数学不简单——从《最强大脑》发现思维乐趣

数学不简单：从《最强大脑》发现思维乐趣/吴悦辰编著.--北京：人民邮电出版社，2019.2

（科学新悦读文丛）

ISBN　978-7-115-49982-0

Ⅰ.①数…　Ⅱ.①吴…　Ⅲ.①数学—思维方法—普及读物　Ⅳ.①01-0

中国版本图书馆CIP数据核字（2018）第253168号

◆编著　吴悦辰

责任编辑　刘朋

责任印制　陈犇

◆人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

邮编　100164　　电子邮件　315@ptpress.com.cn

网址　http://www.ptpress.com.cn

大厂聚鑫印刷有限责任公司印刷

◆开本：700×1000　1/16

印张：9.25　　2019年2月第1版

字数：105千字　　2019年2月河北第1次印刷

内容提要

“数学是上帝用来书写宇宙的文字”蕴含在生活中的各个角落，越靠近它，你就越能体会到它的不简单之处。本书精选了《最强大脑》节目中的热门项目，详细剖析了这些烧脑问题背后的数学知识并加以扩展。数字华容道的排列问题，立体一笔画的解链，迷宫中的拓扑知识，繁花规图案的摆线方程，数独的设计与求解……这一系列有趣的问题不仅可以加深你对数学的了解，还能开发智力、活跃大脑。

本书适合喜欢数学的读者阅读。

前言

《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目Super Brain推出的国内首档大型科学类真人秀节目，专注于传播脑科学知识，倡导脑力竞技，自2014年第一季开播以来便备受关注。

《最强大脑》节目组推出的一系列竞技项目，着重考察选手的六大能力：观察力、空间想象力、计算能力、推理能力、记忆力和创造力。不少竞技项目都蕴含着丰富的数学知识。为此，笔者选择了一些项目，来介绍它们的数学背景及数学思想。

要问数学是什么，我们可以给出许多不同的答案，诸如数学是定义、公理、定理、公式、法则等的集合，数学是关于数和形的科学，数学是符号游戏，数学是思维体操，等等。不过，上述每一种说法都有它的局限性。数学是一门抽象学科，具有多重性和复杂性，它源于人们对生活的思考，以解决实际难题。

拜占庭哲学家普罗克洛斯说过：“数学是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄净智能；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。”所以，数学是一种文化，一门充满了人文科学风采和自然哲学味道的崇高科学。

在当今时代，大到卫星导航、无人驾驶，小到移动支付、人脸识别，它们的背后无不闪烁着数学的光彩，所以说“数学不简单”是真的不简单。愿读者们能真心地喜欢数学，品味数学，欣赏数学，应用数学。数学让大脑更灵活，让思维更敏捷，让生活更美好！

最后，要感谢本书的编辑李宁，没有她的鼓励与支持，我这近八旬的老者实难完成本书。

第一章数字华容道

2018年元月5日，《最强大脑》第五季开幕！第一期第一轮就展开了百人大战，竞赛项目是“数字华容道”。

在分成16个小方格的盒子里装着15块标有数字的小方块，还留下一个空格。按任意顺序把小方块放进盒子里，空格确定在右下角。要求通过移动，把它们按照自然顺序一一排好。图1-1是初始状态的一个例子，图1-2是要求达到的终局状态。

在同一初始状态下，百位选手展开了激烈的角逐，最先完成并正确无误的选手得以晋级。

重排十五

数字华容道又名重排十五，是一个流传已久的单人智力游戏。这款游戏有两个基本问题：一是如何去解，二是是否一定有解。

这个游戏的主流玩法是降阶法（如图1-3所示），先还原1,2,3,4,5,9,13这7枚棋子，把它们分别安置在第一行和第一列上。

第二步是把6,7,8,10,14这5枚棋子安置在第二行和第二列的自然顺序位置上（如图1-4所示）。

现在，只剩下11,12,15这3枚棋子和右下角的1个空格了。这时会出现两种情况，一是11,12,15顺时针排列（不管空格在何处），二是11,12,15逆时针排列（也不管空格在何处）。如果是第一种情况，那么最多再走两步就可以到达终局了，如图1-5所示。如果是第二种情况，则对不起，你摊上大事了！即使你让临近的10、14两枚棋子一起参与进来，想尽法子，到何年何月也不可能达到终局。

下面用数学方法回答：重排十五什么时候是可解的，什么时候是不可解的。先看下面几个定义。

定义1：由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。

例如，2431是一个四级排列，45321是一个五级排列。

定义2：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

例如2431中，21,43,41,31是逆序，2431的逆序数就是4；类似地，45321的逆序数是9。

定义3：逆序数为奇数的排列称为奇排列，相应地，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

显然，任一排列都只有这两种可能。

现在回到重排十五上来，15枚棋子放在16个空格中。按从左到右、从上到下的顺序（空格不计）排成一列，因此也构成了一个排列，如图1-6所示的初局。如果写成排列的话就是

横线以下是对应数字的逆序数。例如7，在此排列中有3,2,1,5,4,6这6个数比它小，所以7的逆序数是6；又如5，在它之后仅有4比它小，所以5的逆序数就是1，以此类推。在判断这个排列是哪一类排列时，不必把这15个逆序数加起来，只需数一数有多少个奇数就可以了。在本例中，共有7个奇逆序数，所以它是一个奇排列。

以下我们要研究棋子的移动对于排列种类的影响。棋子左右移动，排列的奇偶性不受影响；而上下移动的话，奇偶性将要发生变化。如图1-7所示，棋子丁向上面的空格移动，则由原来的排列“×甲乙丙丁××”变成了排列“×丁甲乙丙××”，也就是说丁跳过甲乙丙而成了新的排列。由此所导致的排列种类的变化很容易看出来，因为丁一次性跳过甲乙丙可以看作先跳过丙、再跳过乙、最后跳过甲的三级跳。每跳一次，就有一个新的逆序产生，或一个旧的逆序消失。无论是哪种情况，每跳动一次的结果总是逆序数加1或减1。即跳动1次，排列的奇偶性变动一次；跳动3次，排列的奇偶性也连变3次。总结起来就是，一个棋子向上移动时，排列的奇偶性发生变化；反之，一个棋子向下移动时，奇偶性当然也要发生变化。

现在假定游戏开始了，空格的位置在开始时照例放在棋盘的右下角。不管棋子移动多少次，空格的位置依旧在右下角才有可能达到终局。这样空格上移的次数必定与下移的次数相同，因此排列的奇偶性一定经过偶数次的变化，所以移动开始时初始排列的奇偶性必与其移动终了后的奇偶性是一样的。换言之，偶排列仍回到偶排列，而奇排列仍回到奇排列。但我们终局的要求是1,2,3,4,…,14,15的排列，逆序数为0，是个偶排列，这样我们就得到了一个重要结论：

初始开局是奇排列的重排十五一定无解，只有初始开局是偶排列的，才能有完美的终局。

在随机放置15枚棋子时，有多少情况是无解的呢？在一个n级排列中，排列总数是n！设全部的n级排列中有s个奇排列，t个偶排列。现将s个奇排列中的前两个数对换，得到s个不同的偶排列，因此s≤t。同样可证t≤s，于是s=t，即奇、偶排列的总数相等，各有n！/2个。所以，若15枚棋子随机放置的话，就可能有一半是无解的。

任何游戏之所以有趣，是因为无数次摸索尝试后，突然成功的那一刻的兴奋。现在，通过数学上的排列论，可以事先预测其结果，于是一个有趣的游戏变得兴味索然了。有人说这是数学的缺点，但换个角度看，这正是数学的伟大。数学大的功用在于解释宇宙的奥秘，发掘真理，最后使得人类能充分利用这千变万化的宇宙现象；小的妙处就像我们可以用排列组合解决重排十五的问题一样。

最后有一点要声明：游戏终局时，空格的位置必须与初始状态一样在右下角，否则以上讨论的问题就完全改变了。

“14～15”游戏

历史上曾发生过一段有趣的故事。美国科学魔术师萨姆·洛伊德在1878年推出了一款著名的“14～15”智力玩具，这个游戏迅速风靡欧美大陆。在德国的马路上、工厂里、皇宫中、国会大厦，到处都有人在如痴如醉地玩这个游戏，以致许多工厂老板不得不出示公告，禁止人们在上班时玩游戏，否则开除！在法国，从比利牛斯山脉到诺曼底半岛的小山村和巴黎的林荫大道，也是处处可见玩这个游戏的人群。这个玩具在出售时的初始布局如图1-8所示，玩具的制作者洛伊德承诺，谁能够通过滑动其中的数块使错位的14和15换成正常次序，谁就能获得1000美元的奖金。1000美元可不是一个小数目，自然会引起轰动。事实上，这是永远无法达到的，只是洛伊德的一个“诡计”，因为这正是一个奇排列。

但从图1-8所示的初始布局，还是可以得到一些有趣的终局。如图1-9所示，即把数字1～15的次序理顺，但空格不在右下角，而在左上角。目前已知这个玩法的最少步数是44步，如下所示：

14,11,12,8,7；6,10,12,8,7；4,3,6,4,7；14,11,15,13,9；12,8,4,10,8；4,14,11,15,13；9,12,4,8,5；4,8,9,13,14；10,6,2,1。

第二章立体一笔画

《最强大脑》第五季在角逐三十强席位的收官之战时，导演组出示了类似图2-1中所示的多个多面体。要求选手迅速选出其中之一，满足从某一顶点开始用一笔画出多面体的多条棱，不准遗漏也不得重复。答对并用时较少的选手晋级。

平面图形一笔画

在普鲁士东部，濒临波罗的海有一座古老而美丽的城市叫作哥尼斯堡。昔日此为一座重要的工业城市，为东普鲁士的首府，并有一所历史悠久的大学。哥尼斯堡被新河、旧河及布勒格尔河贯穿全城，并将全城分成了4部分。于是人们建造了7座桥，以把哥尼斯堡连成一体（如图2-2所示）。

每天城里的居民来往这7座桥，熙熙攘攘。望着淙淙流水，这里传出了一个有趣的问题：是否能够一次走遍所有这7座桥，而且每座桥只能走一次？

这个问题似乎不难，谁都乐意去试一下，只是日子一天天过去，也没有人做得到。随着此问题的传播，哥尼斯堡也因此出名。

1727年，欧拉受聘到俄国圣彼得堡科学院工作后，便听到了上述这个故事。他并不曾到过哥尼斯堡，但在听到这个问题后只花了几天的时间，便解决了此“七桥问题”。他首先将七桥问题转化为一数学模型。他看出两岸陆地及河中的岛都不过是桥的连接点，其大小及形状与问题无关，因此可将它们视为4个点。至于7座桥是7条必经的路线，它们的长短曲直也与问题本身无关，因此可以用任意7条曲线来表示。他先想到如图2-3所示的简化图，然后得到如图2-4所示的数学模型。

如此，欧拉将七桥问题抽象成一个一笔画问题，即图2-4中的图形能否用一笔画出。接着欧拉发现，凡是能用一笔画出的图形，每当你用笔画一条线（可以是曲线）进入其中的一个点（除了起点与终点）时，你还必须画一条线离开此点，否则图形便不能以一笔画出。也就是说，除了起点与终点，图中每一个点都应与偶数条线相连（这种点称为偶点，反之称为奇点）。若起点与终点重合，则此重合点也应与偶数条线相连（故此点亦为偶点）；若起点与终点不重合，则此两点皆与奇数条线相连（故皆为奇点）。因此，可以一笔画出的图形，其奇点数必为0或2。

现在图2-4中，共有A,B,C,D 4个点，其中A,B,C分别与3条线相连， D与5条线相连。由于4点均为奇点，因此一笔画出此图形是不可能的，也就是想不重复地通过哥尼斯堡的7座桥是不可能的。

我们看到欧拉将一实际问题抽象化，虽然看不到河也看不到桥，但结果不但解决了原来的问题，连更一般的问题也一并解决了。

补充一点，上面这个答案尚不完整，这里还有一个从哪里开始画的问题。从上面的介绍中可以得到，凡奇点数为2的一笔画，图形必须以一个奇点作为起点，另一个奇点作为终点。

数学史上的一个错误

上节中我们关于七桥问题的论述是一种广为流传的说法（存在于各种图论教科书、数学史书籍和数学科普读物中），这样的描述看上去似乎非常合理，却与真实的历史不太相符。事实上，在欧拉1736年的论文中从来没有出现过任何具有现代意义的“图”，该问题与一笔画之间的联系直到19世纪末才被人们提及。图2-4是在1892年才首次出现于英国数学家罗兹·鲍尔的《数学游戏与古今问题》中，两者之间相差了150多年！

从数学史的角度来看，这可以算得上一个严重的错误。如果一段有关数学史实的记述连起码的真实性都做不到，那么它也就丧失了作为数学史内容而存在的价值。令人遗憾的是，这种以讹传讹的行为仍在延续。不过令人欣慰的是，在20世纪90年代出版的由卡兹所著的《数学史通论》一书中，关于欧拉解决七桥问题的记述已经回归了历史的本来面目。

笔者有幸读到北京化工大学理学院程钊先生发表于《数学传播》第36卷第4期上的一篇文章，它介绍了欧拉真实的解法。为此，略引于下，与广大读者分享。

欧拉写道：“我整个方法的根据是，以适当的并且简易的方式把过桥的行为记录下来。我用大写字母A,B,C,D表示被河分割开的陆地。当一个人从A地经过桥a或b到B时，我把这次过桥记作AB，第一个字母代表他来的地方，第二个字母代表他过桥后所到的地方。如果步行者接着从B经过桥f到D，这次过桥记作BD。这接连的两次过桥AB与BD我就用3个字母ABD来记录。”不难看出，按照欧拉的记法，记录过桥次数的字符串中的字母个数总是比桥数多1。因此，如果表示过7座桥就需要用8个字母（欧拉标注的A,B,C,D及桥的标号已在图2-2中列出）。

于是，七桥问题可以重新表述成：在用4个字母A,B,C,D排成的含8个字母的字符串中，有没有可能使AB（或BA）组合出现两次，AC（或CA）组合也出现两次，而AD,BD,CD这些组合各出现一次？接下来，欧拉想要寻找一个法则，使得对于这个问题或所有类似的问题都可以简易地判断出所要求的字母排法是不是行得通。欧拉注意到，如果去往某块陆地（比如说A，如图2-5所示）经过一座桥a，则不论步行者过桥前在A还是过桥后到A，字母A一定出现一次。如果经过3座桥a,b,c，那么不管他是不是从A出发，字母A都将出现两次。依次类推，如果通往A的桥的个数k是奇数，则字母A出现的次数为（k+1）/2。

本来至此为止，七桥问题已获得解决。因为通往A的有5座桥，所以字母A应出现3次，通往B,C,D的各有3座桥，因此它们各出现2次，这样总的字母个数为3+2+2+2=9。但这在含8个字母的字符串中是不可能的，从而七桥问题无解。欧拉进一步寻找类似的一般问题的求解法则，因此需要找到当桥的个数k是偶数时，字母A出现的规律。他发现如果步行者从某块连通k（k为偶数）座桥的陆地出发，则相应的字母出现