1.3 本书介绍的3种非平稳随机信号之间的关系
