数学也可以这样学：大自然中的几何学

科学新悦读文丛

数学也可以这样学.大自然中的几何学

（澳）约翰·布莱克伍德（John Blackwood）　著
林仓亿 苏惠玉 苏俊鸿　译
张诚　审校

人民邮电出版社

北京

图书在版编目（CIP）数据

数学也可以这样学.大自然中的几何学 /（澳）约翰·布莱克伍德（John Blackwood）著；林仓亿，苏惠玉，苏俊鸿译.--北京：人民邮电出版社，2020.5

（科学新悦读文丛）

ISBN　978-7-115-52456-0

Ⅰ.①数…　Ⅱ.①约… ②林… ③苏… ④苏… Ⅲ.①数学—学习方法　Ⅳ.①01

中国版本图书馆CIP数据核字（2019）第240642号

定价：59.00元

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广告经营许可证：京东工商广登字20170147号

内容提要

从基本的矿物、植物、动物到螺旋、旋涡、芽苞等具有复杂形状的事物，本书以500多张彩色图片展现了各种事物的几何学特性。作者通过对大自然最简单的观察以及最细腻复杂的测量等手段，意欲告诉我们可以从身边的任何事物中找到几何学的身影；他还利用射影几何学证明了，大自然中所有奇奇怪怪的体态其实都是依据最基本的几何学原理“制造”而成的，而这些原理之间的重要差异则造就了宇宙中如此纷繁多样的形状。

版权声明

Original title: Geometry in Nature: Exploring the Morphology of the Natural World through Projective

Geometry by John Blackwood

Copyright ©2012 by John Blackwood

Published in English by Floris Books, Edinburgh

Simplified Chinese translation copyright © 2020 by Posts & Telecom Press Co., Ltd.

All Rights Reserved.

编者说明

本书作者任教于华德福教育体系，这是他针对澳大利亚12~14岁的学生所需要掌握的数学知识，为授课老师准备的一些教学素材。本书所采取的呈现形式十分活泼，通过大量彩图和手绘图引导读者观察大自然中的事物，并从中发现几何学的身影。本书内容主要侧重于射影几何学的知识，作者对其讲解深入透彻，个别地方还颇费脑力，建议对射影几何学感兴趣的读者阅读。

华德福的教育方式强调学习与生活经验的联结。对教师和家长而言，点燃孩子的学习热情远胜于掌握某个知识点。对学生而言，概念与实践的结合会带来无限惊喜。数学不只是计算与公式，更是探索、兴趣与应用，它也是一项重要的生活技能。

为了更好地呈现原著的魅力，书中配图都尽量保留了原著的风格，图中的文字没有全部用中文替换，只在必要的地方对图中文字进行了翻译，以辅助理解。

第1章 导论

本书的写作所依据的前提假设是：如果我们能对事物进行一番思维活动，那么这样的思维活动必定是依据该事物内在的因素进行的。这不是一个新概念。我们要看出这些思维活动到底是什么或许并不容易，但问题未必出在事物或思维本身，也可能出在我们自身的不足。

与某个现象有关的思维活动，可能过了一天、一年，甚至一个世纪，我们都未必会意识到它，可是这并不表示它不存在。有某种重要的东西在引导、构建、设计与支持着我们所见到的事物，无论我们是否承认它。物理学家尤金·保罗·维格纳（1902—1995）和许多人一样，对数学与现实世界之间的奇妙关系感到不可思议。他在1960年写了一篇文章，名为《数学在自然科学中不合理的有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）。但是对我来说，如果数学不是有效的，那才是不合理的！鲁道夫·斯坦纳（1861—1925）在《自由的哲学》（The Philosophy of Freedom）中表示，唯有当我们真正发觉这样的思维时，我们才会开始寻找真实本身。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（1831—1879）凭借他的数学才能发现了光速不变原理，这种理论预见后来获得了实验验证。然而，伊曼努尔·康德（1724—1804）却认为这种真实（光速不变）永远无法被找到（在大自然中亲眼见到）。

1.1 机械中的思维

对于我们制造出来的机械装置（见图1-1和图1-2），我们了解其所含的思维一点也不困难，因为那是我们一开始制造时就融入进去的，不然它就无法运作。世界上的其他事物也是这样运作的吗？如果不是，那它们是怎么运作的呢？我们可以通过启迪自己的心智来改变这个世界的面貌，这就证明了我们的内在之物可以在外在世界找到一席之地。

我相信，我们不需要受限于莎士比亚所谓的“苍白的思维”。思维或许会变得黯淡，且持续一段很长的时间，但我们的处境不会永远如此。有时候，一个想法就可以让我们振奋起来——人们甚至会为了一个想法或理想而牺牲自己的生命。

如今还有苍白的思维吗？当然。只要看看某些人对于用“智能”一词指称世界所表现出来的愤怒之情即可，更不用说主张大自然里有难以言喻的智慧了。多么苍白啊！非常不幸的是，“科学”一词（如同许多词汇一样）被独占与钳制了。实际上，“科学”亦指知晓，而非单指物质知识。

我们经常应用的代数与几何知识就属于非物质的知识，但“科学”一词已经被物质的自然科学给绑架了。这种人为的划分，最好的情况是它仅仅是对科学的一种限制，最坏则让科学成为一种没有绝对可信度的意识形态，如同其他信念体系一样。乔斯·韦吕勒在他的生物学研究中煞费苦心地指出，许多标榜为科学的东西，其实不过是一种潜在的有害的意识形态。在谈及许多专家熟知的达尔文学说的固有问题时，韦吕勒说：“在我看来，这种系统性漠视正当的反对意见的情况，就等同于集体填鸭。”［韦吕勒，《人类和其他灵长类的发展动力学》（Developmental Dynamics in Humans and Other Primates），第360页］

本书并不是要讨论认识论的细节，然而在我们能想象到的与能感知到的大自然中的几何学之间似乎存在某种联系，这正是本书试着去探索的领域。这是真正的科学。我的观点是，科学是概念世界与现象世界的交错，这也是我在本书中所采用的认知模型（见图1-3）。尽管抽象的概念与实际的现象之间存在本质上的差异，但它们必须要被适当权衡，原因很简单：它们是理解事物的两个不同角度。

本书的出发点是几何学——纯概念的范畴。我们会从射影几何学开始，不同于欧几里得几何学的是，它并不依赖于测量。测量和几何形式会在射影几何的简单变换中出现。我们将探究大自然中的事物是否能正确反映出这些几何形式。

几何学的基本元素是点、线和面。

我们在观察世界时，更倾向于将点视为最重要的元素，而线和面则是由一系列点构造出来的。然而，我常常在想，我们能不能不要把这个世界看成只是由点构成的，换句话说，世界不是只由点构成的，而是由“点与线”“线与面”这种成对的元素，或“点、线、面”这种三元组的形式构成的。如此一来，我们就不难做到使用这些复合元素及其运动来描述面。例如，图1-4展示的“场”就是由“点与线”自身的有序运动建立的，而不是只有点（在第8章中有更详细的介绍）。

1.2 大自然的形式

本章接下来的内容是描述一些大自然中存在的形式。尽管对于周遭所存在的许多自然形式我们已十分熟悉，但正因为熟悉，我们也错过了一些重要的东西，对它们仅仅是知道，而非真正的认识和理解。那么，有理解自然形式的方法吗？我们能从看到的各种形式中发现系统性吗？

这里有一些例子可以说明形式的多样性。例如，是什么引导大叶南洋杉（见图1-5）的枝叶生长成那种形式？是什么让棕榈树的枝杈（见图1-6）开展成那样的形式？同样，是什么把袋貂的头部（见图1-7）构造成轴对称的形式？

这种对称性在动物、植物和矿物界无处不在。在人类世界中，我们通常视其为理所当然。白蚁（见图1-8）的身体与大部分昆虫一样，分为腹部、胸部和头部3个部分。那么，这背后是否存在一个基本的模式？这是否体现了生物的原始结构？另外，除了常见的五角星形（见图1-9），海星的其他特殊形状是否有什么用意？它的几何形态是什么？海胆（见图1-10）的几何形态又是什么？这些浑身长满棘刺的海胆真的是球形而不是螺旋形吗？

那叶子呢，叶子（见图1-11）有什么样的叶脉？它们的各种形式的分叉是否让人联想到混沌理论的概念？这是大自然从根茎走到叶子边缘的足迹吗？竹节（见图1-12）的构造是否有什么机制？如果有的话，它会是什么？那班克木（见图1-13）花柄处出现的叶子呢？这种情况常见吗？它是典型的、可以解释的吗？鸭蛋（见图1-14）的形式呢？松果（见图1-15）与苏铁雄花（见图1-16）上的神秘双螺旋有值得探索的地方吗？这两种截然不同的物体有什么本质上的相似之处吗？

此外，一定有某种规则对应石英（见图1-17）的晶体形式。从微观角度来看，科学对这些形式做出了非常透彻的解释，然而是否仍有被忽略或未被讨论过的观点呢？例如，石榴石晶体（见图1-18）是如何形成一个清晰的菱形十二面体结构（即使有一点破损），而不是许多杂乱的小菱形十二面体聚集在一个分子堆中的结构的？是不是由此可以推断，平面与多面体的形成之间存在着比我们知道的还要多的秘密？

还有，在动物的美丽外表、器官的形状、循环系统、多样的细胞、器官的配置之中，是不是有一个能够支配一切的原型，它包含了大自然中的所有形式、物种及其特化过程？这里正好有两个具有代表性的例子：一只漂亮的澳洲国王鹦鹉（见图1-19）与悉尼塔朗加西部平原动物园里的一只威风的老虎（见图1-20）。

是否存在某种形式，世界上所有动物的形态都由它发展而来，但又趋近于它？

我们敢不敢说这种让动物界的所有物种趋异又趋同的形式就是人类？人类是其他动物想要达到却都失败了的形式？或许这样的想法会招来咒骂，但科学界从未认真考虑过这一问题。

1.3 自然界中的方向

大自然中的每个群体似乎都有着特定的方向，这些方向又在许多重要方面彼此关联。几何学的核心元素之一是线，线与自然界有什么关系呢？

线的几何学特征就是点的成对的联结——无论是静态的还是动态的——而这也充分反映在大自然中。尽管对矿物我所知不多，但可以确定的是，矿石的每根棱柱都有两个端点。

在植物界，这成对的端点是竖直线的两端（冠层和下胚轴）；在动物界，则是一条近似于水平的直线的两端（头部和尾部）。

接下来，我们基于图1-21、图1-22和图1-23来探究平移对称、轴对称和旋转对称这3种主要对称形式的奥秘。它们是如何分布在自然界之中的？在植物界，平移对称消失了，剩下轴对称（叶子）与旋转对称（茎上的节）；而在动物界，平移对称和旋转对称消失了，只剩下轴对称。

一株植物在大方向上是环绕直立的茎向上生长的；而在动物界，一般来说脊柱是水平方向的，即便是那些看起来脊柱好像是竖直的动物，例如企鹅、袋鼠和大猩猩。我们仔细观察后就会发现，当企鹅游泳、袋鼠跳跃、大猩猩奔跑时，它们的脊柱主要呈水平方向。然而，人类在直立姿态时，脊柱呈现出来的是竖直方向，这再一次显示了人与动物园中的老虎等动物截然不同。

第2章 笛沙格和影子

我们在第1章中看到，思维会以某种形式存在于机械之中，否则机械就不能运作。然而，我们看到大自然中的“思维”或“逻辑”了吗？比方说，影子是什么？诸如此类事物之形成应该是容易理解的。我们能否从中看出一个思维模式，一个遵循逻辑概念与规则的模式？有没有一种法则可以描述如何绘制一颗野生橄榄种子的影子（见图2-1）？

虽然可以用直角坐标变换来表示，但如果我们选择一个更为一般的入手点，事情会变得特别有趣。笛沙格定理就颇有帮助，它又被称为射影定理。

2.1 笛沙格定理

这个定理是说，如果两个三角形对应顶点的连线共点，则对应边的交点就会共线。

通过图形来理解这个定理会容易许多（见图2-2）。我们可以从图中看到1个辐射点S和1条直线h。通过点S的3条直线分别通过直线h上方三角形的3个顶点，此三角形的3条边所在的直线和直线h会有3个交点。在通过点S的直线上任找1个点（位于h下方），就不难看出如何将直线h下方的三角形画出来。这是个很好的练习，可以考查我们绘图的精确度。动手试试看，你就知道为什么了！

这样的作图直接、简单。我们可以从通过最高点（可视为太阳，所以用S代称）的3条直线间的任一个三角形开始，而从左下方往右上方倾斜的白色直线h代表地平线，h下方的三角形则表示地平线上方三角形的影子。

图2-3是此定理的另一种表现形式，它与前一种形式的不同之处在于，最初的三角形围绕着给定的点S。这张图呈现的不仅仅是两个三角形，而是由S和h构成的一系列远离点S且很快变得有点奇怪的三角形，不过它们仍然是射影三角形。较大的三角形出现在地平线上、下两个部分，但从投影的角度来看，实际上这是同一个三角形一直延伸穿越至无限所形成的三角形形态。

接下来的实验可以帮助我们进一步理解笛沙格定理是怎么一回事。我们需要1个光源、1个物体及其影子，1个代表地平线的桌面来呈现投影（见图2-4），而光线则来自1只灯泡（可以近似为一点）。将玻璃四面体举高，它的影子会投射在水平桌面上。我们可以把代表光行走路径的射线画出来，玻璃四面体产生的影子的形状与大小会随着玻璃四面体的移动而改变。

这个例子表明，在投影现象的背后有一个明确的法则，它适用于地球上所有地方的影子。这个例子看似普通，但实际上它一点也不普通，它具有预测和描述自然现象的作用，即便它很简单。

2.2 一系列三角形

根据笛沙格定理可以画出一系列三角形。在图2-5中，我们从过点S的3条直线及另一条直线h开始。在点S和直线h之间的3条直线上画一个三角形，在该三角形的旁边再画一个三角形，且使得该三角形三边的延长线和第一个三角形三边的延长线的交点在直线h上。继续画更多像这样相邻的三角形。有些三角形向点S靠近，就好像要无限趋近于点S一样；另一些三角形向直线h靠近，就好像要融入直线h之中。图2-5中的三角形有两个相反的趋势，即分别往直线h之外（左侧）与点S之外（右侧）延伸。

通过这种作图方法，我们还可以做出一系列立体三角形或三棱柱（见图2-6）。

必须指出的是，这些三棱柱长得都不一样——大小不一样、角不一样、方向不一样——但它们显然都是同一族的。我的一位同事看到这幅素描后说：“它看起来像是脊椎骨！”从那时候开始，我就这么称呼它了。

这样的说法或许点出了什么。图2-7中的每个柱体相较图2-6都有些许质的改变，根本原因就在于在描绘时我们侧重的是哪个定点或者哪条定线。

让我们挑选一种动物的骨骼，观察它各块脊椎骨的异同之处。

收藏在苏格兰贝尔佩蒂格鲁博物馆中的鼠海豚骨骼标本（见图2-8），每块脊椎骨的差异似乎不大。它们属于同一种变化形式吗？根据笛沙格的三角形系列，或许苏格兰知名生物学家达西-温特沃斯·汤普森（1860—1948）爵士的不变性观点需要被重新检视了。

脊椎骨显然不是几何学中的三角形，但它们都只是一种形式而已，任何形式都可以变换，即使像脊椎骨这样有点复杂的形式。这种变换中存在某种规则吗？有某种领域可以纳入不同的形式吗？是什么将全部这些形式整合成一体的？在三角形的变换中我们可以清楚地看到这样的整合，但是脊椎骨呢？我们要完全理解它还有很长的一段路要走，但是变化的三角形让我联想到脊椎骨中可能存在某种规则。

2.3 变异和特殊情形

令人讶异的是，在笛沙格定理作图法中，利用一组直线竟然可以获得10种不同的三角形组合，伦威克·希恩在《几何学与想象》（Geometry and the Imagination）中对此有详细的描述，我在图2-9至图2-12中展示了其中4种，感兴趣的读者可以自己找一找另外6种。

这种对影子和投影非常重要的作图方法，还有其他的意义。图2-2中所标定的点与线的位置可以有很多种配置方式。如果一开始给定的点与直线在特定的位置，那么对应的三角形就会变得十分特别。而在我们看来，大自然感兴趣并以其美妙方式呈现的就是这些特殊的例子。从某种意义上来说，笛沙格定理就是把一般情况过度简化后的结果，任何轮廓或二维形式都可以被变换。在图2-13中，通过多个三角形（这里只显示了一个）就可以画出圆的影子，而圆的影子变换成了椭圆，这和图2-1中橄榄种子的影子类似。

2.4 轴对称

前文已经介绍了在平面上任给一点和一直线作图的情况，但若把它们放在几个特别的位置，情况会如何？如果我们把直线h留在地面上（也可以说是留在纸上），把点S放得很远很远（事实上是放到无穷远处），那么通过点S的3条直线看起来就像是平行的（两个三角形三边延长线的交点仍然在直线h上）。图2-14描绘了三角形轴对称的3种情况。

第一种，将点S放在无穷远处，3条直线相互平行；第二种，让3条直线垂直于直线h；最后一种，让两个三角形对应的顶点到直线h的距离相等。

如此，我们就得到了两个轴对称（或称为镜面对称）图形，也就是两个三角形是彼此的镜像。因此，轴对称是用笛沙格定理作图的一个特例。

大自然中有轴对称的例子吗？有的。晶体的晶面、植物的叶子、兰花、动物及人类身上都显示出了这种对称性。由上往下看，典型的叶子基本上轴对称于中央的主叶脉（见图2-15）。兰花鲜明地展现了这种对称性，其对称轴几乎是竖直的，例如蝴蝶兰（见图2-16）。从正面看，动物也显露出这种对称性，其对称轴也几乎是竖直的（见图2-17）。人类身上也存在这种对称形式。

这是对称的一种形式，在笛沙格定理作图法中逐渐增加限制条件就会出现这种对称形式。

2.5 平移对称

另一种对称形式是平移对称，它似乎是最简单的对称形式。以三角形为例，平移对称除改变了三角形的位置外，其他全都没有改变：形状是相同的，角度、边长和面积也都一样，方向也保持相同。图2-18展现的就是横向平移的三角形。

为了达成平移对称这个目标，我们在利用笛沙格定理作图时必须特别做些什么呢（见图2-19）？再一次，我们将点S放在无穷远处，通过它的3条直线也依旧是平行的，只是这一次三角形都要位于点S和直线h之间。令过点S的3条直线分别为a、b、c，直线h上的3个点分别为A、B、C。接下来的步骤是最关键也是最有趣的，我们把直线h移到无穷远处（我在这里用一个大的虚线圆来表示，但这么做是否合适或许有待商榷）。若点S在无穷远处，那么它一定在直线h上，而点A、B、C也一定在该无穷远的直线h上。那么三角形会发生什么变化呢？它们会变成全等三角形——对应边和对应角都相等，只有位置不同。

这种对称形式是物体在平面上重复（也可以说是复制）自身而形成的。在大自然中哪里可以见到这种对称形式呢？在微观层面，这种对称形式大抵表现为以基本原子为单位的重复；在更高一点的层面上，应该就是晶体结构。有些晶体呈现出这种重复结构，因为它们的样子看起来就像是矩形，甚至是正方形的连续重复。这种结构存在于图2-20所示的这一大块方铅矿中：清晰的线条纹路和明显可见的正方形或矩形，角度呈45°。我们清楚地看见，图2-21中用红色虚线标示出一个正方形，构成45°角的线则以绿色虚线表示，它们交错于互相垂直的裂痕上。在图2-22中，我们用“小球”来表示硫化铅晶体的分子结构；很明显，硫化铅晶体的任何表面看起来都像是由正方形拼凑而成的。

硫化铅晶体的这种棋盘式镶嵌的结构形式在更大型的物体上也存在。我在澳大利亚东海岸看到的岩石，表面是相对规则的宏观构造，上面有被侵蚀而成的裂缝，像极了大型的铺路石。我们可以说它们就像是由六边形石柱组成的北爱尔兰巨人堤道一样，那么它们也是由小单元平移而成的吗？

大自然以这些重复的形式来造物，我们亦然。想想层层堆砌的砖头，我们总是在建筑中利用这种对称性，无论建筑是大还是小，例如建筑师严谨地利用这种简单的重复手段所设计出来的摩天大楼。

2.6 旋转对称

我们还要考虑另一种很重要的对称形式。现在，我们把点S放在中央，直线h留在点S附近，让3条直线a、b、c与3个交点A、B、C运动。这是什么意思呢？意思是让3条直线围绕着点S旋转，而对应的交点A、B、C则在直线h上移动。

在图2-23中，左上角表示的是用笛沙格定理作图的一般情况；左下角则是当3条直线旋转且3个交点A、B、C移动时，三角形的运动情况。我们发现，三角形围绕点S移动，并逐渐变大再变小，同时不断地改变运动方向与形状。它们的旋转轨道是椭圆的，三角形的任一个顶点都是在以点S为焦点之一的椭圆上移动（所以三角形3个顶点的运行轨迹是3个套在一起的椭圆）。接下来的一步（见图2-23的右边）是关键。我们把直线h移到无穷远处（再次以大的虚线圆来表示这条特殊的线），并让点S在中央。3条直线依旧围绕着点S旋转，但3个交点A、B、C则是在无穷远处的直线上移动。令人惊讶的是，我们通过这种方法得到了一个熟悉的旋转图形。于是，我们从最初的情况中推导出了一种简单且精确的旋转结构：三角形全都变得一模一样，并以点S为中心旋转。

在大自然中哪里可以找到这种呈圆形的旋转形式呢？答案是随处可见，例如图2-24中的花朵。在这张图中，花瓣取代了三角形的角色。但是，这些花瓣是完全相同的吗？这是一个可以继续探究的问题，只是花瓣的形状究竟要精确到什么地步才能说是完全相同的呢？我们要画这样一个图形，把直线h移到无穷远处只是一种假设（见图2-25），基本的要求是这个图形需要一个中心点，也需要一条外围的“直线”，即便我们无法真的画出它、看到它或得到它。

图2-26描绘的是图2-23中的椭圆形旋转轨道。显然，图中的三角形都属于同一个三角形族。虽然每个三角形之间在各个方面都不同，但它们仍是同一族的。如果某个三角形画得不正确，我们就会觉得它很突兀，因为我们心中仿佛有一只“和谐之眼”，可以一眼看出不和谐的地方。这些三角形如何呈现取决于它们与点S以及直线h的相对位置，而在我们所描绘的图中，直线h实际上是在页面之外的。

我曾经很好奇，在大自然中有什么东西是类似这种对称形式的。后来，我在澳大利亚北海岸的一个饭店的休闲区偶然发现了一种具有这种对称性的植物。在图2-27中，10片披针形的叶子围绕着它们的中心，每一片叶子都有很明显的轴对称性，而且这些叶子的尖端呈椭圆形的、不对称的旋转形式。虽然这在植物界中并不常见，但确实存在。

此处我们可以问一个有趣的问题：如果中心点S在这轮扇形叶子中显而易见，那么那条直线h在哪里呢？如果真的存在h，它有什么意义呢？答案是：这轮扇形叶子实际上是整体几何结构的一部分，即便我们给不出直接的解释。为什么要认为“中心”比“外围”重要呢？从几何学的角度来看，那条直线（或者说外围）是不可忽视的，它如同中心一样，都是完美构造中不可或缺的一部分。

我相当讶异，原来这些对称性都来自于一个基本的设计，而且在大自然中这些对称性都有一些典型代表。据我所知，只有在影子中才会出现共通的情形。因此，射影定理是笛沙格定理的另一个合适的名称。

2.7 对偶与配极

在结束这一章之前，让我们稍稍论及几何学的另一个内容，它将对后面章节的学习有所帮助。射影几何中的一个基本知识点就是一系列的对应关系，例如：相异两点决定一条直线，相异两平面决定一条直线，一条直线和不在直线上的一点决定一个平面，一个平面和不在平面上的一条直线决定一个点。

在以上的叙述中，在直线保持不变的情况下，点和平面的位置是可以互换的；也就是说，点和直线在平面上会成立的情况，平面和直线也会在点上成立。这就是所谓的对偶原理和配极原理：其中一个性质被称为另一个性质的对偶或配极。

假如我们把自己局限在平面上而不是空间中，那么讨论的基本对象就只有点和直线，我们可以把这两个基本元素当作平面上的对偶来互换。比方说，3个点决定1个三角形，用对偶原理进行互换就是3条直线决定1个三角形。

更难想象（主要是因为我们在日常生活中对对偶原理并不熟悉）的是，把我们自己局限在一个点上，考虑通过它的所有直线和平面，这是点的几何学。我们可以说：任意两条直线决定一个平面，任意两个平面决定一条直线。我们同样可以将平面和直线互换，这样就把点的几何学对偶化了。

到目前为止，我们都是在平面上考虑这些形式，而我们可以在平面上做的每件事也都可以在一个点上做。看图2-28应该就清楚了，我们可以把图中平面上的椭圆和点上的椭圆锥想象成是紧密相连的。在平面上，我们用点和直线来作图；在点上，如果可以的话，我们只用直线和平面来作图。虽然这很难想象，但在作图时就可以理解它。