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本书基于华德福式自然学习法，以200多张彩色图表，介绍了几何学、毕达哥拉斯及柏拉图多面体、节奏与循环等数学知识，引导读者在自然、空间和时间中学习数学。一沙一世界，一花一天堂,飘落的雪花是几何,太阳、月亮的运转是周期,叶子的节点是数列。换个方式学数学，你将发现自然的美丽及宇宙的秩序。
科学新悦读文丛
数学也可以这样学：自然、空间和时间里的数学
（澳）约翰·布莱克伍德（John Blackwood） 著
洪万生 廖杰成 陈玉芬 彭良祯 译
人民邮电出版社
北京
图书在版编目（CIP）数据
数学也可以这样学：自然、空间和时间里的数学/（澳）约翰·布莱克伍德（John Blackwood）著；洪万生等译.--北京：人民邮电出版社，2019.9
ISBN 978-7-115-51494-3
Ⅰ.①数… Ⅱ.①约…②洪… Ⅲ.①数学—学习法 Ⅳ.①04
中国版本图书馆CIP数据核字（2019）第117788号
版权声明
Original title: Mathematics in Nature, Space and Time by John Blackwood
Copyright ©2011 by John Blackwood
Published in English by Floris Books, Edinburgh
Simplified Chinese translation copyright © 2019 by Posts & Telecom Press
All Rights Reserved.
◆ 著 [澳]约翰·布莱克伍德（John Blackwood）
译 洪万生 廖杰成 陈玉芬 彭良祯
责任编辑 李宁
责任印制 陈犇
◆ 人民邮电出版社出版发行 北京市丰台区成寿寺路11号
邮编 100164 电子邮件 315@ptpress.com.cn
网址 http://www.ptpress.com.cn
临西县阅读时光印刷有限公司印刷
◆ 开本：690×970 1/16
印张：12 2019年9月第1版
字数：171千字 2019年9月河北第1次印刷
著作权合同登记号 图字：01-2017-9026号
定价：59.00元
读者服务热线：(010)81055410 印装质量热线：(010)81055316
反盗版热线：(010)81055315
广告经营许可证：京东工商广登字20170147号
我们是如此需要数学，以至于从远古时代的古巴比伦人开始就已经积累了一定的数学知识。不过，那时的数学还只是观察和经验所得，没有烦琐且枯燥的证明。经过漫长的发展，数学逐渐成为学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具，但同时它也成为让不少学生十分苦恼的一门课程。本书汲取最原始的经验，从生活出发，通过有趣的画图练习和模型制作等，向读者展示自然、空间以及时间里的数学知识。“一沙一世界，一花一天堂。”飘落的雪花是几何，太阳、月亮的运转是周期，叶子的节点是数列……换个方式看数学，你将发现自然的美丽及宇宙的秩序。
本书作者任教于华德福教育体系，这是他针对澳大利亚12~14岁的学生所需要掌握的数学知识，为授课老师准备的一些教学素材。本书内容比较生活化，且形式活泼，步骤详尽，通过大量彩图，引导学生认识自然、空间以及时间里的数学。我国教授的数学通常比国外的难度大，所以本书也适合我国10岁以上的孩子自己阅读。
华德福的教育方式强调学习与生活经验的联结。对教师和家长而言，点燃孩子的学习热情远胜于掌握某个知识点。对学生而言，概念与实践的结合会带来无限惊喜。数学不只是计算与公式，更是探索、兴趣与应用，它也是一项重要的生活技能。
为了更好地呈现原著的魅力，书中配图的文字没有用中文替换，而是在必要的地方，在图的旁边（或下方）附上了对图中文字的翻译，以辅助理解。
书中部分地方出现了一些英制单位和日常生活或学习中不常用的单位，在此统一说明。in——英寸，1in=0.0254m；ft——英尺，1ft=0.3048m；yd——码，1yd=0.9144m；rad——弧度，1rad≈57°；grad——百分度，1grad=1g=0.9°。
一篇发表于《悉尼晨锋报》上的文章（2001年12月20日），引述了在教会学校任职的约翰·梅特卡夫所说的一段话：“孩子被教导说，数学是一种描述世界的语言——一种由上帝所创造的语言……”
这也是我多年来的感受，而且只要严肃对待，我认为这是可以走得非常远的一条路。这条路表明，在自然之书中有一个秘密等着被揭示，我们这个世界不只是一个长程的、概率上的偶遇，也不是通过各种令人不安的推断过程可以计算的，没有一个具有实践经验的工程师会梦想可以这么做。
有一种观点主张，数学的世界是由假设的理念构成的一种抽象的集合体。这些理念本身没有什么实际意义，有的只是与理解外在世界有关的便利性与实用性。虽然有些学者提到过这一点，但对于数学是如此有用的这个事实，我们通常视而不见。
还有一种观点认为，数学在多元的意义上是诸神的语言。可以说，我们的心智对数学与几何概念的理解，只是让这个世界存在的那些作用力的残余。这种观点并不是假定我们的思想只是知识上的一种假设，只是心智的影子，它其实是一条真实的通道，引领我们进一步了解大自然这个工作室。
对我来说，莎士比亚所谓的“被思维盖上了一层灰色”（译注：《哈姆雷特》，朱生豪译），只适用于我们现在浅薄的智力，而非思想生命可以到达的最终境界——正如鲁道夫·斯坦纳在他的《灵性活动的哲学》（Philosophy of Spiritual Activity）一书中指出的：“有了思维活动，我们就已经掌握了灵性的一个小小角落。”
毋庸置疑，在这些角落中还有各种变化，而这整件事情可以无止境地辩论下去。令人惊讶的是，数学概念与细心观察到的现象之间的相互吻合（比如图I.1所示的广义螺旋形）所带来的惊喜，可以让我们忙于探索，激发我们的好奇心。它们无疑是重要的。
本书包括我教授七、八年级学生的主要内容。每一个课程单元都需要超过3周的时间来完成，在我们的学校——澳大利亚的斯坦纳学校，每天早上有一个半小时的上课时间。
每位教师都以不同的方式来教授这些课程，而其成果就学生、教师、地点及时间而言，都是独一无二的。不过，对我而言，似乎存在着一条我们共同努力打造的“黄金线”。
学生学习每年设置的课程，我们也在教授这门课程的过程中对它有了进一步的理解。我常想，如果我们无法以身作则，又如何要求学生产生学习兴趣呢？如果连我们都做不到，学生又如何做到？教师与学生之间，必须是一种等式关系。
这些内容是我们对数学主题的贡献。
我要感谢许多学生与友人，他们的作品为本书提供了很多实例。倘若我无法亲自指明他们的贡献，在此也要诚挚致歉。
当然，这些内容只是我个人的选择，其他人还会有许多其他的选择。然而，这是我经过20多年的教学所积累的素材，它引起了许多学生与同事的兴趣，这从材料复印的次数就可以看出来！
约翰·布莱克伍德
从青春期开始，年轻人便有一种越来越强烈的需求，他们希望能够将自己对世界的想法与他们的实际经验结合在一起。数学，尤其是几何学，此时便在我们周围许多大自然的奇迹中显露出来。发自我们内心深处的某些东西，呼应了我们身边的这些现象。
以下所呈现的一些教学主题概要（见图1.1），来自我多年前在斯坦纳学校教过的一门特别的课程，我试着涵盖我认为属于这个时代的内容。当然，还有其他许多内容可以纳入，这里只是我在当时所教授的部分内容。
我按照当时授课的顺序，选取了一些典型的练习。有时候提供了一些课堂活动建议，有时候给出了一些练习的指引。
我们来看几个简单的几何作图实例：平分一个角，画一条已知直线的垂线，再画一道如图1.2和图1.3所示的彩虹——就从这里开始吧。
作图要用到圆规和直尺。对我而言，小心使用圆规是必须永远强调的事。准备一把好用的圆规，两脚不会晃动，也不会自动张开，还要有削尖的铅笔芯；一把边缘齐整的直尺，长度必须有30cm或更长一些。这两种工具是必备的。
①画一条直线p，在其上选择一点P，通过点P作直线p的垂线，如图1.4所示。
②任取一个半径（如5cm），将圆规尖点置于点P上画圆，圆与直线p分别相交于点A和点B，如图1.5所示。
③取大于5cm（如7cm）的半径，分别以点A和点B为圆心画两个圆（或两条圆弧），它们相交于点C和点D，如图1.6所示。
④连接点C和点D，如图1.7所示，我们就得到了所需的过点P且垂直于直线p的直线。
下面是一个属于入门级的更加简单的例子。
①画直线b和直线c，二者交于点A并形成一个夹角α，如图1.8所示。这是两线之间待平分的角。
②任取一个半径（如5cm），并将圆规两脚张开到此半径的大小。置圆规尖点在点A上画圆（或圆弧），圆与直线b和直线c分别交于点B和点C，如图1.9所示。
③选取同样大小的半径（如3cm），分别以点B和点C为圆心画圆（或圆弧），二者交于点D，如图1.10所示。
④最后，连接点A和点D，如图1.11所示。AD就是所求的角α的平分线，其中∠BAD＝∠CAD＝β，因此2β＝α。
上述的这两个作图技巧将会用在未来绘制其他的图形上，只是在必要时简短地引用。
在大自然中，究竟什么拥有明显的几何结构？答案是：非常多的东西，只要我们看得够深入；一个令人愉悦的候选者经常现身于骤雨过后的天空中（见图1.12）。
第三个练习是画彩虹。当彩虹横跨天边时，我们可以用手机拍下这个令人欣喜的景象。先画出同心圆，然后涂上适当的颜色，这是一个很棒的练习。注意，红色是在明亮的虹的外侧，在黯淡的霓的内侧。
通常虹霓有7种颜色，Richard Of York Gained Battles In Vain是为红、橙、黄等设计的一种记忆术[译注：西方顺口溜。Richard对应Red（红），Of对应Orange（橙），York对应Yellow（黄），Gained对应Green（绿），Battles对应Blue（蓝），In对应Indigo（靛），Vain对应Violet（紫）]。
①画一条水平线段。
②在线段上（线段中点附近）标记一点当作圆心。
③取一把圆规，使其两脚张开约为此线段一半的距离。
④用圆规画出8个半圆（形成7个空间），其中每一个半圆的半径都比前一个大一点（如3mm）。
⑤在半圆与半圆之间着色（见图1.13）。
在灰卡纸上以蜡笔完成此项工作，它看起来令人惊奇。图1.13中只有3个同心圆，这模仿的是我在悉尼清晨所见的一道真实的彩虹，当时阳光还不够强。要将这种奇迹转换到纸上，并且让它还能保有魔幻般的光泽，简直太奇妙了。
我们在哪儿看到过圆形？试着丢一颗石头到池塘里，波纹会从撞击点开始不断向外扩散。
用绘制角平分线的方法，将圆（周）十六等分，最终将得到一系列由相近切线所构成的同心圆。
①首先，在纸的正中间轻轻画一条水平线。然后，利用练习一中作直角的方法，再画一条水平线的垂线，两线的相交处为点O，如图1.14所示。
②将4个直角二等分，再将这8个新形成的角二等分。以点O为圆心画一个圆，这将会形成围绕点O的16个等分点，如图1.15所示。现在，相邻两直线之间的夹角是360°/16=22.5°。
③为了画出一个同心圆，接下来沿着圆周连接相隔一定份数（如5份）的等分点，如图1.16所示。将等分点以1到16的数字来标示，这样就容易依序连下去了。
④从包含16（＝2×16÷2）条直线的直线族造出这样的圆之后，试着再连接每隔6份的等分点，然后试着连接每隔7份的等分点，等等。
最终我们将得到一族近似圆，它们都是由同心圆的切线所构成的。如果每一个这样的圆又由不同颜色的直线所构成，那么将形成一个更加有趣的图形（见图1.17）。通过上述的方法，我们获得了一个纯粹由一系列有序的直线所构成的图形。开动大脑，你还会画出更多像这样神奇的东西。
在绘图的过程中，连接两点的直线还超出了这两个点。本质上，一条直线可以无限长，两个点只是定义了它的位置。
圆形到处都有，例如花朵的螺旋纹、太阳的圆盘、月亮的截面以及池塘中扩散的涟漪（见图1.18）。
下一个练习将探索一些不符合圆的特征的图形。
圆的构造可以如练习四所示，如果我们在作图上做一点小小的调整，就会出现相当不同的其他形式。让我们先作图，然后看看身边是否有这样的东西存在。
①在纸的下方画一条水平线a和一条垂线b，二者相交于点O，如图1.19所示。
②通过点O画等角的辐线。在本例中，我们选定相邻两直线的夹角为15°。
③画一个圆，使其圆心略高于点O，然后以数字（1~24）标示圆与20条辐线和两条坐标轴相交的点，如图1.20所示。
④连接每隔5份的分割点，使这些直线穿过这个圆（见图1.21），这将构造出第一条曲线。
另外，正如在之前作图中那样以不同颜色的直线连接每隔两份、3份……的分割点，这里给出了由切线所构成的若干近似卵形的图形。一系列不同的形式就出现了（见图1.22）。
⑤图1.23的素描图显示的是这些曲线或近似卵形的全族的一部分。许多作图如连接每隔6、7、8、9份的分割点，可以依此类推。当圆位于正中心时，这些直线会构成同心圆（见图1.17）。不过，当这个圆偏离中心位置时，嵌套的卵形就会出现。
如果选择偶数标示的点，你必须有一个以上的起点，以得到完整的图形。如果是奇数点，则终将回到同一起点上。
你在生活中见过这样的卵形吗？这种形状看起来有点像椭圆。暂且不管它们是不是真的椭圆，我们会注意到某些蛋的样子从外观上看非常接近这些形状。
鸸鹋蛋是一个很好的例子。经过精确的分析，它很接近椭圆，但又不完全是（见图1.24）。其他动物的蛋也类似，不仅是鸟蛋，澳大利亚的鸭嘴兽和针鼹也有椭圆形的蛋。如此已足以表明：蛋与概念性设计的卵形具有显著的相似性。
如果以圆为出发点，当把圆一分为六时会发生什么事情？这是值得探索的一件事。大自然中有对六重特性的表征吗？这一点是确定无疑的。
我们曾经画过很多六重对称的例子，如图1.25所示。我们要鼓励学生找到他们自己的例子，越多越好。当许多双眼睛（包括父母及朋友的）一起四处寻找时，可以找到的资源会令人惊讶！
生活中的六边形图案很多。蜜蜂一直在做这件事，人工蜂巢基底的搭建可以由蜂蜡（见图1.26）压印而成。我自己养蜂，因此观察过蜜蜂如何利用人工基底筑巢，过程相当引人入胜。水晶（见图1.27）经常显示出六重对称的特点。许多花朵，尤其是百合家族也展示了这个特征。图1.28所示的是新南威尔士州的兰花，它也充分展示了六重对称特征。
如何运用圆规、铅笔和直尺来制作一个正六边形？简单！
对于自己作图的精度，有一个好的检验方法，就是按照图1.29所示方法，用圆规在圆周上依次画出6道弧线，圆弧的半径与该圆的半径相等。最精确的画法是最后的圆弧既不会超过起始点，也不会够不到起始点！试试看。
①先画一个半径约5cm的圆，圆心为O。通过点O画一条水平线，与圆相交于点A和点B。
②将圆规尖点置于点A，以圆的半径为半径画弧，标记出圆弧与圆周的交点。针对点B，也同样画弧。
③依次通过相邻的两点作直线，分别连接点A和点C、点C和点D、点D和点B、点B和点E、点E和点F、点F和点A，就得到了所求的正六边形，如图1.30所示。
另一种在大自然中凸显了六重对称性的六边形是雪花。制作一个纸片“雪花”的方法如下。
①取一张薄的白色A4纸，用圆规在其上画一个半径约为8cm的圆。
②如同练习六一样，绘制一个正六边形。
③整齐地切下这个正六边形。
④沿着一条对角线对折正六边形。
⑤将对折后的正六边形继续折叠，直到形成一个等边三角形。
⑥从原正六边形的中心点想象一条通到底边的直线，平分等边三角形60°的顶角，沿着这条直线再对折一次，将得到一个直角三角形，如图1.31所示。
⑦你可以用各种模仿雪花的裁剪方式来进行切割[可以参考本特利和汉弗斯的惊奇之作《雪片水晶》（Snow Crystals），其中有种类繁多的雪花照片]，图1.32是一个典型的切割图。
⑧展开纸片，小心不要撕破纸张，如此我们可以得到一个如图1.33所示的巨大“雪花”！学生们通常会很喜欢这个作业。
像上述这样的练习，让我们看到在自然界中，有大量符合几何或其他数学特征的东西。这意味着数学隐藏在自然界宽广的表现形式中吗？可能是另外的情况吗？这些问题或许较次要，但的确值得许多科学家思考。
起初，形状是简单且易于构建的。下面我们讨论的是一种按特别的方式弯曲的形状。这样的形状也存在于大自然中吗？首先，我们来认识一种经典的螺线。
阿基米德螺线也被称为绳索螺线，这是一种用一段绳索就很容易构造的螺线，如图1.34和图1.35所示。先握住绳索的一端，旋成一个紧密的圆，一直绕到绳索的另一个端点。
这种螺线有一个特性：每绕一圈，螺旋就以相同的幅度变大一点，它会逐步递增，只要绳子足够长！
如图1.36所示，这条螺线由学生所绘制。
①先画一条竖直线和一条水平线，二者相交于点O。
②以点O为中心画同心圆，半径以5mm递增。
③绕着点O每隔30°画一条辐线。
④从圆心O开始，沿着辐线与同心圆的交点依序往外画弧线，每道弧线的弧心角为30°。
这是一条特殊且定义明确的螺线。不过，据我所知，它在大自然中并不那么普遍。如果你在自然界中发现了这样的螺线，请与我分享。
到此，环顾四周，看看你是否能够在各式物品中，尽可能多地找到一些一般螺线形式。少数几个样本如图1.37~图1.40所示。
在找到我们身边的螺线的例子后，可以用素描的方式画出来，从贝壳到银河系，从水的漩涡到人的头发（男孩和女孩的头发长得一样吗？），如图1.41所示。
