第 1 章 代数系统 1
1.1 代数 1
1.1.1 集合与映射 1
1.1.2 代数系统 4
1.2 经典代数系统 5
1.2.1 群 5
1.2.2 环 7
1.2.3 域 7
1.2.4 线性代数 8
1.2.5 子代数与代数的同构 10
1.3 Python 解法 12
1.3.1 Python 的数系 12
1.3.2 Python 的布尔代数和位运算 14
1.3.3 自定义代数系统 20
第 2 章 矩阵代数 25
2.1 数域上的矩阵 25
2.1.1 矩阵的概念 25
2.1.2 矩阵分块 28
2.1.3 Python 解法 29
2.2 矩阵的线性运算 33
2.2.1 矩阵线性运算的定义 33
2.2.2 Python 解法 35
2.3 矩阵的乘法 37
2.3.1 矩阵乘法的定义 37
2.3.2 Python 解法 42
2.4 矩阵的转置 44
2.4.1 矩阵转置的定义 44
2.4.2 Python 解法 46
2.5 方阵的行列式 47
2.5.1 排列的逆序 47
2.5.2 方阵的行列式 49
2.5.3 行列式的性质 50
2.5.4 Python 解法 53
2.6 方阵的逆 54
2.6.1 方阵的伴随矩阵 54
2.6.2 可逆方阵 57
2.6.3 矩阵积的行列式 60
2.6.4 Python 解法 62
2.7 本章附录 64
第 3 章 线性方程组 72
3.1 线性方程组与矩阵 72
3.1.1 线性方程组的矩阵表示 72
3.1.2 可逆系数矩阵 74
3.1.3 Python 解法 75
3.2 线性方程组的消元法 76
3.2.1 消元法与增广矩阵的初等变换 76
3.2.2 消元法的形式化描述 79
3.2.3 Python 解法 81
3.3 线性方程组的解 85
3.3.1 矩阵的秩 85
3.3.2 齐次线性方程组的解 88
3.3.3 非齐次线性方程组的解 93
3.3.4 Python 解法 96
3.4 本章附录 100
第 4 章 向量空间 103
4.1 n 维向量与向量组 103
4.1.1 n 维向量及其线性运算 103
4.1.2 向量组的线性表示 106
4.1.3 Python 解法 111
4.2 向量组的线性关系 114
4.2.1 线性相关与线性无关 114
4.2.2 向量组的秩 119
4.2.3 Python 解法 121
4.3 向量空间的基底和坐标变换 126
4.3.1 向量空间及其基底 126
4.3.2 向量空间的坐标变换 128
4.3.3 Python 解法 133
4.4 线性变换 137
4.4.1 线性空间的线性变换 137
4.4.2 线性变换的矩阵 140
4.4.3 特征值与特征向量 143
4.4.4 Python 解法 147
4.5 本章附录 152
第 5 章 欧几里得空间 156
5.1 欧几里得空间及其正交基 156
5.1.1 向量内积及其性质 156
5.1.2 向量间的夹角 158
5.1.3 欧几里得空间的正交基 160
5.1.4 Python 解法 162
5.2 正交变换 167
5.2.1 正交变换及其矩阵 167
5.2.2 对称矩阵的对角化 168
5.2.3 Python 解法 170
5.3 二次型 171
5.3.1 R 上二次型 172
5.3.2 二次型的标准形 174
5.3.3 Python 解法 179
5.4 最小二乘法 181
5.4.1 向量间的距离 181
5.4.2 最小二乘法实现 182
5.4.3 Python 解法 184
5.5 本章附录 185
参考文献 193
