系统核与核度理论及其应用 第2版
CORE AND CORITIVITY THEORY IN SYSTEMS AND ITS APPLICATIONS
(Second Edition)
人民邮电出版社
北京
图书在版编目（CIP）数据
系统核与核度理论及其应用/许进著.--2版.--北京：人民邮电出版社，2021.12
ISBN 978-7-115-57328-5
Ⅰ.①系… Ⅱ.①许… Ⅲ.①系统理论—研究 Ⅳ.①N941
中国版本图书馆CIP数据核字（2021）第193613号
◆著 许进
责任编辑 贺瑞君
责任印制 李东 周昇亮
◆人民邮电出版社出版发行 北京市丰台区成寿寺路11号
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“系统核与核度理论”是20世纪80年代末、90年代初诞生的一种研究系统的方法，至今已有30余年历史，无论在自身理论方面，还是在应用方面，都取得了丰硕的成果。本书较系统地介绍了“系统核与核度理论”的产生背景、理论成果及其应用状况。全书共14章，第1章为绪论，第2章介绍了本书涉及的图论基础知识。第3章～第8章为理论部分，论述了系统核与核度的基本理论，核度与系统的最值网络结构，系统与补系统间的核度，核与核度的优化设计理论，子核与核度的计算，核、核度与图的连通性。第9章～第14章为应用部分，介绍了核与核度理论在神经网络、信息交流网络系统、可靠通信网络的优化设计、社交网络以及脑网络研究中的应用。
本书结构清晰，论证严谨，适合管理科学、系统科学、应用数学、社会心理学、神经网络等领域的科技人员，高等院校相关专业的教师、博士生、硕士生及本科高年级学生阅读。
谨以此书献给我敬爱的导师汪应洛院士
本书第1版于1994年出版，至今已27年。27年前，互联网刚刚露出乳牙；今天，互联网已经渗透到每个人生活的方方面面，深刻影响了人们的生活方式。互联网的出现极大地促进了社交网络的发展，并产生了多个新的科学研究热点领域，如网络信息安全、大数据、人工智能等。
本书第1版提出的系统核与核度理论，是一种刻画图与网络结构特征的新方法，涉及图与网络结构的问题，可直接或间接地运用系统核与核度理论。20多年来，系统核与核度理论在许多领域得到了应用，如社交网络中的社区发现、影响力最大化等问题。自国家颁布“十一五”计划以来，社交网络、信息安全等领域的众多国家重大研究项目都将核与核度作为重要的研究工具。
本书第1版出版27年来，众多学者在系统核与核度的理论及其应用方面做出了大量有意义的工作。作者根据自己领衔的课题组的研究新进展，和当前国内外相关领域的发展方向，在第1版基础上进行了修订。除全书行文优化外，主要增补了如下几点内容。
1.对第1版的第12章进行了更新，将内容从人际关系网络优化设计拓展到社交网络研究，增加了社交媒体用户兴趣集中度的度量方法、基于系统核与核度理论计算社交网络影响最大化两节。
2.增加了第13章，从核与核度的定义出发，建立了树核度的概念，并基于此介绍了社交网络影响最大化问题方面的研究。
3.增加了第14章，研究了基于核度理论的脑网络分析方法，该方法对精神疾病的诊断具有一定的启发作用。
在修订本书的过程中，作者的几位学生付出了辛勤劳动，他们是朱恩强、张伊凡、吴艳蕾、刘小青、周洋洋、赵栋杨、马明远、苏静、张子超、王玉、迟威、孙慧、龚音等，在此一并表示感谢。
由于时间仓促，书中难免存在缺憾甚至谬误，敬请广大读者批评指正。
许进
2021年8月22日
于北大燕园
现代社会发展的趋势是社会活动越来越复杂多变，社会活动的影响也越来越大。因而，随着社会的发展，将会出现越来越多的“大企业”系统、“大项目”系统、“大科学”系统。这些系统的特点是规模庞大、结构复杂、影响因素众多、相互关系复杂，这就迫使从事系统工程的科学工作者们面对现实，创造新的方法、新的工具和新的理论，以适应其发展。现有的系统工程理论和方法很难适应当前社会发展的需要，特别是在定量方面，以及定性与定量相结合方面。
本书作者基于大量自然现象、社会现象和理论上的需要，提出了研究系统科学的一种新方法——系统的核与核度法。这种采用定性与定量相结合的形式研究系统的新方法，能够抓住系统的关键和本质，通过核度参数进一步刻画系统的“中心”，即系统的核，为系统分析研究开辟了一个新领域。
另外，系统核与核度理论的诞生，解决了行为科学家、哲学家以及社会科学家们一直关注的难题：如何定量刻画系统的“中心”。行为科学家、哲学家以及社会科学家们一直认为系统都存在一个“中心”，那么，这个“中心”如何寻找，如何刻画？怎样给出定量分析？这些问题一直未能得到很好的解决。系统核与核度方法充分利用网络图与规划论等数学工具，较好地解决了这些问题。
系统核与核度的理论研究已经取得了比较可喜的成果，明确了核度的取值范围，给出了求核与核度的算法，获得了在核度及网络顶点数固定的条件下系统网络可能具有的最大或最小的网络结构及相应的构造方法，研究了在核与核度意义下的优化理论，并讨论了核度与连通度等参数之间的相互关系及优化问题等。
系统核与核度在应用方面也取得了较多的成果，目前已应用于可靠通信网络的优化设计、管理科学中的组织行为问题、社会心理学、信息交流网络系统等。本书作者将核与核度理论应用于人工神经网络的研究，取得了令人满意的结果。
仅在网络图为简单无向图的情况下，系统核与核度理论的研究相对成熟，希望本书能够吸引更多的读者加入这一领域的研究，使系统核与核度理论更加充实、完善，应用更加广泛，以促进我国系统科学的蓬勃发展。
汪应洛
1994年7月
仔细观察和思考自然界和现实社会中的系统，不难发现：几乎每个系统都存在若干个主要素，如果去掉它们，该系统在稳定性，甚至生存性方面将受到很大的影响。为了对这种现象进行深入、细致的研究，我们形象地称这些主要素为该系统的核，并将衡量系统核的工具称为系统的核度。实际上，对于这种现象，行为科学家、哲学家以及社会科学家们早就有所发现，他们认为每个系统都存在一个“中心”。列宁在他的《哲学笔记》中称这个“中心”为“纽结”，毛泽东在《矛盾论》中称这个“中心”为“主要矛盾”。那么，如何寻找“主要矛盾”，或者如何寻找系统的“中心”，如何定量地刻画这个“中心”，是行为科学家、哲学家以及社会科学家们一直关注的问题。作者经过多年的研究，以图论等方法为主要工具，给出了刻画系统“中心”的有效方法——系统核与核度理论。系统核与核度理论的建立和研究使我们意外地发现，这一理论不但可以作为研究系统科学的新方法和新工具，而且能够在神经网络、信息交流网络系统、社会心理学、可靠通信网络的优化设计等方面获得良好的应用，并且可以作为衡量图的连通性的参数，填补过去图的连通度方面的许多不足。
另外，系统核与核度概念的产生，受到了我国学者欧阳克智教授提出的图的相对断裂度概念和国外几位学者提出的离散数（Scattering Number）概念的启发：去掉网络图的若干个顶点，使图的连通分支数相对增大。
本书以作者的工学博士学位论文和发表的十余篇学术论文为基础，在系统主要素构成的网络图是无向连通图的基础上展开论述。关于系统主要素构成的网络图是有向并且赋权值的情况，本书没有涉及。考虑到在系统网络图是无向图的条件下，本书内容已相对完善，作者还是将所获成果集结成此书，以飨读者，希望能够起到抛砖引玉、引导讨论的效果，以促进系统核与核度理论的发展、完善，以及应用的扩大。由于作者水平有限，书中难免有错误和不足之处，敬请读者批评指正。
本书的写作得到了作者的博士生导师、西安交通大学管理学院院长、中国系统工程学会副理事长汪应洛教授，博士后导师、原西安电子科技大学校长保铮院士，硕士生导师、西北工业大学王自果教授的亲切关怀和指导；同时，西安交通大学管理学院副院长、博士生导师席酉民教授也对本书给予了热情的指导，提出了许多宝贵意见，在此一并表示衷心的感谢。
在写作本书的过程中，作者还曾得到陕西师范大学校长、作者的恩师王国俊教授，陕西师范大学数学系主任魏通荪教授，西安石油学院欧阳克智教授，西安电子科技大学吴顺君教授等的关怀和鼓励，在此一并表示衷心的感谢。
许进
1994年8月12日
于西安电子科技大学
半个多世纪以来，“系统”作为一种研究对象，引起了不同学科、不同专业学者们的兴趣和关注。特别是20世纪40年代“系统工程”“控制论”“信息论”和“一般系统论”的创立，促使众多领域的专家们“携手作战”，从不同的领域展开了对“系统”的研究。系统科学目前仍是全世界范围内科学研究与发展的中心，当下这个时代也因此被称为“系统时代”。
然而，在这个系统时代，人们对“系统”的研究并不十分清楚，对有些问题的研究才刚刚开始，或者尚未找到较好的方法。本书介绍的“系统核与核度理论”就是其中一例。“系统核”本是系统自身固有的基本属性，过去人们一直没有找到合适的方法（或工具）去刻画和描述它。本书通过应用网络图的方法，建立了一套研究系统核的方法体系。由于系统核是系统的核心、关键及主体，因此，本书介绍的系统核与核度理论自然是一种研究系统科学的新方法和新工具。
作者意外地发现，系统核与核度理论不但是研究系统科学的一种新方法，而且对可靠通信网络、社会心理学、网络图的连通性、信息交流网络系统以及神经网络等方面的研究具有非常重要的应用价值，其中有些结果弥补了前人研究的许多不足。
本章主要介绍系统核与核度理论产生的背景及系统核的概念，研究系统核的意义、基本思想，并概述目前系统核与核度理论的研究状况及研究系统方法的状况。
行为科学家、哲学家以及系统科学家们都不同程度地预感到每个系统都存在一个“中心”，或者说有一些最关键、最核心的主要素存在。对于这个“中心”，不同的人在不同的领域内选择了他们认为适当的名称。为了统一起来，本书把系统的“中心”，即该系统最关键、最核心的主要素等统称为“系统核”。如何描述、寻找系统核，它有哪些基本属性等许多问题，一直没有得到很好的解决。
对于一个给定的系统，系统的核总是存在的。有些系统的核很明显，有些则不那么明显。由于现实生活中的系统类型千姿百态，对应的系统核自然也有很多类型，这为描述系统核的研究工作带来很大的难度。
通过上文对系统核的描述性定义可以看出，系统的核应该是系统的主体、关键或核心。因此，对于一个给定的系统，寻找到这个系统的核，也就抓住了这个系统的核心或关键。这对更深入地研究系统的基本结构、基本性质等问题是非常有用的，甚至解决其他问题也会变得更加简单和容易。正如毛泽东在《矛盾论》中所指出的那样：“研究任何过程，如果是存在着两个以上矛盾的复杂过程的话，就要用全力找出它的主要矛盾。捉住了这个主要矛盾，一切问题就迎刃而解了。”由此可见，研究系统的核具有重要的现实意义，它将对系统科学的深入研究和发展起到奠基性的作用。
虽然对系统核的研究非常有用，但研究过程具有一定的难度，特别是建立数学模型，需要花费大力气去探索。本书会介绍一套研究系统核的方法体系，其基本思想并不复杂，现简述如下。
对于一个给定的系统，其核的求解可从以下角度考虑：若去掉或者破坏掉这个系统的若干个主要素，对于这个系统的破坏性最大，即可把这“若干个主要素”称为这个系统的核，并且记作S*，原系统记作X。衡量核的工具称为核度，记作h(X)，并定义为
h(X)=X-S*
其中， S*是未知的，求解核度的主要任务是寻找 S*。
基于上述思想，S*应满足
h(X)=max{X-S＇,S＇由X中的若干个主要素构成}
这就是研究系统核与核度的基本思想。
研究系统的方法可分为3类：定性方法、定量方法以及定性与定量相结合的方法。定性方法属于系统论的研究范围，它是定量研究的理论基础，而定量方法是系统工程的研究内容[1]，系统工程的方法体系基础就是运用系统思想及各种数学方法、控制理论、信息论及电子计算机等技术和工具来实现系统的模型化和最优化，进行系统分析和设计。系统工程的理论基础主要包括运筹学、控制论和信息论等。这表明，对系统进行定量分析的主要方法是用数学来建立模型，按照这种模型进行数学分析，然后再将分析的结果应用于原系统。
在研究分析系统的结构方面，主要采用的方法有解析模型法、认识图法[2]、系统动力学方法[2]、微分方程[2]、网络图论[3]、统计学[4]等。在系统建模与优化设计方面，主要采用的方法有网络图论、规划论（包括线性规划、非线性规划、网络规划、动态规划、整数规划）、对策论、排队论、储存论等。对于“大系统理论”，除了上述运筹学、控制论及信息论等工具外，人们还创造了诸如分解协调、分散、递阶控制[5]等方法。另外，除了上述对一般系统的研究外，人们还针对具有某些特性的系统创立了特殊的研究方法。已有的主要研究方法如下。
1.普利高津的耗散结构理论[6]
如果一个开放系统与外界进行着物质、信息、能量等的相互交换，在外界条件的变化达到一定的阈值时，可能从原有的混沌无序的混乱状态，转变为一种在时间上、空间上或功能上的有序状态。这种在远离平衡情况下形成的新的有序结构，普利高津（I.Prigogine）把它命名为耗散结构[6]。耗散结构理论就是研究耗散结构的性质，以及它的形成、稳定和演变规律的科学。该理论的研究对象是开放系统，而宇宙中各种系统（无论是有生命的还是无生命的），实际上无一不是与外界有着相互依存和相互作用关系的开放系统，这一理论涉及的范围之广，在科学史上是罕见的。
2.H.哈肯的协同学理论[7]
协同学理论的研究对象是一种“自组织”系统。该理论是耗散结构理论的继续与深入，是用统计力学的方法，来解决复杂系统的有序化问题。H.哈肯严格证明了在一定的条件下，有序化问题的出现是不可避免的。协同学理论目前已广泛地应用于自然科学、社会科学等许多领域。
3.邓聚龙的灰色系统理论[8]
对于一个系统，若它的内部结构清清楚楚，则称之为“白色系统”；若人们对它的内部结构全然不知，则称为“黑色系统”；若它的某些内部结构是已知的，某些是未知的，则称为“灰色系统”。关于灰色系统的研究，目前已有了不少成果（如建模理论与方法、决策分析、预测理论与方法、控制、优化等），特别在农业、工业等领域已得到非常广泛的应用。
4.吴学谋的泛系方法论
泛系方法论又称泛系理论（Pansystems Methodology），它侧重从泛系（或广义的系统、关系、对称、生克等及其联系、复合与转化）来进行多层网络型的跨域研究。它具有百科可络可乐不可罗的特点，力图筹建或显生各种学科专题与事物群里外多层再现的一种广义的经路、通信网络与交通网络。
随着社会与科学技术的不断发展，上述方法很难满足对许多维数高、结构复杂的大系统的要求，特别是钱学森等人提出的“巨系统”概念[9]，更使系统科学工作者感到，创造研究系统的新方法是一项首要的、当务之急的工作。
现实生活中的许多系统很难被纯定量地描述，而需要采用定性与定量相结合的描述与刻画方法。尤其是对巨系统理论，定性与定量相结合的方法尤为适应[9]。截至本书成稿之日，人们对这方面的研究还很少，如何建立数学模型，对复杂的巨系统进行定性、定量分析，是目前系统工程的主要问题之一。
系统核与核度理论诞生于20世纪80年代末、90年代初，正式出版的第一篇学术论文为1993年发表的《系统的核与核度理论(I)》[10]。截至本书成稿之日，该领域发表的学术论文已有近百篇。系统核与核度理论具有以下特征。
（1）该理论描述了自然界、社会实际生活中的一种基本客观现象（系统的基本属性）（见本书3.1节）；
（2）该理论作为一种定量、定性与定量相结合的系统研究方法，具有强大的生命力，为系统科学的研究开辟了一个新领域、启发了一种新思想。采用系统核与核度理论研究系统，能够抓住系统的本质、主体和关键。
（3）系统核与核度理论具有广阔的应用前景。目前这一理论已被应用于可靠通信网络、脑网络[11]、社会心理学[12]、信息交流网络系统[13]以及网络图的连通性等方面，取得了令人鼓舞的成果。
由于系统核与核度理论具有上述特征，因此刚一问世，便得到国内外学术界的高度赞扬与肯定。在1993年6月举行的“第三届中美国际图论及其应用”大会上，系统核与核度理论成为大会主题之一；新加坡的学者已将该理论的部分相关论文[14]翻译成英文，并与本书作者在这一领域开展了进一步的研究合作[15]。
目前，系统核与核度的研究工作主要包括理论与应用两个方面。理论方面，主要完成了下列工作。
（1）确定了核度的取值范围，构建了一些简单网络图的核度算法（如完全图、星图、完全k-部图、树等），见本书第3章。
（2）构建了计算联图的核度算法，讨论了简单情况下核度与网络图的结构，指出了核度与刻画网络图的连通度之间的相互独立性，研究了核与核集的若干基本性质，这些内容将在本书第3章中介绍。
（3）刻画了在给定系统主要素数量及核度的条件下，系统可能具有的最大及最小网络结构，并建立了这些结构的构造方法，这些成果在人际关系[12]、组织行为的沟通网络等方面均有较好的应用。这方面内容将在本书第4章中介绍。
（4）当一个给定系统的网络结构比较复杂时，人们往往先研究这个网络图的补网络图，然后将研究结果应用于研究原系统的性质、结构等。目前，系统的核度与补核度的相互关系已基本清晰，如核度与补核度之间的和的问题、积的问题（即 Nordhaus-Gaddum问题）。这方面内容详见本书第5章和文献[16]～文献[17]等。
（5）在目前系统核与核度的理论研究中，最核心且最主要的研究成果之一是系统核与核度的优化设计理论[18]。这套理论主要研究了在给定核值及系统网络的顶点数的条件下，网络图可具有的最大核度结构、最小核度结构及相应网络图的构造方法；在给定系统网络图顶点数、边数的条件下，系统可能具有的最大核度、最小核度及相应网络图的构造方法。值得一提的是，最小核度网络图具有非常好的应用前景，关于这方面的介绍详见本书第6章。
（6）核度的计算问题是系统核与核度理论中最基本的问题。这个问题的解决会对系统核与核度理论的深入研究产生巨大影响。本书第3章介绍了几类特殊网络图的核度计算公式或递推公式，如树、圈、路、星图、完全图、完全k-部图以及联图等。本书第7章则进一步围绕一般核度的算法进行介绍。
在应用方面，对系统核与核度的研究主要包括以下工作。
（1）图的核度的应用研究。在图论这门学科中，图的连通性是图的最基本的属性。正因为如此，目前这个领域的研究成果非常多，然而，其工具仅是图的点连通度和类似于点连通度的边连通度。作者认为，图的连通度仅刻画了图的局部连通性，并且连通度在刻画图的连通性上存在着明显的不足。图的核度不但弥补了连通度的某些不足，而且是一个从整体上刻画图的连通性的新的不变量。这些研究成果将在本书第8章中介绍。第8章不但会介绍连通度的发展概况，而且还会介绍与核度在结构上很相近的一种不变量——图的坚韧度的性质、基本特征及发展概况[19]，最后会介绍在坚韧度及核度给定条件下图的极值理论。
（2）系统核与核度理论在神经网络中的应用。神经网络是近十余年来发展十分迅速的一个科学前沿领域，它的每一个突破性进展，都将对人类社会的文明进步起到不可估量的作用。从目前发展状况与趋势来看，神经网络会对计算机科学、人工智能、脑神经科学、数理科学、信息科学、微电子学、自动控制与机器人、系统工程等领域的发展产生重要影响。
为了模拟人的脑神经网络系统的信息存储、传递和处理功能，人们已经提岀了数百种模拟（或者部分模拟）脑神经系统的神经网络模型。目前比较成熟和实用的神经网络已有数十种之多，如 Hopfield模型[20],MP 模型[21]、感知器[22]和细胞神经网络[23]。然而，从目前神经生理学与神经解剖学的应用研究成果来看，这些模型与生物神经网络有一定的差距。神经网络的拓扑结构应该是一种连通性最好的网络图。基于此，本书应用最小核度理论，设计出一种“最小核度神经网络模型”，详见本书第9章及文献[11]。为了便于读者理解，本书第9章还介绍了神经网络的基本概念及基本理论。
（3）系统核与核度理论在信息交流网络系统中的应用。信息交流（传递）是自然界和人类社会最普遍的现象。人类要生存和发展，就必须进行信息交流。20世纪40年代，人们开始以数学为工具对信息进行定量化的研究。数学家克劳德·艾尔伍德·香农（Claude Elwood Shannon）发表了题为“A Mathematical Theory of Communication”的论文[24]，标志着信息论的诞生。亚历克斯·巴弗勒斯（Alex Bavelas）从群体组织内部结构的角度研究了信息的传递[25]，给出了从拓扑结构方面研究信息传递的方式。然而，对组织结构比较复杂，特别是成员较多的情况，组织内部信息交流与传递的研究还不太成熟。本书应用系统核与核度理论给出了分析群体信息交流网络系统优劣（如信息传递的速度、准确性等）的方法，并讨论了最优信息交流网络的构造等问题，详见第10章。
（4）把系统核与核度理论应用于可靠通信网络，指出了弗兰克·哈拉里（Frank Harary）在这个领域研究中的不足，并给出了最优的可靠通信网络的构造方法和步骤，指出了分布式电路的优化设计等的问题。这方面工作的详细介绍见本书第11章。
（5）系统核与核度理论在群体人际关系研究中的应用。社会心理学的主要课题是人际关系的研究，其中群体人际关系是主要的研究内容之一。将系统核与核度理论应用于对群体（与小群体）人际关系的研究当中，大大改进和扩展了前人在这方面的工作，并提供了一种判别小群体（乃至群体）人际关系优劣的新方法，并且讨论了在不同条件下人际关系优化设计的问题等，详见第12章及文献[12]。
另外，本书第2章介绍了本书所用网络图中涉及的基本概念与定理，供读者参考。
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