让孩子自主学习数学

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书名：让孩子自主学习数学

ISBN：978-7-115-62585-4

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版　　权

著    朱用文

责任编辑 刘　朋

人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

邮编　100164 　电子邮件　315@ptpress.com.cn

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内 容 提 要

很多孩子和家长发现初中数学学习起来不像小学数学那样得心应手，这主要是因为二者有很大的不同，而这些孩子未能找到有效的方法来很好地适应这一转变。初中数学比小学数学更加深入、抽象、系统和复杂，这给孩子们的学习带来了挑战，也增加了家长的焦虑。

针对这一现实问题，本书以介绍学习方法为主线，巧妙而系统地介绍了初中数学的一些主要知识模块与解题技巧，内容涉及算术、代数、几何、函数、概率与统计等方面，注重思维方法的训练以及分析问题和解决问题的能力的培养，为欣赏数学之美并掌握数学学习的艺术敞开法门，为孩子们掌握初中数学的特点、掌握科学有效的学习方法、培养自主学习的能力和习惯、顺利地过渡到并出色地完成初中阶段的数学学习指点迷津。作者也希望本书能给家长以启迪，让他们能够消除焦虑、增强信心，从而为孩子们提供轻松的学习环境和有效的宏观指导，让孩子们自主学习、快乐成长。

本书适合初中生及其家长阅读，对于小升初的学生和家长也具有较大的参考价值。

序  言

随着时代的发展，现在的初中数学所牵扯的面非常广泛，令人惊叹。它涵盖了算术、代数、几何、函数、概率与统计等众多数学领域。虽然这些领域在小学数学中或多或少、或明或暗地有所涉及，但是从深度和广度来看，初中数学都有了很大的飞跃，比如数的概念的飞跃、从算术到代数的飞跃、从简单几何图形到复杂组合图形的飞跃、从常量到变量的飞跃、从代数和几何相对独立到代数和几何有机结合的飞跃。此外，还有思维方式的飞跃，特别是从具象思维到抽象思维的飞跃，从简单逻辑推理到相对复杂的逻辑推理的飞跃。

这些飞跃使得初中数学相对于小学数学达到了新的水平和新的高度，呈现出更广泛、更深入、更庞大、更抽象、更系统的特点。这给孩子的学习带来了极大的挑战，同时也给部分家长带来了更多的焦虑。小学学得好，不代表初中就能跟得上；小学学得不好，初中未必不能出众。

那么，如何让孩子更快地适应并更有效地学习初中数学呢？这就是作者撰写本书的初衷。

本书给出的建议很明确，那就是让孩子自主学习数学。

为什么要让孩子进行自主学习呢？简单地说，这是提升学习效果的需要，是培养学习能力的需要，是培养独立个性的需要，是培养未来的创新人才的需要。初中数学新课标将数学学习与数学教学合成在一起，整体阐述数学教学的特征，认为教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，有效的教学活动是“学生学”与“教师教”的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。

作者认为，学习是孩子的学习，孩子的学习让孩子做主。当然，家长和老师也不是完全放任孩子不管，其职责是做孩子生活上的朋友、学习上的助手，激发他们学习数学的兴趣，引导他们养成良好的学习习惯，指导他们掌握科学的学习方法。

本书以介绍数学学习方法为主线，帮助初中生理解初中数学知识的一些主要模块并掌握一些重要的解题技巧，同时也给家长和教师如何帮助孩子成长提供适当的建议，为孩子顺利过渡到初中阶段的学习并出色地完成初中阶段的数学学业提供指导，为欣赏数学之美以及领悟数学学习的艺术敞开法门。

本书共有6章，各章的主要内容如下。

第1章是关于数学学习方法的概述，强调学习方法的重要性，认为数学学习本质上是一门艺术，联系法与转化法是最为根本的学习方法。除了正向思维与反向思维的结合之外，本章还特别介绍了一种新的逻辑思维方法——转换推理法，以及与之密切相关的另一种学习方法——情景学习法。最后，还介绍了模式法与探索法。

第2章讲述分数的有趣性质、乘方与开方运算，介绍了整除和剩余、同余方程组等初等数论的知识，强调计算能力的重要性，并给出一些非常实用的速算方法，其中包括作者近年来所创立的梅花积方法与九宫速算方法。

第3章讲述代数符号的威力以及一些代数公式的抽象美和统一美。本章通过数学实验的方法讲述因式分解，通过转化法讲解代数方程和不等式的解法，最后还通过一些例题讲解了代数解题思路。

第4章通过平行、全等、相似等重要知识模块展示几何学的力量和美，通过面积法、坐标法、质点几何学等内容揭示几何与代数的结合之美，通过一些典型例题讲解几何解题思路。

第5章从动静结合的观点看待函数，用抽象和具体相结合的方法讲解函数的抽象概念及其具体表示方法，通过转换法理解三角函数、一次函数、反比例函数、二次函数等一些基本而又重要的函数，通过联系法理解函数与方程、函数与不等式的关系，最后对一些有趣的函数例题进行了解析。

第6章寄语家长，谈了帮助孩子成长以及辅导孩子学习的若干重要方面，强调做孩子的朋友，让孩子自主学习数学。

本书重点强调数学学习方法，其中讲到的数学知识点涉及教学大纲的主要内容，但并不是也不可能是全部内容。对于如何使用本书，作者给出如下具体建议。

家长主要阅读首尾两章，大致浏览其余各章，以了解方法主旨为目标。学生在初学阶段可以阅读本书中的大部分内容，也就是没有加星号标记的部分。对于一些较为深入的内容，书中用星号进行标记，其中包括初等数论的部分内容、除法的梅花积方法、面积法、质点几何，以及第3～5章的最后一节所介绍的解题思路与例题解析。学生可以在后续的提升阶段有选择性地学习这些内容。

当然，间隔一段时间重复阅读本书也是一个好方法，因为这会不断刷新你的认识，加深你的理解。要特别提醒读者朋友的是，我们一定要将注意力集中在理解基础知识上，放在欣赏数学之美以及掌握数学学习的艺术上，要在夯实基础的同时逐步领悟、积累并实践一些有效的学习方法，自主学习、独立思考、勤于探索，在扩展数学知识的同时不断提升思维水平，并逐步培养创新意识和创新能力。

让美好的数学伴随天使般的孩子们自主学习并快乐成长！

2023年于烟台大学

第1章　谈谈数学学习方法

“工欲善其事，必先利其器。”本书强调数学学习方法的重要性，因为学习方法直接决定学习效果。本章特别论述了联系法与转化法，鼓励正向思维与反向思维的结合使用，介绍了一种新的逻辑思维方法——转换推理法以及与之密切相关的情景学习法，最后提醒学生要善于利用模式法与探索法进行学习。

第1节　方法决定效果

学生要自主学习数学，必须了解数学学习方法；家长要指导孩子学习数学，也必须了解数学学习方法。这是因为学习方法直接决定了学习效果。学习得法，事半功倍；学习不得法，事倍功半。数学学习方法，简言之，贵在理解，适当记忆。

1．理解

所谓理解，就是把握知识之间的联系，既能由此及彼，又能由彼及此，做到纵横交错、新旧交融、融会贯通。围绕某个知识点，所挖掘和掌握的与其他事物的联系越多，越巧妙自然，越新颖奇特，理解便越深刻。也可以说，理解就是联系。

一要注意正反联系。既要以正观反，又要以反察正，正正反反、反反正正，如此才能明辨是非。譬如锐角、直角和钝角，不知锐何以知钝，不晓钝又何以晓锐？又如平行与相交，两条相异直线不相交就意味着平行，不平行就必然会相交。正反相互比较、相映成趣，使得概念更加清晰明了。

二要注意虚实联系。既要由实及虚，又要由虚及实，虚虚实实、实实虚虚，唯此方能对概念理解得深入而透彻。譬如，三角形的概念为头脑中的观念，可视之为虚，而文具盒中的三角板则为实，虚实互映，合二为一，于是三角形的概念在我们的头脑中就真切无比。

三要注意动静联系。既要静中观动，亦要动中察静，动中有静、静中有动、动静结合、动静自如，唯此才能静不僵化、动不晕眩。条件变化如大江东流，蜿蜒曲折，而定理和公式等则如中流砥柱，坚不可摧。譬如，三角形的三个边长可以有无穷的变化，然而其中有定律，即两边之和大于第三边；三角形的三个内角亦有无穷的变化，然而180°是其内角和不变的定数。“天高地迥，觉宇宙之无穷；兴尽悲来，识盈虚之有数。”数学中包含无穷的变化，然而体悟这些变化并玩味其中的不变与定数，自然不是悲苦，反而是快乐的事情。

说到变与不变，就要提到同与不同，因为同就是不变，而变就是不同。理解数学，要善于同中求异、异中求同。比如，全等的两个图形对应的局部都相等，然而它们可能具有不同的位置关系而难以辨识。我们在学习过程中要注意观察各种变化的情形并积累相关经验。全等与相似的关系就是异同关系最好的注脚之一：全等的两个图形必然相似，其边长对应成比例；但相似未必全等，因为比例系数一般不是1。

关于同者，我们要特别提到平行与对称。平行与对称，实际上就是在不同的方位、不同的角度或者不同的场景下展示相同或者相似的元素或内容。注意，这里所谓的平行与对称包括但不限于几何学中的平行与对称概念。平行与不平行、对称与非对称，是艺术与数学中普遍存在的一种美，也是数学学习中应该特别重视的地方。

譬如，两条平行线所对应的内错角相等，这个结论可以根据对顶角相等并结合平行的观点而获得。譬如，圆的切线与半径垂直，如果想象一个篮球被静置于地面上，就容易从对称的观点看到这个垂直关系的必然性。再如，在圆中，等弧对等弦，等弦对等弧，圆的直径平分其垂直弦，垂直平分弦的另一条弦必然是直径……对于这些定理，都可以由圆的高度对称性而获得直观的理解。在代数中，二次多项式的两个根之间也有一种对称关系，就是它们的和与积与它们的顺序无关，而且从函数图像上看，这两个根恰好关于抛物线的对称轴对称。许多代数公式也都展现出形式上的对称美。

要理解和欣赏数学，就应该特别注意数学的平行美与对称美，这是自然界中的平行美与对称美所折射出的绚烂光彩。“木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。”“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红。”“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色。”“窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。”如果说自然界的美因季节而变换，那么数学的平行美、对称美则四季皆然，千古不变。

在谈及上述思想方法的具体运用时，我们应该学会使用类比法与归纳法。

所谓类比，就是将从一种事物中发现的某种规律平行地推移到另一种事物上。比如，平面上的一个点到原点的距离的平方等于该点的两个坐标的平方和。将该结论类比到三维空间中，则有：一个点到原点的距离的平方等于它的三个坐标的平方和。类比，让我们能够比较自然地获得新知识，理解新知识。

所谓归纳，就是从一些具体的结论出发总结出一般的结论。

例如，在同一平面内，一条直线将平面分割成两个不同的区域，两条直线将平面至多分割成4个不同的区域，3条直线将平面至多分割成7个不同的区域，4条直线将平面至多分割成11个不同的区域。你看到其中的规律了吗？我们注意到，，，即每次都是用先前的区域数量加上当前直线的条数。假设（）条直线将平面至多分割成个不同的区域，则可以得到：。之所以能够有效地进行归纳，正是因为我们能够看到不同的具体对象之间存在一些类似的或者说平行的关系。因此，归纳有助于探索、发现，有助于理解、学习。

2．记忆

数学，一般理解了就记住了，但对于个别公式、定理和方法，还是应该有意识地加以记忆。

所谓记忆，就是将知识要点存储在自己的头脑中，在需要的时候能够及时、准确地提取和调用。记忆的最好方法就是形象记忆加上适当的反复。

根据德国心理学家艾宾浩斯的保持曲线，我们可以制定时间间隔越来越长的复习策略，比如时间间隔可以是5分钟、20分钟、1小时、12小时、1天、2天、7天、14天等。在复习过程中，要伴随回忆法与自问自答。所谓形象记忆，就是要善于将所要记忆的内容形象化，让其有声有色，充满画面感与动感。

要善于精简所欲记忆的内容，或者善于通过特殊情形来记忆一般内容，这样可以降低记忆成本，提高记忆效率。如要记住勾股定理，只需记住直角三角形的形状以及“勾三股四弦五”这个具体的例子即可。若要记住一些特殊的三角函数值，则首先需要记住文具盒中的两种三角板（见下图）以及勾股定理。

上面的第一个图形是等腰直角三角形，除了直角以外，另外两个角都是45°。若两条直角边的长度为1，则斜边的长度为。于是，我们得到

，

。

若要记住韦达定理，则只需记住“二次方程的两个根的和与积”这句话以及这个具体的例子。在这个例子中，两个根显然是2和3。可见，两个根的和等于5，积等于6，而。

又如，对于切割线定理，目前暂时不要求你理解，只需要记住它。你只需记住一个圆加上一条割线和一条切线的图形（见下图），并注意在圆外的那个点到圆周上的三个点的距离中，切线长居中（比例中项）；或者圆外的一点到圆周上的两个割点的距离之积是常数，而当割线变成切线时，两个割点就重合在一起变成了切点，因此切线长需要平方。

记忆的关键是形象化，而形象化的方法包括特例法、联想法、串联法、编码法、记忆宫殿法、思维导图法等。关于编码法，我简单地谈一下数字编码，就是将100以内的自然数逐一进行编码，主要通过读音或者字形的特点将它们对应到特定的具体事物上，然后借助这些编码来记忆其他内容。记忆宫殿法就是在头脑中想象一些熟悉的地点（仿佛罗列的宫殿一般），然后将所要记忆的内容依次放入其中。该方法可见于意大利传教士利玛窦的中文著作《西国记法》，此人与中国明朝数学家徐光启合作翻译过欧几里得的《几何原本》前6卷。

1974年，英国人托尼·博赞在他主持的电视节目《使用你的大脑》中第一次介绍了思维导图，并在1995年出版了《思维导图》一书。思维导图是一种围绕一个主题逐渐展开各级相关主题的树状结构图，它利用文字、线条、颜色、图像等展现各个主题以及它们之间的关系，完美地契合了人类的发散思维，成为人们思考和记忆的利器。

对于这些记忆方法，我们可以有选择性地、灵活地加以运用。通常在归纳整理一个章节的内容时，可以运用思维导图。

3．数学学习是一门艺术

简而言之，数学学习方法以理解为主，记忆为辅。理解的核心乃是联系，记忆的关键就是形象。所谓形象记忆法，就是建立知识点与形象之间的对应关系，本质上也是建立联系。

因此，一言以蔽之，学习之法就是联系之法。新旧联系、正反联系、虚实联系、动静联系、异同联系、局部联系整体、具体联系抽象、未知联系已知……千丝万缕、错综复杂、精彩纷呈，势必带给你无限的愉悦。

这种愉悦完全不亚于倾听中国古曲《高山流水》和贝多芬的交响乐《命运》，不亚于阅读王勃的《滕王阁序》和观赏王羲之的《兰亭序》，也不亚于欣赏张择端的《清明上河图》和达·芬奇的《蒙娜丽莎》。虽然这些艺术门类不一，然而其中的动静、虚实、正反、大小、开合、明暗等都呈现出对立的统一、统一的对立。这与数学学习方法有异曲同工之妙。

从这个意义上说，数学学习实际上就是一门艺术。联系与转化总是包括一对对矛盾，如正与反、新与旧、大与小、抽象与具体、特殊与一般、已知与未知，等等。运用对立统一的规律，将这些矛盾的方面在头脑中紧密地联系起来并实现它们彼此之间的转化，就是数学学习的艺术。

本书试图以初中数学为背景，阐述数学学习的艺术，让孩子们体会数学学习的乐趣，同时也让家长们获得指导孩子学习数学的有效方法。

第2节　联系法与转化法

如前所述，学习数学的重要方法就是建立联系，通过联系来理解知识，通过联系来记忆知识。知识之间的联系为思维的转化提供了条件。因此，联系法和转化法如影随形。

1．新旧之间的联系与转化

每当我们学习新知识的时候，实际上就会面对新与旧这一对矛盾。此时，新旧知识之间的联系与转化就成为重要的学习方法。我们可以通过旧知识来理解新知识，也可以借助新知识更加深入地理解旧知识。一旦可以用新知识来刷新旧知识，旧知识就是新知识；一旦理解了新知识，新知识也就变成了旧知识。这就是新旧知识之间的转化。

例如，假设你已经会解一元一次方程，现在刚刚开始学习二元一次方程。相对而言，前者是旧知识，后者是新知识。为了理解后者，就要注意它与前者的关系。事实上，解二元一次方程的基本思想就是将二元化成一元，即将后者转化为前者。

看一个例子。下面给出一个二元一次方程组：

为了消去变元，我们可以将上述两个等式相加，从而得到

这是一元一次方程，我们很容易求得其解为

再将这个结果代回到原来的第一个方程中，就得到

这是关于的一元一次方程，我们可以解得

因此，原来的二元一次方程组的解为

我们看到，为了求解二元一次方程组，只需将其转化成一元一次方程。这就是新旧知识之间的转化。如果我们的头脑中有新旧转化的思想，就很容易学习新的数学知识。

以上是旧知识帮助我们理解新知识的例子。下面来看一个通过新知识刷新旧知识的例子。

我们知道，三角形的面积等于底与高的乘积的一半，这是小学数学中的知识点。可是，为什么是这样呢？这是因为三角形的面积等于相应的平行四边形面积的一半。如果我们有了初中数学中关于三角形全等的新知识，就可以理解平行四边形可被对角线分割成两个全等的三角形，或者反过来，两个全等的三角形可以拼合成一个平行四边形，如下图所示。由此才能真正明白为什么三角形的面积等于平行四边形面积的一半。

进一步的问题又来了，为什么平行四边形的面积等于底与高的乘积呢？这是因为可以通过割补的方法将任何一个平行四边形变成矩形。然而，只有借助三角形全等的知识才能严格说明平行四边形与相应矩形的面积相等（见下图）。总之，有了三角形全等的新知识，才能真正理解三角形的面积公式。

2．动静之间的联系与转化

数学体现动静之美。体察动静之间的联系与转化，是学习数学的良好方法和一大窍门。

数学中的任何公式和定理都是在某些变化的条件之下给出的某种固定的规律，这是动中有静；任何给定的公式和定理总是适用于许多变化的情况，这就是静中有动。我们要体会这种动静结合的美妙，以便加深对相关结论的理解。

例如，随便画出一个三角形，它的三个内角的大小似乎有无限种变化的可能，如下图所示。但是，这里也有不变的东西，那就是同一个三角形的三个内角之和等于180°。

为了理解这个结论，我们可以通过构造平行线，将一个三角形的三个内角转化到同一个顶点处，如下图所示。

在上图中，由于平行线的内错角相等，我们有，。因此，。

在上述的分析过程中，我们运用了转化法，将分散在三个顶点处的三个内角转化到了同一个顶点A处。之所以可以实现这种转化，是因为角的大小并没有发生变化。这里体现的就是动静结合的美妙。

有一些习题需要处理动点、动直线、抛物线族、双曲线族等动态问题。这类问题最好的解决办法就是化动为静。例如，对于将军饮马问题，可将一些变化的折线长度转化为一条固定线段的长度。也有一些静态问题可以通过动态的方法来解决，这就是化静为动。例如，可以通过方程和函数来确定某些具体的数值或者关系。无论是化动为静还是化静为动，都是动静转化法。

3．抽象具体转化法

抽象代表一般，是对具体事物的概括和总结，涵盖了众多特殊事物，也凝结了人们对于这些事物的共性的认识。如果离开了这些具体的事物，抽象的概念就难以捉摸。而一旦将概念与具体的事物联系起来，这些原本抽象的东西就变得容易理解和把握了。

例如，对于前面提到的三角形的内角和等于180°的问题，我们如何才能够有一个简单、直观的认识呢？这里告诉大家一种非常简单的方法，那就是用一条对角线将一个正方形分割成两个全等的三角形，如下图所示。

由于正方形的每个角都是直角，等于90°，因此它的内角和等于360°，所以经平分后得到的两个三角形的内角和都等于180°。这里的三角形实际上是等腰直角三角形，非常特殊。以上说明不能当作证明，但的确是一种十分有效的理解方法，使得我们比较直观地感受到三角形内角和的大小。这就是将抽象的概念具体化的益处。

对于正比例函数、反比例函数、二次函数等相对抽象的概念，我们可以通过一些具体的例子来理解。

例如，在同一时间和地点，物体的高度与其影子的长度构成正比例函数，物体越高，影子越长。如下图所示，物体AB的高度是A′B′的高度的两倍，其影子BC的长度也恰好是影子B′C′的长度的两倍。

又如，匀速走完固定路程的时间与速度构成反比例函数，速度越快，所需时间越短，反之亦然。假设小明同学从家到学校一般需要20分钟，如果某一天由于交通原因，他的平均速度只有平时速度的一半，那么他就需要40分钟才能到学校。

再如，圆的面积公式为，这是半径的二次函数。若半径等于1，则圆的面积等于；若半径等于2，则圆的面积等于；若半径等于3，则圆的面积等于。

抽象化意味着对具体事物之间的共性的把握，是认识事物的一种重要方式，也是学习的重要手段。如果只认识具体的事物而不会抽象，我们对于事物的认识就无法获得飞跃，我们的思维水平就得不到应有的提高。

例如，我们容易理解如下事实：匀速走完固定路程的时间与速度成反比，完成某项工作的时间与工作效率成反比，一定面积的矩形的长与宽成反比，固定电压下的电流与电阻成反比，天平平衡时两端物体的质量与两端到支点的距离成反比……如果我们不能由此抽象出反比例函数的概念，那么我们对于这些事实的认识就永远是孤立的、零星的，永远停留在具体的层面。因此，我们应该通过分析、比较、归纳等来对同一类事物加以抽象。

以上我们谈论了两个方面，具体化使我们的认识从抽象到具体，抽象化使我们的认识从具体到抽象。由抽象到具体，再由具体到抽象，不断反复，随之而来的就是理解的不断深入和问题的不断解决。

数形结合是数学学习中经常采用的方法之一，实质上是抽象具体转化法的一个特例。数量关系比较抽象，几何图形比较具体和直观，然而二者可以相互对照、相互联系、相互转化。将二者有机地结合起来，不仅可以理解知识和解决问题，还可以让我们通过这种相映成趣的关系体会数学的美妙。

在统计学中，我们经常用饼图、柱形图、直方图等各种直观的图形来呈现抽象的数据，这是数形结合的典型例子。例如，某班学生投票选举班长，甲、乙、丙、丁4位候选人以及其他学生的得票情况如下表所示。

上表中的数字可用以下饼图表示。

上表中的数字也可以用以下柱形图表示。

下面看一道例题。为了求的最小值，可以采用数形结合的方法，将问题转化为求数轴上的点，使其到点与的距离之和最小。参看下面的两个图，其中一个表示点在区间以外，另一个表示点在区间以内，后者取得最小值。

显然，当点位于点与之间时，距离之和最小，而且这个最小距离就是点与之间的距离。因此，的最小值为3。我们看到，用数形结合的方法解决该问题直观明了。

第3节　正向思维与反向思维

任何事物都有正反两个不同的方面，只看到正面或者反面都是片面的。只有既看到正面又看到反面，看到正反两个方面的联系和转化，才能了解事物的整体和全貌。关注事物的正反两个方面之间的联系和转化，这样的学习方法就是正反之间的联系转化法。当我们改变思维方向的时候，就出现了正向思维与反向思维。

1．正反之间的联系转化法

这种学习方法要求我们从正反两个不同的方面来理解知识之间的关系。满足某些条件是什么样子？不满足这些条件又会怎样？正面是否可以转化为反面？反面又如何转化成正面？只有回答了这些问题，才能真正理解所处理的知识对象。

例如，勾股定理的条件是直角三角形。如果不是直角三角形，则会怎样呢？比如，钝角三角形和锐角三角形会如何？利用勾股定理，从直角三角形的条件出发，可以推知三条边之间的平方和关系，那么反过来是否也正确呢？也就是说，勾股定理的逆命题是否也成立？在学习勾股定理的时候，我们就要用这些问题来问自己。只有正确地回答并理解了这些问题，我们才能较好地理解勾股定理。

有一种很特殊的逻辑推理方法，就是所谓的反证法。该方法从假设结论不成立出发推出一个矛盾的结果，由此可以断言原结论的正确性。反证法实际上是正反之间的联系转化法的一个特例，因为它是从结论的反面抵达了结论的正面。

例如，我们可以通过反证法证明是无理数。

假设是有理数，可以令，其中是正整数。如果有公因数，那么它们可以约分。因此，可以假定已经不能再继续约分了。

将等式的两边平方后得到，即。可见，是一个偶数，

进而得知是一个偶数。于是，可以假设并将其代入中，化简后得到。可见，是一个偶数，进而得知是一个偶数。

现在，和都是偶数，因此它们可以继续约分。前面已经说过，和已经被约分到不能继续约分了。这就产生了矛盾。之所以产生这个矛盾，是因为我们假设是有理数。可见，这个假设是错误的，即不是有理数，而是无理数。

在研究一些例题和习题的时候，我们也可以通过删除或者增加一些条件来看问题是否还能够解决。这实际上也是以一种特殊的方式采用正反之间的联系转化法，因为我们是从有无某些条件的反面出发来研究结论的正确与否，从而理解正面条件的必要与否。

2．正向思维与反向思维

正向思维与反向思维是相对的。如果规定某个方向是正向思维，那么相反方向的思维就是反向思维。正向思维通常与常规思维相对应，而反向思维则往往是批判性思维、创新思维。我们既鼓励正向思维训练，也特别重视反向思维能力的培养，因为后者是创新的源泉和发展的动力。

爱因斯坦的这个思想实验可以视为反向思维的经典例子：正在上升或下降的电梯里的球掉到似乎静止的地板上，等同于地板撞向似乎静止的球。

在数学史上，非欧几何的产生是一个成功地利用反向思维的十分典型的例子。

欧氏几何的第五公设就是所谓的平行公理，它等价于下述命题：在平面上，过已知直线外的一点可以作唯一的直线平行于已知直线。非欧几何就是通过摒弃该公设而得到的新几何学，主要包括罗巴切夫斯基几何与黎曼几何。前者是由俄国数学家尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（1792—1856）于1826年创立的，而后者则是由德国数学家伯恩哈德·黎曼（1826—1866）在1854年创立的。

罗巴切夫斯基几何将平行公理换成下列公设：在平面上，过已知直线外的一点可以作两条不同的直线平行于已知直线。黎曼几何将平行公理换成下列公设：在平面上，任何两条直线都相交，因此过已知直线外的一点不可能作出一条直线平行于已知直线。黎曼几何中还有另外一条公理：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

我们知道，在欧氏几何中，三角形的内角和等于180°。那么我们可以质疑该定理吗？事实上，在非欧几何中，这条定理并不成立。在罗巴切夫斯基几何中，三角形的内角和小于180°，而在黎曼几何中，三角形的内角和大于180°。为了让大家理解后者，这里考虑球面上的三角形。

假设将一个西瓜按照互相垂直的三个方向切三刀，就可以得到一个球面三角形ABC，其中三个角都是直角，如下图所示。因此，该三角形的内角和等于

。

我们看到，非欧几何有太多不合常规的东西。之所以认为它们不合常规，是因为我们将欧氏几何绝对化了，头脑过于僵化了。其实，在其他一些几何模型中，我们会看到这些“非常规”的东西的合理性。爱因斯坦利用黎曼几何成功地创立了广义相对论，无可辩驳地证明了非欧几何的威力。但是，如果没有反向思维，没有挑战传统的精神、思想和勇气，是不可能创造出非欧几何这种非凡的数学理论的。

在平时的学习中，我们既应该重视正向思维，又必须重视反向思维，并特别强调二者的有机结合。

第4节　情景学习与转换推理

在理性思维活动中，有我们熟悉的归纳推理与演绎推理。现在介绍一种新的推理方式，叫作转换推理或者变换推理，它归功于马丁·西蒙。这可以说是联系转化法的一种重要情形。

1．何谓转换推理

西蒙及其同事在1994年做了一个教育学实验：老师在黑板上随便画一个阿米巴（变形虫）形状的人物轮廓，要求学生寻找计算轮廓线所围区域面积的策略。有一个小组的学生提出用一根绳子拟合图形的轮廓线，接着在不改变绳子长度的前提下，用绳子围成一个矩形，然后测量矩形的长和宽，从而计算出所要求的面积。听到这个建议后，不管老师的评论，学生们就找来绳子、皮带等物品，立即着手实施这个策略。

学生们所做的事情显然不是归纳推理，因为他们并没有画出不同的图形并估算其面积，也就是说他们并没有太多的信息可用于归纳推理。那么，他们做的是演绎推理吗？

我们稍加思考就会发现，周长相等的区域的面积未必相等。比如，一个长和宽分别为4和2的矩形的周长等于12，一个边长为3的正方形的周长也是12。然而，这个矩形的面积和正方形的面积并不相等，因为前者为8，后者却为9。再如，相同周长的圆与正方形的面积永远不可能相等，这是因为圆周率并不等于4。这些都是经过演绎推理可以得到的结果。可见，学生们的策略并不符合逻辑。也就是说，学生们的思维过程并不是演绎推理。

虽然学生们的策略是错误的，但是他们表现出了巨大的热情。他们通过动手操作，似乎要发展一种感觉，看看当绳子围成的区域从不规则的图形变成规则的矩形时，它们的面积是否保持不变。学生们似乎有一种自发地追求这种认知方式的愿望。西蒙称这种认知方式为转换推理。

2．更多的例子

下面再看几个转换推理的例子。

【例1】采用角-边-角方式作三角形，何时能得到等腰三角形？

所谓等腰三角形就是有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫作腰。例如，我们常见的三角板中就有一个是等腰三角形。下面采用角-边-角方式作三角形，如下图所示。先画一条固定的线段作为固定边，接着在线段的一个端点画一条射线与固定边形成固定的角度（第一个角），然后在线段的另一个端点以任意的角度（第二个角）画其他射线，它们与第一条射线相交得到三角形的顶点C，D，E，F，G，…，观察所形成的三角形CAB，DAB，EAB，FAB，GAB等的边长的变化，看看当第二个角等于多少时，所得到的三角形是等腰三角形。注意，我们以为三角形的底边。

角度的不断变化导致三角形的两条边也在变化。随着第二个角越来越大，第一个角的对边越来越短，到达某个临界位置后又越来越长。这一系列变化图景呈现在我们眼前，让我们真切地体会到这两个角相等的时候所得到的才是等腰三角形。简言之，等角对等边；反过来也正确，即等边对等角。注意，这些结论都是通过上述的变化过程反映出来的，因此我们说该过程所采用的推论方式就是转换推理。

【例2】直角三角形的两条直角边之和大于在其中一条直角边上取一点所得到的折线长度。如下图所示，是直角，点P，Q是线段上的两个点。用演绎推理的方法不难证明：折线的长度大于折线的长度，而后者大于折线的长度。

现在用转换推理的方式来看看这个问题。

设想点是小明家，点是学校，所围成的区域恰好是一片小树林。小明通常从家出发走常规的道路去上学。但是，有一次为了赶时间，小明在点转弯，穿过小树林去上学，走出了折线。很显然，折线比折线要短。不仅如此，小明越早进入小树林，路程就越短。比如，折线比折线还要短。这里用到的就是转换推理。

【例3】在罐中，将浓度为50%的酒精溶液和浓度为75%的酒精溶液混合；在罐中，将浓度为 65%的酒精溶液和浓度为 95%的酒精溶液混合。我们可以比较罐和罐中酒精的相对浓度吗？

也许你会说，因为浓度 65%高于50%，浓度95%高于 75%，所以罐中溶液的浓度高于罐。但是，无论是罐还是罐，所混合的两种溶液的比例是未知的，因此混合后所得到的溶液的浓度是难以确定的。下面采用转换推理的方式来思考这个问题。

为了得到罐中混合后的溶液，假设将两个水龙头连接到罐上，其中一个水龙头给罐注入浓度为50%的酒精溶液，而另一个注入浓度为75%的酒精溶液。这两个水龙头的流量可以连续调节。如果第一个水龙头完全打开，而第二个水龙头完全关闭，那么罐中酒精溶液的浓度就是50%；如果第一个水龙头稍微关闭一点点，而第二个水龙头稍微打开一点点，那么罐中酒精溶液的浓度就略高于50%；如果第一个水龙头完全关闭，而第二个水龙头完全打开，那么罐中酒精溶液的浓度就是75%；如果第一个水龙头稍微打开一点点，而第二个水龙头稍微关闭一点点，那么罐中酒精溶液的浓度就略低于75%。可见，罐中酒精溶液的浓度介于50%与75%之间，而且可以是这两个数值之间的任何数值。

同理，罐中酒精溶液的浓度介于65%与95%之间，而且可以是这两个数值之间的任何数值。最后得到结论：罐中酒精溶液的浓度既可能高于 B 罐也可能低于B罐，两个罐子中酒精溶液的浓度还可能相等。

【例4】为了破除“商小于被除数”的错误认知，我们可以看如下一些具体例子。

，，，。

容易看出，随着除数变小，商越来越大。商可以等于被除数，也可以小于或者大于被除数，甚至商可以无限增大。

转换推理法能够帮助我们更好地理解这个问题。

设想将4千克砂糖平均分给一些人。如果将每2千克砂糖作为一份分给一个人，那么4千克砂糖总共可以分给2个人；如果将每1千克砂糖作为一份分给一个人，那么4千克砂糖总共可以分给4个人；如果将每0.5千克（千克）砂糖作为一份分给一个人，那么4千克砂糖总共可以分给8个人；如果将每0.25千克（千克）砂糖作为一份分给一个人，那么4千克砂糖总共可以分给16个人。我们容易感知到，每一份砂糖越少，能分到砂糖的人就越多。如上的转换推理让我们深切地感受到商可能小于被除数，也可能与被除数相等，还可能大于被除数，而且当除数足够小的时候，商可以足够大。

至此，我们可以理解西蒙给转换推理所下的定义：转换推理是对一个或一组对象的一个或者一组操作的心理或物理执行，使人们能够想象这些对象所经历的转换以及这些操作的结果集。转换推理的核心是考虑一个动态过程的能力，该动态过程产生一个新状态或一系列连续的状态。转换推理并不局限于对转换的心理成像，物理执行也可以用来检查转换结果。

转换推理可以用于理解数学，而且特别适用于探究性学习。

3．情景学习

通过上面的一系列例子，我们已经看到，为了使用转换推理，往往需要创设一种情景，这就自然地引导出了情景学习的话题。创设情景的方式当然是多种多样的，可以是心理实验，也可以是物理实验。在现代技术条件下，我们可以通过计算机乃至网络做数学实验，以便更好地运用转换推理，更加有效地进行学习。

第5节　模式法与探索法

所谓模式法就是将所学知识概括成几个典型的模式、模型或者范式，从而提高学习效率。这些模式可以是对一些条件和方法的描述，也可以是一些典型的结论或者例题，它们代表知识的重点，可以起到提纲挈领的作用。为了获得这些模式，通常需要针对一定的知识范围进行比较全面的复习、整理、分析、类比、归纳和凝练。

但是，学习也不能一味地强调现成的模式，否则就容易导致僵化，因此还必须要采用探索法。所谓探索法就是研究式学习，即像研究人员那样对问题进行深入的钻研和思考，付出热情，收获惊喜。探索是研究、发现、创新，是在复杂中探寻简单，在平凡中发现非凡，在新地方邂逅老朋友，在老地方开拓新天地。我们提倡将模式法与探索法有机结合在一起使用。

1．模式的典型性

既然我们所寻找或者建立的模式是知识的重点，能够担负起引领学习的作用，它就必须简洁、凝练、个性鲜明，具有典型性。

比如，作为平行线的模式之一，三角形及其中位线就是一个完美的例子，非常具有代表性。三角形的中位线必然与底边平行，由此就出现了平行关系。如果已知三角形的一个中点，就可以自然地想到要构造中位线。即使没有中点，有时我们也可以取两个中点来构造中位线，由此获得平行关系。

2．模式的一般性

模式不能只针对个别特例，而应具有一定的概括性和普遍性，否则就失去了其本来的意义，不能帮助我们提高学习效率。虽然模式有一定的具体条件，但是这些条件必然代表一类事物。模式可能只是一道例题，但是它应该可以代表一类习题。我们以后碰到类似的条件或者题目时，就可以照葫芦画瓢，迅速找到解决问题的方案。比如，平面几何中的将军饮马、费马点、胡不归、阿氏圆等模型都非常具有代表性，各自可以用于解决一大类问题。

3．模式的全面性

对于一个相对完整的知识单元，我们所建立的一些模式应该具有全面性。也就是说，模式集合应该能够比较完整地概括这一部分的知识内容，至少包括所有要点和关键点。不然，我们在今后的学习中还会碰到太多未知情景以及太多陌生而又具体的问题。如此一来，我们的思维负担就会过重，学习效率就会大打折扣。

拿两个两位数的乘法来说，十位数相同、个位数互补的确是一个很好的模式，因为这样的两个两位数的乘积很简单，就是将十位数加上1之后乘以十位数所得的积写在左边（占据百位与千位），同时将个位数与个位数的积写在右边（占据个位与十位）。例如，在计算时，我们注意到这两个数的十位数相同，都是5，个位数互补，即，符合上述乘法模式。由于，，我们可以立刻直接报出答案，即。尽管如此，对于两位数与两位数的乘法，这个模式并不具有全面性，因为还有大量其他例子不符合该模式。

4．探索法

除了模式法，我们还需要探索法。

数学研究人员都明白，对于自己通过探索得来的知识，我们的印象会特别深刻，理解特别到位，记忆也特别牢靠。我们在学习中可以利用探索法，自主地研究一点小问题。这些问题可以来自书本或老师，也可以来自个人的思考；可以源于某个现成的公式、定理或者题目，也可以源于对现成概念或理论中某些要素的改变和重组。

在探索过程中，可以综合运用分析、综合、归纳、演绎、转换推理、反证法、猜想、联想、类比、联系转化法、抽象法、具体法、实验法等各种方法和手段。即使对于课本上现成的结论或公式，你要是能够独立证明，也能够加深理解，还能够获得极大的乐趣和信心，从而不断促进后续的学习。

我们可以借助现代信息技术来探索一些数学问题，在此举一个很简单的例子，以管窥探索法之妙趣。

如下图所示，，是上的一个动点。

下面我们结合上述图形来研究一些简单的数学问题。

问题一：线段PA和PB与∠PAB和∠PBA的大小的关系如何？

问题二：△PAB的面积有什么特点？

问题三：△PAB的周长是否或何时有最小值？

不要急着从理论上回答上述问题，我们先通过作图软件进行探索。

生成点的动画，让点在线段上来回移动，同时测量和的长度，测量和的度数，测量的面积和周长。

根据数据的变化，容易得到上述问题的解答：在中，较长的边所对的角较大；的面积不变；当PA=PB时，其周长取得最小值。

大家一定要亲自去做上述实验。

通过这个例子我们就能体会到，利用计算机和作图软件，不仅能够画出好的图形，还能够有效地探索几何问题。事实上，计算机还特别容易进行大量的计算并对数据进行可视化处理，而且能够画任意函数的图像，从而便于我们探索函数的有关问题。

计算机作图软件很多。关于如何利用网络画板进行中学数学实验，可以参看《少年数学实验（第2版）》（张景中、王鹏远著，人民邮电出版社，2022年）。类似的作图软件还有Geogebra，它具有代数计算和几何作图等诸多功能，大家可以在线使用，也可以下载、安装后使用。

国家中小学智慧教育平台可供免费注册使用，其上有很多用于自主学习和探索的网络资源。此外，还可以通过ChatGPT进行学习和探索，重要的是要善于连续提出相关的数学问题，从而与AI系统进行有效的互动。

探索法和模式法似乎存在冲突，但其实只要运用得当，二者不仅不会互相制约，反而会互相促进。模式法可以帮助我们迅速解答相关问题，从而大大节省宝贵的学习时间，由此也让我们有更多的时间专注于创新思维的培养和探索性学习。有了一些现成的模式，我们才能尽快识别未知的模式，进而建立新的模式。现成的模式是创新的基础和前提。有些模式不是现成的，需要我们去探索、总结和获取。如何获取？如果没有创新思维能力，没有有效的探索，我们就不能找到高质量的模式。探索法是新模式的摇篮。