书名：七堂极简数学课
ISBN：978-7-115-61646-3
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编 著 张若军 高 翔 范中平
责任编辑 刘 朋
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数学是一门古老而又充满活力的学问。从自然数到万物皆为有理数，从欧氏几何到变量数学，从确定到随机，最后再到计算机与人工智能，数学的发展凝聚了人类的最高智慧，也极大地推动了社会文明的进步。
本书通过七堂简洁易懂的课程串起了数学发展历史中的一些重要概念、人物、事件等，包含代数学、几何学、分析学、随机数学以及计算数学这些数学分支中的重要而又基本的内容，叙述详略得当，架构完整，整体和谐有序。作者在阐述博大精深、错综复杂的数学演化过程时，将历史、传记和科学融为一体，并倾注了个人对数学与科学的热爱和理解。
本书适合广大数学爱好者阅读，也可供对数学文化感兴趣的人士参考。
接受过学校教育的人都知道一些数学知识,但如果上升到认知数学的本源和本质问题,比如数学是如何发展的,因何发展,其精神、思想与方法有哪些,对人类文明产生了怎样的影响,又是如何指导人类探索世界的,估计就没有多少人可以说清楚了。
数学与那些研究特殊事物的具体科学(如物理学、化学、生物学等)确实有很大的区别,不在同一层面上。今天的数学已经渗透到几乎所有的科学领域中,为它们的存在、发展和进步提供了必要的工具和行之有效的方法。大量的历史事实证明了数学成就的持久生命力。
意大利物理学家卡洛·罗韦利的科普名作《七堂极简物理课》畅销多年,该书以七堂简单清晰的课程阐述了20世纪以来的现代物理学。作者的文笔飘逸,语言如诗般优美,特别是没有烦琐的方程式,能令人在愉悦的心境下领略物理世界的有趣、丰富和深邃,心智得到启迪。
对于无处不在而又无比重要的数学,为什么不能有一本类似于《七堂极简物理课》的科普读物呢?既然现代人需要具备一定的科学素质,而数学素质是科学素质中必不可缺的一项,那么数学的科普就是十分必要和有意义的。几年前,编者有意撰写一本《七堂极简数学课》,但真正着手构思时,在卷帙浩繁的数学史料中,如何选取内容构建“七堂课”,到底要“简”到什么程度,以何种风格进行撰写,成为摆在编者面前的一道道难题。
那些在数学的天空中熠熠生辉、个性鲜明的数学家,那些精彩纷呈、跌宕起伏的数学故事,那些超凡脱俗、优美奇异的数学杰作,那一段段漫长艰辛、蜿蜒曲折的数学发展史,令人难以取舍。但总归是仁者见仁、智者见智,一千个人眼中有一千个哈姆雷特,我们选择呈现的内容和方式虽然基于个人对数学的认识,但也能反映数学中最基本和最核心的问题,以及伴随这些问题而出现的人和事。20世纪英国分析学派的代表人物哈代在他那本著名的《一个数学家的辩白》中坦言:“数学家们的学科是最奇怪的——任何一个学科中的真理都不像数学真理那么古灵精怪。数学中有着最精致和最迷人的技术,对于展现单纯的职业技巧来说,它为人们提供了无可比拟的机会。”本书选择了最具代表性的数学分支,串起历史、人物及数学的发明与发现,以此反映哈代所说的“奇怪”。
本书关注七大数学分支:第1章为数论,第2章为代数学,第3章为几何学,第4章为分析学,第5章为微分方程,第6章为随机数学,第7章为计算数学。由于编者的主观及客观原因,本书不可避免地存在一些问题。第一,书名虽强调极简,但因为考虑叙述系统、架构完整,所以每一章的内容仍包含多个小节。第二,书中涉及大量和历史年代有关的问题,由于各种史料的记载不一,或者年代久远,无从考证,我们最终以权威出版物中的记录为准。第三,由于三位编者对于数学的理解和偏重不同,虽然大家已尽力融合,但采用的视角与叙事风格仍难以完全统一。
数学世界之大之美,绝不是一本篇幅短小的数学科普书所能概括的,而对数学真谛的领悟则需要长期艰苦的数学学习与实践的历练。编者只是在尽可能避免教学形态上的那些令人恐惧的数学推导和公式的前提下,以浅显易懂的文字,让读者在较轻松的氛围中领略数学的风采。虽非全貌,也未必可窥一斑而知全貌,但多多少少了解一点数学是什么和做什么,未尝不是一件好事!
本书的前言、第1章第1~5节、第2章第1~5节、第3章第2~8节、第4章第1~5节由张若军撰写;第2章第8~10节、第3章第1和9节、第5章、第6章、附录1和2由高翔撰写;第1章第6~9节、第2章第6~7节、第4章第6~7节、第7章由范中平撰写;最后由张若军统稿。
与一众科普大家和名家相比,编者的学识与文笔有很大的差距,但基于多年的教学实践与科普教育研究,以及参考大量的文献资料,编者也形成了个人对数学科普的某些见解和思考,并通过本书将之尽情释放,与诸位分享、探讨,可谓幸甚至哉。
十分感谢人民邮电出版社对本书出版的大力支持,也非常感谢刘朋编辑对本书提出的有益建议。在他的辛勤付出和不断打磨下,本书增色不少,他的专业敬业乐业精神值得我们学习。因为编者水平所限,书中错漏之处在所难免,敬请读者给予谅解并及时指出,以便予以更正。
编 者
2023年1月于青岛
1.1 自然数的魔法在日常生活中,我们和数字结下了不解之缘,无论是日期、时间、电话号码还是金钱的多少、物品的数量、生命的长短,哪一个都少不了和数字打交道。对于今天的学习者来说,在幼儿园阶段,甚至是刚牙牙学语、蹒跚学步时,很多人就在大人们不厌其烦的指导或“威逼利诱”下,扳着手指头开始接触和记忆自然数,学习简单的加减运算。
自然数,从名字上就可以看出它们的出现是自然而然的。当人们计量事物的数量和表示事件的次序时,自然数就诞生了。事实上,在人类文明开始之初,因为土地测量、财产分配、商业贸易等的需要,我们的祖先就尝试使用过很多不同的计数系统,用来记录和计算数字。研究人员发现最早的数字记录形式可以追溯到3万年前,相应的物证是一种带有表明数量的标记的伐木棍。
在曾经出现的刻痕计数、结绳计数、筹码计数、算盘计数以及二进制、十进制、十二进制、二十进制、六十进制等众多计数法和进制中,采用阿拉伯数字的“数值+数位”的十进制计数和排序系统备受青睐,今天在世界各地被广泛采用。
阿拉伯数字最早来源于古印度人的发明,后经阿拉伯人传入欧洲,经欧洲人加工固定成为现在通用的样子,不过在传承的过程中被谬传为阿拉伯数字,这也说明了传播者的重要性。阿拉伯数字的基本符号为1,2,3,…,9和0,我们在这里将这10个数字称为“基”——代指基本、基础的意思。10与人们的天然计数工具——手指和脚趾的数量一致,而英文“digit”(意为“数字”)一词的拉丁语词根的意思恰好就是“手指”或“脚趾”。由此可见,人们在很多时候可以打破语言和国界的限制,只要拥有一样的感受就能互通互融,科学知识无国界。
排序这件事可以有多种选择,但是一个简洁精巧的系统总是会受到欢迎的,因其有利于普及推广。在阿拉伯十进制系统中,除了作为“基”的10个数值,还需要一个计数单位,这样就有了“进制”的概念。0~9有专门的符号,从10开始就没有专门的符号了。10的概念是用“数位”表示的,每个“数位”代表10的几次方,十进制系统有个位、十位、百位、千位等。
1=100
10=101
100=102
1000=103
……
若在十进制下,一个数用符号记为anan-1…a1a0,则这表示anan-1…a1a0=an×10n+an-1×10n-1+…+a1×101+a0×100。
有了“数值+数位”的理念,再大的数字写起来都不费什么力气了,无论什么数字都可以依据0~9这10个基结合“数位”来表达,你只要把这10个数字放到正确的位置上即可。但是特别大的数字和特别小的数字写起来可能会费时间,因此一些更精巧的计数方法(例如阿拉伯数字的科学计数法)就被发明出来了。用这种计数法既可以表示微观世界中一个原子核的半径,也可以表示宏观世界里两颗遥远星球间的距离。
这里顺便提一下罗马数字。对应于阿拉伯数字1~10,罗马数字的写法是:Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ,Ⅸ,Ⅹ。罗马数字的计数原则是选择一些重要的数字(例如1,5,10,50,100等)并赋予这些数字相应的符号(例如50用L表示,100用C表示),其他数字均表示为这些重要数字的加减法组合(例如58的写法是LVIII,266的写法是CCLXVI)。
简单粗暴的处理方式和烦琐的表达直接导致的结果就是笨拙、复杂的罗马数字计数系统应用不方便,一旦数字超过1000,再进行加减运算,整个系统将不堪一击,其表现就是完全瘫痪。可想而知,这样的系统不可能普及,最终被无情淘汰是必然的。而今,我们只能在钟表的表盘、元素周期表、书稿章节和科学分类的序号标记等上面看到罗马数字的身影了。瑞士、德国生产的名表的表盘仍使用罗马数字,而非阿拉伯数字,有人说这是为了彰显复古和厚重风格,表示崇尚传统,但将之看成循规蹈矩、因循守旧或者审美习惯也未尝不可。
尽管今天以0~9为基的阿拉伯十进制系统被普遍使用,但是在不同的文化背景和场合下,人们也会选择其他不同基的计数系统。
在过去的几十年中,科学家们发现,除了数字,其他所有的信息(例如语言、图像、声音等)都可以用二进制编码来表示。现代社会处在电子信息时代,毫不夸张地说,二进制的力量改变了整个世界。今天人们使用的电子产品都是基于二进制的,这种系统的产生是因为计算机的数字电路里的每个开关都处于“开”和“关”两种状态之一。现代计算机技术就建立在识别这两种状态的基础上,而二进制也只有0和1这两个基,很容易用电子元件实现。二进制系统的“数位”有个位、二位、四位、八位等。
1=20
2=21
4=22
8=23
……
若在二进制下,一个数用符号记为anan-1…a1a0[这里为了不与十进制数混淆,将之记为(anan-1…a1a0)2],那么它与十进制数之间的关系是(anan-1…a1a0)2=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20。
二进制数字只有0和1,为了表达十进制系统中的一个很小的数,可能需要用很长的一串0和1。例如,十进制中的89在二进制中可写成1011001,即(1011001)2=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=89。
德国哲学家、数学家莱布尼茨是他所处时代最伟大的思想家之一,他在二进制计数法中看到了宇宙创始之初的状态,想象1表示上帝,0表示虚无,上帝从虚无中创造出所有的实物。因此,他在数学系统中用1和0表示所有的数。莱布尼茨是系统地提出二进制法则的第一人,这为现代电子计算机的发展奠定了基础。他曾根据二进制原理制造了一台真正意义上的计算器,并将其献给他所尊崇的东方大国的康熙皇帝。康熙则将这一发明视为珍宝装在红木盒里藏于深宫,做到了“高束焉,庋藏焉”。
二进制的缺点是它表示的数字往往是极长的一个数字序列,从而占用了太多的计算机内存。为了节约内存,缩短二进制数字的各种方法被提出来了,八进制、十六进制、三十二进制以及六十四进制被逐步引进,计算机技术也得以不断进步。例如,八进制计数法采用0,1,2,3,4,5,6,7这8个基本符号,十六进制计数法采用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F这16个基本符号。
再往前追溯至公元前3000年,古巴比伦人采用过用六十进制表示的数字系统。在六十进制下,一个数用符号记为anan-1…a1a0[这里为了不与十进制数混淆,将之记为(anan-1…a1a0)60],那么它与十进制数之间的关系是(anan-1…a1a0)60=an×60n+an-1×60n-1+…+a1×601+a0×600。
在今天的时间度量中,1小时有60分钟,1分钟有60秒。另外,一个圆周的度数为360°。这些都是六十进制在人们的生活中留下的文化印迹。60能够被1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30这11个比自身小的整数整除,因此六十进制在处理数量分配问题时具有明显的优势。
纵观各种进制,十进制是那么自然和易于接受。在计数时,人类的大脑可以本能地用十进制进行必要的思考,而对于其他进制,这种本能就消失殆尽,所以数学工作者又发展出了对各种进制进行相互转化的方法。
1971年,尼加拉瓜发行了一套名为“改变世界面貌的十个数学公式”的邮票。这十个数学公式是由一些著名的数学家联袂选出的,其中位列第一的是与手指计数基本法则有关的“1+1=2”。这个在今天的幼儿园里的小孩子看来再简单不过的数学式子是人类最初认识数量关系的基本公式,而正是从手指计数开始逐渐形成了进制系统。
“改变世界面貌的十个数学公式”之手指计数基本法则
进制是有意为之的发明。当这项发明出现以后,人们发现了随之而来的规律,这些规律不以你我的意志为转移,而又强有力地为我们的生产生活和科学研究提供了简单易懂、严谨有序的表述数字的方式。自然数的进制魔法带来的财富,无疑受到了全世界人们的重用和偏爱。
1.2 奇特的墓志铭说起丢番图,想必一些年少时读过《十万个为什么》(数学卷)的读者,对这个名字并不陌生,对他奇特的墓志铭也耳熟能详。这一节让我们再次回顾这位古希腊数学家的一生以及他给数学带来的影响。
丢番图及其著作《算术》
丢番图是古希腊亚历山大后期的数学家,生活在埃及,因代数学研究而闻名,以代数学的鼻祖著称。因为年代太久远,关于他的生卒,没有确切时间,约公元246—330年的说法已无从考证,应该是按照他的墓志铭中的年龄以及他的数学研究成果出现的时代来推算的。
尽管对于丢番图的生平经历,人们知之甚少,但在公元500年前后出现的一本《希腊诗文选》中收录了丢番图的墓志铭:
过路人,这里埋葬着丢番图。多么令人惊讶,碑文忠实地记录了他所经历的人生。上帝给予的童年占六分之一。又过十二分之一,两颊长胡须。再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛。五年之后,天赐贵子。可怜迟到的宝贝儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的坟墓。悲伤只有用数论的研究去弥补。又过四年,他也走完了人生的旅途。请问他活了多少年才与死神见面?
墓志铭的中文译者看来还是有些中国诗歌功底的,因为译文读起来很押韵。这篇墓志铭显然是一个典型的一元一次方程问题,有一点初中数学基础的人都可以轻而易举地进行解答。设丢番图活了x岁,列出下列方程:
解得x=84。
如果非用小学生学到的数学知识来求解,则采用分式解法,这个问题转化为考虑9年(结婚到孩子出生有5年时间,儿子离世到他也去世有4年时间)占据丢番图一生的几分之几。当然是
,故有
在那个医学远不发达的遥远时代,丢番图确实算长寿之人,这难道和他热爱数学、专注于代数学研究有关?
丢番图写过三部著作,即《算术》《论多边形数》(或译为《多角数》,仅存一些残篇)和《行论》(已遗失)。其中,《算术》原有13卷,15世纪发现的希腊文本仅有6卷,1973年在伊朗境内发现的阿拉伯文本为6卷,现存10卷,共有290个问题,分50余类。它是丢番图最具创造性和影响力的伟大著作,有多种版本和评注。《算术》主要讨论一次方程、二次方程以及少量的三次方程,还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程,如果只考虑其整数解,则称之为丢番图方程,这属于数论的一个重要分支。丢番图当时主要讨论不定方程在有理数范围内的正根,因为他认为负根是不合理的。他解方程的方法大都比较巧妙,但是解一题用一法,甚至性质相近的方程的解法也不同,所以后人评价丢番图给人的困惑大于惊喜。
换一个角度来看,《算术》研究的问题也可归入代数学的范畴。代数学区别于其他学科的最大特点是引入未知数,并对未知数加以运算。就引入未知数,创设未知数的符号,建立方程的思想(虽然还不是现代的形式)并加以举例论述来说,《算术》完全可以算得上代数学领域的开山之作。
古希腊的代数学著作是用纯文字写成的,还没有采用符号系统。丢番图的一个重要贡献是在代数学中创造了一套缩写符号——一种“简化代数”,这是介于修辞学与完全的符号代数学之间的一种过渡性的代数符号体系,它使代数学的思路和书写更加有效和紧凑。例如:
| 丢番图的符号 |
s |
ΔY |
KY |
ΔYΔ |
ΔKY |
KYK |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 现在通用的符号 |
x |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
符号的出现可是一件大事,对数学的发展起着举足轻重的作用。数学的定义中曾有一种“符号说”——认为数学是一种高级语言,是符号的世界。德国大数学家希尔伯特曾说“算术符号是文字化的图形,而几何图形则是图像化的公式,没有一个数学家能缺少这些图像化的公式”。
符号对于每一个学习过数学的人来说都不陌生,符号代表一种速写方式。符号使得数学具备了抽象与简洁的特征,尽管人们无法对每个数学符号的产生进行确切的历史考证,但是一些重要的符号仍然在数学史上留下了深深的足迹。
公元3世纪之前,关于代数问题的解还没有缩写和符号,而是写成一篇论文,称之为文字叙述代数。此时,让我们试想一下,一本没有数学符号的数学教材会是什么样子呢?一个洋洋洒洒的大部头,缺乏小说中的那些引人入胜的情节,估计会让人读得昏昏欲睡吧。丢番图也许意识到了这种表达方式的缺陷,他对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方式,开创了简化代数学的新时代。
今日的数学符号,是早期人们使用的符号经过长期实践后保留下来的。如果我们的祖先很早就开始使用这样的符号,数学的发展很可能会更快,也许学习数学的人会更多,许多数学著作及方法也不至于失传。在这个意义上,丢番图的符号与简化思想是如此超前。
大家都知道,中学数学分为代数学与几何学两部分。古希腊时代,数学最初就是几何学,欧几里得的几何学深入人心,稳坐数学王者的宝座。当时的人们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性,代数学也披上了几何学的外衣,一切代数问题,甚至简单的一次方程的求解都被纳入了几何学的模式之中。此时丢番图横空出世,他认为代数方法比几何演绎更适合解决问题,从而把代数学解放出来,摆脱了几何学的羁绊,使代数学成为希腊数学中独立发展的一个分支。他在解题的过程中展现出了高度的技巧和独创性,使得《算术》被认为是一部可以和《几何原本》相媲美的、具有划时代意义的杰作。关于欧几里得及他的旷世巨作《几何原本》,我们将在第3章中进行详细介绍。
《算术》收集了许多有趣的问题,丢番图都给出了出人意料的巧妙解法,下面列举几个(仅给出答案)。
第1卷问题17:试求四个数,使其中每三个数之和分别等于给定的四个数,例如22,24,27,20。丢番图的答案是4,7,9,11。
第3卷问题6:试求三个数,使得它们的和等于一个平方数,其中任何两个数之和也等于一个平方数。丢番图的答案是80,320,41。
第4卷问题10:试求两个数,使得它们的和等于它们的立方和。丢香图的答案是
,
。
第6卷问题1:试求一个毕达哥拉斯三数组(即勾股数组),使得相应直角三角形的斜边减去任何一个直角边都等于一个立方数。丢番图的答案是40,96,104。
以第3卷问题6为例,看看如何得到答案,尽管验证是极其容易的事情。
设所求的三个数为x,y,z,丢番图给出的答案是x=80,y=320,z=41,则x+y+z=441=212,x+y=400=202,y+z=361=192,z+x=121=112,答案正确。但要求出这个答案绝非易事,甚至可以说太难了。
事实上,采用构造法,令
则有
, 
, 
, 
。如此一来,该问题有无穷多组解,即便限制解为正整数。这类问题就是求解不定方程,但我们不要忘记丢番图是不定方程的创始人啊!
尽管丢番图的思想远远超过了同时代的人,但遗憾的是他生不逢时,没有对那个时代产生太大的影响,因为罗马人很快到来了,一股吞噬文明的毁灭性浪潮降临了。公元3世纪以后,战乱连年不断,古希腊数学不再辉煌。
古希腊、古罗马的数学随着古老帝国的衰落也快速衰落下去,慢慢被世人遗忘。丢番图的《算术》沉寂了千年以后,直到16世纪才被逐渐翻译为拉丁文。其中,1621年巴切特翻译出版的拉丁文译本是最有名的一个版本。1637年,法国“业余数学家之王”费马在家里阅读的就是这个版本。他曾在第11卷第8个问题(这个问题给出了求x2+y2=z2的所有正整数解的方法)旁边的页边空白处写下一段注释:“将一个立方数分成两个立方数之和,或者将一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地,将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已经发现了一种奇妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”这段批注的意思是说方程xn+yn=zn在n>2时无正整数解,这就是著名的费马猜想,也常称为费马大定理或费马最后定理。对于该问题的研究产生了19世纪的数论。有趣的是,费马直到他28年后离世也没有发表他的奇妙证法。1667年,费马的儿子在翻阅父亲遗留的书本时发现了这个批注并将之公之于世。1670年,《算术》一书在法国再版,费马的批注被收录其中。
无论如何,从现存的文献中足以看出丢番图的杰出,他或许是数论领域中第一个真正的天才,他的《算术》对欧洲的数论产生了极其深远的影响。
1.3 数论的灵符不定方程是数论中最古老的分支之一,是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数。
不定方程有时也被称为丢番图方程。上一节已经提及古希腊的丢番图曾对这类方程进行研究,因此以他的名字进行命名也就不足为奇了。丢番图的《算术》中包含了许多关于不定方程组 (变量的个数大于方程的个数)或不定方程式 (两个及以上的变量)的问题。丢番图只考虑正有理数解,而不定方程通常有无穷多个解。
除了费马大定理中的不定方程,涉及丢番图方程的著名例子还有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理等。
贝祖等式是指对于任意两个整数a和b,设d是它们的最大公约数,那么关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为贝祖等式)ax+by=m有整数解(x,y),当且仅当m是d的倍数时。贝祖等式有解时必然有无穷多个解。
勾股定理x2+y2=z2(也称毕达哥拉斯方程)的正整数解可以表示为如下形式:x=2pq,y=p2-q2,z=p2+q2,其中p和q互素,p>q>0且二者不同时为奇数。
四平方和定理是由瑞士数学家欧拉提出的,该定理指出每个正整数均可表示为4个整数的平方和。
研究不定方程要解决三个问题:一是判断何时有解,二是有解时确定解的个数,三是求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家,公元1世纪成书的《九章算术》第八章中的第十三题“五家共井问题”就是一个例子,比丢番图方程还早300多年。这个问题是:“今有五家共井,甲二绠不足如乙一绠,乙三绠不足如丙一绠,丙四绠不足如丁一绠,丁五绠不足如戊一绠,戊六绠不足如甲一绠,各得所不足一绠,皆逮,问井深绠长几何?”这段话的意思翻译过来就是:五家共用一口水井,井深比2条甲家绳长之和还多1条乙家绳长,比3条乙家绳长之和还多1条丙家绳长,比4条丙家绳长之和还多1条丁家绳长,比5条丁家绳长之和还多1条戊家绳长,比6条戊家绳长之和还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索,刚好取水。试问井深、取水绳长各为多少?
我们很自然地想到列方程解决该题,可设井深为x,甲、乙、丙、丁、戊各家的取水绳长分别为a,b,c,d,e。根据5组数量关系列5个方程:
由于未知数的个数多于方程的个数,可以得到无数组解,但常识告诉我们,井深x一般在50寸到1000寸之间,而且a,b,c,d,e均为正整数,故方程组有有限组解。据此产生如下算法:将x看成“已知数”,将可能的x值(50和1000之间的正整数)代入方程进行试验,若a,b,c,d,e均为正整数,则这组数为方程组的解。因此,只需判断其中一个未知数为正整数,即可确定其他未知数均为正整数。这里取a为待检变量,故需找到x与a之间的关系,将方程化简为265x=721a。
继《九章算术》之后,成书于公元5世纪的数学著作《张丘建算经》中的百鸡问题是一个影响至今的不定方程问题。该问题叙述如下:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”
设x,y,z 分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的个数,则此问题即为求不定方程组的非负整数解x,y,z,这是一个三元不定方程组求解问题。原书中给出的三组正确答案为(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84),开创了中国数学一问多答之先河。原书中没有具体解法,只说“术曰:鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三,即得”,翻译过来就是“解法是:若少买七只母鸡,就可以多买四只公鸡和三只小鸡” 。这一解法简称百鸡术。因此,只要求出一组答案,就可以推出其余两组答案。
百鸡问题还有多种表述形式,如百僧吃百馒头、百钱买百禽等,大同小异。关于百鸡问题的解答标志着中国对不定方程理论有着系统的研究。南宋数学家秦九韶发明的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。清代数学家骆腾凤用大衍求一术求解百鸡问题的过程如下:对不等方程组
进行加减消元,化简后得到二元一次不定方程7x+4y=100。该方程等价于下述的一次同余方程组:
。这里的符号“≡”表示同余,同余的概念很简单:给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除,则称整数a和b对模m同余,记作a≡b(modm)。
利用大衍求一术,可求出特解y0=4,进而得到x0=12,z0=84。用百鸡术中给出的增减率,可得到全部的整数解:
再根据问题的实际意义,最终得到百鸡问题中合理的三组解(4,18,78),(8,11,81)及(12,4,84)。
前一节已说过,丢番图在《算术》一书中给出了求著名的不定方程x2+y2=z2的所有正整数解的方法,费马在阅读这部分内容时写下了那个十分著名的边注,引出了举世瞩目的费马猜想。后人猜测费马当时的想法并不成熟,否则也不会令后世一流的数学家为将费马猜想最终变成费马大定理奋斗了358年。
费马大定理
虽然费马大定理的证明难乎其难,但是费马写下的那段话十分有名。纽约的一座地铁站的墙上有一段涂鸦:“xn+yn=zn没有解,对此我已经发现了一种真正美妙的证明,可惜我没有时间写下来,因为我的地铁正在开过来。”这一调侃也说明了费马大定理在民众中的普及程度。2011年,Google竟然也在公司的标识上写道:“我发现了一个关于这条定理的美妙证法,可惜这里的空间太小,写不下。”这为的是纪念费马诞辰410周年。
费马猜想自出现以来在很长的时间里一直是个悬念。18世纪最伟大的数学家欧拉证明了n=3,4时该猜想成立。后来,还有人证明当n<105时该猜想成立。英国数学家安德鲁·怀尔斯花费了多年时间专注于费马大定理的研究,终于在1995年用100多页的论文给出了证明。当时英国报纸曾提到关于怀尔斯的研究内容的预印本长达100多页,全世界能完全弄懂证明细节的数学家不超过6人。异常艰苦的智力劳动使怀尔斯取得了20世纪的一项伟大的数学成就,并因此名垂数学史。
在证明费马大定理的过程中,大量的数学方法、数学理论被发现,全新的数学思想被提出。关键是其中任何一项成就都比不定方程有没有解这个问题本身重要得多。
德国大数学家希尔伯特说费马大定理是一只“会下金蛋的鸡”。据说曾有人问希尔伯特为什么不去证明费马大定理,这位大数学家的回答是“我可不想杀了这只会下金蛋的鸡”。由此可见费马的“无用之学”(在很长的一段历史时间里,有人认为数论是无用之学)对数学的深刻影响。或许希尔伯特也没有足够的能力证明这条定理,或许这真是为数不多的对整个数学的发展起巨大推动作用的好问题之一,正如爱因斯坦所认为的“提出一个问题往往比解决问题更重要”!
对费马大定理的研究产生了19世纪的数论,高斯于1801年出版的著作《算术研究》奠定了近代数论的基础。这部著作不仅是数论方面的划时代之作,也是数学史上不可多得的经典著作之一。此后,数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。
数论还有诸多分支,而数论的古典内容基本上不借助其他数学分支的方法,被称为初等数论。17世纪中叶以后,曾受数论影响而发展起来的代数学、几何学、分析学、概率论等数学分支又反过来促进了数论的发展,出现了代数数论(研究整系数多项式的根——代数数)和几何数论(研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”——空间格网)。19世纪后半叶出现了解析数论(用分析方法研究素数的分布)。20世纪出现了完备的数论理论,中国数学家华罗庚、陈景润等在解析数论方面都做出过突出的贡献。
xn+yn=zn仅仅是一个不定方程,如果我们能够破解更多不定方程中隐藏的秘密,那岂不是将有更多代数的冰山浮出水面?美国数学家约翰·德比希在他的著作《代数学的历史:人类对未知量的不舍追踪》里说:“现在,代数学已经成为所有智力学科中最纯净、最苛刻的学科……但最令人惊讶、最神秘的是在这些非物质的精神对象层层嵌套的抽象之中,包含着物质世界最深层、最本质的秘密。”
在1900年的第二届国际数学家大会上,希尔伯特提出了著名的23个数学问题,其中丢番图方程可解性的判别赫然在列。这个问题是:能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性?1970年,苏联的一位数学家证明了这样的算法不存在。
1.4 业余数学家之王1601年8月17日,皮埃尔·德·费马出生于法国西南部城市图卢兹附近的小镇博蒙·德洛马涅。作为富有的皮革商的儿子,费马从小衣食无忧,生活在富裕舒适的环境中,但父母并不宠溺他,父亲还专门给他请了两个家庭教师。因此,他不用去学校,在家里就可以接受良好的系统教育,并培养了广泛的兴趣和爱好。年少时的费马虽称不上神童,但也聪明勤奋,门门功课都不差。不过,他最喜爱的是数学。
费 马
费马在14岁时才正式进入中学读书。1617年毕业后,他遵照父亲的愿望选择读法律专业,并且自己也喜欢。这真是两全其美的事情。在当时的法国,律师是令人艳羡的“高大上”职业,费马先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。
17世纪的法国有着卖官鬻爵的风气,这既迎合了富有者获得官位而提高社会地位的愿望,又增加了政府的财政收入。费马作为典型的中产阶级家庭的孩子,也未能免俗。他尚未大学毕业,便在家乡买好了律师和参议员的职位。1631年费马毕业返乡后,很容易就有了一份律师工作,还成了图卢兹议会的参议员。费马从步入社会直至去世,虽无突出政绩值得称道,但他在仕途上不断升迁,可谓一帆风顺。
尽管费马花钱买职位这件事不太光彩,但大环境如此,好在费马一生从不滥用职权,他的公正廉明赢得了人们的信任和称赞。在这一点上,除了家教,数学研究对他的影响也许不容忽视,因为数学具有一种文化品格,那就是数学训练对人的一生潜在地起着根本性的影响,其中包括规则意识、严谨的思维和认真的态度。
费马很有语言天赋,除母语外,还精通拉丁语等5门语言。他用多种语言写作的诗歌广受赞誉,同时他也热衷于希腊文本的校订。虽然白天的司法工作异常繁忙,但夜晚和假日几乎全被他用来学习语言和研究数学了,而对数学的酷爱和孜孜以求使得他在解析几何、微积分、概率论、数论、物理学等领域都做出了卓越的贡献。
费马是解析几何的发明人之一。在笛卡儿的几何学研究成果发表(1637年)之前,他就发现了解析几何的基本原理,建立了坐标法。他利用代数方法对古希腊阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》进行了整理和总结,对曲线做了一般研究。他于1630年用拉丁文撰写了仅有8页的论文《平面与立体轨迹引论》,指出由两个未知量决定的一个方程式对应着一条轨迹,可以描绘出一条直线或曲线。费马还对一般直线和圆的方程以及双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。笛卡儿是从一条轨迹来寻找它的方程的,而费马则是从方程出发来研究轨迹的,这正是解析几何的基本原则相对的两个方面。
17世纪,继解析几何之后,微积分成为变量数学最重要的里程碑。众所周知,牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者,但在他们之前有许多先驱为微积分大厦的落成做了大量的探索工作,费马是其中有重大贡献的一位。曲线的切线问题和函数的极值问题均为微积分的起源。费马于1637年出版的著作《求最大值和最小值的方法》引入了无穷小量,给出了求函数极值和曲线切线的方法,这是微分学的内容。他还发现了一种求平面和固体重心的方法,这是积分学的内容。高等数学教科书会介绍这些知识,今天的理工科大学生们对此并不陌生。
我们知道,概率论起源于数学家对并不光彩的赌博问题的研究。中世纪的欧洲流行用骰子赌博,15世纪和16世纪的意大利数学家帕乔利、丰塔纳和卡尔达诺的著作曾探讨过许多概率问题,著名的“分赌金问题”曾引起热烈讨论。1654年左右,费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题,并用组合的方法进行解答。他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣。惠更斯于1657年出版了概率论的奠基之作《论赌博中的计算》,该书在欧洲曾长期作为教科书。这些数学家的著述中出现了一批概率论概念(如事件、概率、数学期望等)与定理(如概率加法、乘法定理),标志着概率论的诞生。
在光学方面,费马突出的贡献是提出了最小作用原理。该原理也称为费马最短时间原理,它指出光沿所需时间最短的路径行进。早在古希腊时期,欧几里得就提出了光的直线传播定律和反射定律,后来海伦揭示了这两条定律的实质——光沿最短路径传播。随着时间推移,这条定律逐渐被扩展成自然法则,进而成为一种哲学观念。费马将这一哲学观念转化为科学理论。他还讨论了光在逐点变化的介质中行进时,其路径取极小的曲线的情形,并用最小作用原理解释了一些现象。这给数学家很大的启发,特别是欧拉通过变分法用这条原理求泛函(函数的函数)的极值,为拉格朗日的力学研究提供了合适的数学工具,给出了最小作用原理的具体形式。
在数学的诸多分支中,最令费马倾心的当数数论,他如某些孩童对待游戏般痴迷于数论研究。他研究过完美数、亲和数、佩尔方程,以及后来以他的名字命名的费马数和费马素数。在研究完美数时,他发现了费马小定理(1640年),即ap-a≡0(modp),其中p是一个素数,a是正整数。
费马在数论领域中取得的成果巨大,他超人的直觉对17世纪数论的发展影响深远,可以说他以一己之力撑起了17世纪的数论天地。他提出了数论中的许多猜想,因此也被称为“猜想数学家”。这些猜想,包括著名的费马大定理,经诸多数学大师的苦思冥想,最终均获证明。费马大定理使得费马名扬天下,并促进了代数数论这一学科的诞生。
费马的工作标志着近代意义上数论研究的开始,但是与现实没有任何关系的数学缺乏发展的外部推力。高斯这样评论道:“我承认我对费马的定理没什么兴趣,这是个孤立的命题。像这样既没人能证明也不能证伪的命题,我随手就能写一大串。”高斯是站在数学山巅的巨人,一览众山小。好在二者相差近200岁,这样有点轻慢的语言也无所谓,造不成什么伤害。的确,费马大定理以及别的丢番图方程可解或者不可解问题,就那个时代而言,对其他数学分支貌似也产生不了太大的影响。
宇宙大爆炸理论的提出者乔治·伽莫夫在1961年出版的科普名著《从一到无穷大》的第二章“自然数和人工数”里有一段这样的叙述:“迄今为止,数学还有一个大分支没找到什么用途(除了起智力体操的作用以外),它真可以戴上‘纯粹之王冠’。这就是所谓的‘数论’(这里的数指整数),它是最古老的一个数学分支,也是纯粹数学思维最错综复杂的产物。”
殊不知,20世纪60年代以来,随着数字通信技术的迅猛发展,信息安全问题受到了极大的重视。70年代出现的RSA公匙方案是迄今为止应用最广、保密性最强的加密解密方法,其数学原理就依赖数论,其中最主要的是费马小定理。时至今日,人们对数论的认识已然发生了天翻地覆的变化,数论的影响超越“算术游戏”“智力体操”,成为现代数学赖以存在的基础。这需要感谢费马几百年前的兴趣使然。
1665年1月12日,费马病逝。他一生谦和内向,好静成癖,无意构制鸿篇巨制,更无意付梓刊印。他的研究成果是其长子兼科研助手萨摩尔从他写在一些书上的批注、与朋友往来的书信以及残留的旧纸堆中整理、汇集而出版的,因此写作年月大多不详。费马在生前没有完整的著作出版,因而当时除少数几位密友外,他的名字鲜为人知。19世纪中叶,随着数论的发展,费马的著作才引起数学家和数学史学家的研究兴趣。随后,他的名字在欧洲不胫而走。值得一提的是,人们早就认识到时效性对于科学的重要意义,而费马的数学研究成果未能及时发表、传播和发展,这既是他个人的名誉损失,也影响了那个时代数学发展的步伐。
费马从未受过专门的数学教育,数学研究只是他的业余爱好。然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。这位业余数学家的能力和成果比大多数专业数学家还要显著,“业余数学家之王”的桂冠对他来说实至名归。
万世师表的孔老夫子早就说过“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”。费马对数论的痴迷、对数学研究的热爱没有任何功利之心,他乐在其中,陶醉在其中。这多少让今天生活在冗杂浮躁时代的我们从心底羡慕那种难能可贵的纯粹。
1.5 数学王子1777年4月30日,约翰·卡尔·弗里德里希·高斯出生于德国北部城市不伦瑞克的一个贫穷的工匠家庭,他自小就表现出非凡的才能。他家上溯几代都是农工阶层,没有良好的教育背景,子孙后代中出了这样一位天赋异禀的神童,算得上是个异数。
高 斯
据说歌德在6岁时编写了木偶戏的剧本,莫扎特在5岁时创作了第一首钢琴曲,那么高斯呢?在他3岁时,父亲在一家砖瓦厂任督工,有一次给工人发薪。小高斯站起来说:“爸爸,你算错了。”众人目瞪口呆,重算的结果证实他是对的。高斯晚年曾打趣说自己在说话以前已经会算术。
大家耳熟能详的故事是9岁的小学生高斯计算从1加到100的和。虽然这个故事有大同小异的各种版本,但大意是说在其他小朋友汗流浃背地忙着运算时,高斯早就得到了5050 这个答案。他给老师的解释是:1+100=101,2+99=101,…,50+51=101,所以从1加到100 等于50个101相加,答案便是5050。多么清晰简洁的算法!
在对天才儿童的教育上,高斯的父亲既无钱也无意培养他。然而高斯在11岁时便能导出二项式定理的一般展开式,并且对无穷级数的展开很熟稔,于是神童的名号传遍不伦瑞克。幸运的是当地的一位公爵欣赏他并愿意出资供他读书,负责他以后的教育。
1792—1795年,高斯被送到德国当时的最佳学府之一——卡罗林学院学习。在卡罗林学院学习期间,高斯读了许多古典文学名著,培养了良好的文学素养。他也研读了牛顿、欧拉和拉格朗日等人的数学著作。作为一个骨子里酷爱数字游戏的少年,高斯在1792—1793年研究了素数分布,他对整数以千为等级进行划分,找出其间所含的素数个数。古希腊的埃拉托色尼得到的结论是整数p所含的素数不大于
,由筛选法可求得素数个数。而高斯则由观察得出素数个数的增加率D(n)=π(n)-π(n-1000)[这里的π(n)表示2和n之间的素数的个数,n≥1000)与
成正比。高斯也想过
的情形(这里的lnn是n的自然对数,~表示当n趋近无穷大时,π(n)与
的比趋近1),即素数定理,但并未发表。该定理经过许多数学家的努力在100多年后才得以证明。除此之外,他发现了算术几何平均与幂级数的联系,还发现了使观测数据的固有误差为极小值的最小二乘法,并提出了概率论中的正态分布律。
1795年,高斯入读学术自由、馆藏丰富的哥廷根大学,学习数学。和现在的很多大学生一样,他一度对前途感到迷惘。为了将来容易找工作,高斯曾想改读语言专业。然而,他在19岁时发现用尺规可以作出正十七边形,这一惊奇的几何发现使他决心终生从事数学研究并以此为乐趣。
尺规作图是古希腊人推崇的训练理性思维的方法,我们在第3章的3.4节中还要进行详细的阐述。古希腊人已经知道可以用尺规作出等边三角形、正四边形、正五边形和正十五边形,以及通过平分角的方法再由这些正多边形作出其他的正多边形,但只能作这些。还有哪些正多边形可以用尺规作出,哪些作不出呢?不得而知。沉寂了2000多年后,高斯解决了这个问题。1801年,他证明了对于奇数n,当且仅当n为费马素数(Pk=22k+1)或若干个不等的费马素数的乘积时,可用尺规作出正n边形。当k=0,1,2,3时,Pk=3,5,17,257,是素数,所以这些边数的正多边形是可以用尺规作出的。
对于用尺规作出正十七边形这一结果,高斯很得意。高斯想模仿阿基米德将自己中意的“圆柱容球”刻在墓碑上,他对鲍耶说以后自己的墓碑上就刻上正十七边形。鲍耶是匈牙利人,在哥廷根大学主修哲学,对基础数学感兴趣,是高斯在大学时代欢乐与共、坦诚相见的挚友。后面,我们还要介绍鲍耶的儿子小鲍耶与高斯之间的故事。
在哥廷根大学读书的青葱岁月里,高斯才思泉涌,数学成果不断涌现。1795年,他发现了经典数论中最重要的定理之一——二次互反律。很有意思的是,当时高斯还不知道欧拉未加证明地提出了这条定理的并不完善的叙述,勒让德提出了正确的叙述和不正确的证明。二次互反律是高斯的经典名著《算术研究》的核心和基石,高斯私下里将之视为算术理论中的黄金定律。这部巨著在1798年完稿,但直到1801年才出版。除了提及一点早期数学家的零散成果外,这部著作的内容完全是创新性的。这部著作被认为是近世代数的真正开端,开启了数论研究的全新时代,正如牛顿的《自然哲学的数学原理》对物理学和天文学所起到的作用一样。在该书的开始,为了研究可除性问题,高斯提出了同余的方法,并对算术基本定理给出了第一个证明。这条定理亦称唯一因子分解定理,其内容是:每个整数n(n>1)可以唯一地表示为素数因子的乘积。这本书的核心内容是同余理论、二次型理论和分圆理论。
《算术研究》这部数学史上为数不多的经典著作之一是纯粹数学的一场盛宴。特别地,高斯在这部著作里还展示了现代学者研究数学的严格方法和严谨态度。高斯希望用尽量少的文字表达尽量多的思想,因此他的著作中隐藏的内容几乎同他发表的一样多。那种简明扼要、严密而又不讲来龙去脉的文风完全符合他一贯奉行的“少些,但要成熟”的信条,这就使得人们想读懂他取得那些伟大成果的思路几乎不可能。难以阅读自然也使他的思想难以传播。19世纪的挪威数学家阿贝尔曾批评说“他像一只狐狸,走过沙滩,用大尾巴抹平了自己在沙地上留下的脚印”,高斯则反驳说但凡有自尊心的建筑师在楼房完工后都不会把脚手架留在那儿。
1798年,高斯转入黑尔姆施泰特大学,翌年因证明代数学基本定理获得博士学位,他的博士论文是数学史上的又一座里程碑。在达朗贝尔、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯等数学家毫无进展的尝试后,高斯终于第一次给出了代数学基本定理的令人满意的证明。该定理指出:任何实系数或复系数的多项式方程存在实根或复根。高斯成功地开创了进行存在性证明的新时代。此后,这种证明方法在纯粹数学中发挥了重要的作用。
除了纯粹数学,高斯在应用数学领域也一样成就斐然。1801年,天文学家在火星轨道和木星轨道之间发现了一颗微渺的矮行星,但不久它就消失在太阳附近的光亮中,人们将它命名为谷神星。当时需要根据少量的观测数据来计算出足够精确的轨道,以便重新确定谷神星远离太阳时的位置。欧洲的天文学家花费了好几个月的时间,但毫无进展。高斯被这个问题吸引了,他以自己发明的最小二乘法和他那无与伦比的计算能力锁定了谷神星的运行轨道,并且预测了它再次出现的时间。天文学家按照高斯的指引,果真用望远镜找到了这颗神秘莫测的矮行星!这一成就再一次给高斯带来巨大的声誉,他被众多科学院和学术团体选为成员。1807年,他被任命为天文学教授和哥廷根新天文台的首任台长。
谷神星
在19世纪的头20年里,高斯撰写了一些天文学著作,其中《天体运动理论》是最重要的一部。在此后的100多年里,此书成为行星天文学上的一本“圣经”,书中处理摄动的方法是发现海王星的法宝,海王星也被现代人称为“笔尖上的发现”。
1820年左右,高斯应汉诺威政府的邀请主持大地测量工作。这是一项十分繁杂的事务,包括风餐露宿的野外工作和单调乏味的三角测量工作。这些艰辛枯燥的工作占用了他好多年的时间,而也正是这些艰辛枯燥的工作使得高斯在纯粹数学领域做出了最深刻且最有影响的贡献之一。
大地测量工作的目的是要准确测量地球表面的大三角形,高斯于1827年出版的著作《曲面的一般理论研究》就源于此。在该书中,为了解决大地测量问题,高斯利用微分和积分作为工具来分析曲面,开辟了数学的一个新领域——微分几何学,在数学史上第一个建立了某一点的曲率(表示弯曲程度)以及曲面上的坐标系等概念,使测地线(曲面上从一点到另一点的最短路线)的确定成为可能。该书中介绍的主要成果是著名的高斯绝妙定理和高斯-博内定理。前一定理指出高斯曲率是曲面的内蕴不变量,即曲面无挤压变形后,每一点的高斯曲率不变。后一定理建立了曲面的图形和拓扑之间的联系,其一般形式是现代大范围微分几何学里的核心事实。陈省身先生在该领域的贡献之一就是发展了高斯-博内公式,给出了著名的高斯-博内-陈公式。高斯见解的突出之处在于“内蕴”二字,因为他指出如何只凭曲面本身进行运算,而不必关心其周围的空间就可以研究曲面。通俗地讲,设想有一个二维空间里的生灵,它居住在一个曲面上,不知道还有第三维以及曲面之外的任何事物。如果这个生灵能在曲面上走动,沿曲面测量距离,确定测地线,那么它也能测算任一点的高斯曲率,创造出关于曲面的内容丰富的几何学。当且仅当曲面的高斯曲率处处为零时,这种几何学才是我们熟悉的欧氏几何。高斯的上述理论由黎曼等人发扬光大,引出了黎曼几何和张量分析,并为爱因斯坦的广义相对论的出现铺平了道路。
19世纪30年代,高斯把复数定义为有序实数对,并且对复数的代数运算给出了合适的定义,将围绕复数的争论平息下来,为n维空间的代数学的发展与几何学的发展铺平了道路。他把数论中的思想推广到复数领域,开创了代数数论。他还从事了大量的物理学研究。在所接触的分支中,他都有很多开创性的贡献,例如表面张力理论、势论等。
1855年2月23日,高斯在工作后一直居住的哥廷根去世。此后不久,哥廷根的领主、汉诺威君主乔治五世敕令铸造一个直径为7厘米的纪念章赠予高斯家族,以表彰他取得的巨大成就。纪念章的边缘用拉丁文镌刻着“汉诺威君主乔治五世向数学家之王致敬”。
虽然成就遍及数学的各个领域,但高斯对待学问极度严谨,一生公开发表的论文只有155篇,未发表的成果同样可观。他去世后,人们仔细研究他的笔记和通信中的大量材料,并将其收录在他的全集中,其中包括复变函数、非欧几何、椭圆函数论等诸多重要成果。
“数学王子”高斯在数学界达到的高度是普通人无可企及的,但他对待工作的态度可以借鉴。他任大学教授和天文台台长时,对行政琐事、官僚主义的繁文缛节深恶痛绝,对教书也无甚兴趣,但当他不得不做这些事情时,表现十分出色。杰出的代数学家戴德金在听过高斯讲课50年后还评价说这是自己“一生中所听过的最好、最难忘的课”。在其位谋其政,尽其责成其事。我们必须承认,态度成就了高度!
1.6 代数数论之鼻祖数论早期被称为算术,直到20世纪初数学家才开始使用数论这个名称。19世纪的英国数学家史密斯说:“算术是人类知识中最古老,也许是最最古老的一个分支,然而它的一些最深奥的秘密与最平凡的真理是密切相连的。”
代数数论是数论的主要研究方向之一。将整数拓展到代数方程的根,从而得到所谓的“代数整数”。诸多整数问题的解决,如不定方程的求解等,在很大程度上要借助对代数整数的研究。代数数论的主要任务是研究代数整数及与之相关的代数结构,包括代数数域等。
纵观几千年的数学史,大部分数学家的工作都可以看作对前人理论的继承和发展,只有极少数数学家因其研究所具有的深刻性和独创性,能够作为某一数学领域的开创者而被人们铭记。在今天要谈到的代数数论领域中,如果一定要选出一位“鼻祖”的话,最接近这一称号的人应该是库默尔。
1810年1月29日,埃内斯特·爱德华·库默尔出生于德国索劳,他的父亲是一位医生。时年正值法兰西第一帝国皇帝拿破仑雄霸欧洲,但谁能想到,仅仅4年之后,拿破仑进攻俄国失败,而后接连失利,最终不得不投降退位。和当时的许多欧洲人一样,库默尔的人生也深受这位法国皇帝的影响。仓皇逃离俄国的法国败军在经过德国时留下了从莫斯科带回来的斑疹伤寒这一急性传染病。库默尔的父亲在救治病人的过程中因不幸感染而去世,把他和哥哥两兄弟留给了寡妻来照顾,当时库默尔只有3岁。
库默尔
库默尔的母亲是一位勇敢坚强的女性。在失去丈夫的艰难贫困的生活中,她辛勤地工作,独自一个人照顾家庭,并竭力让自己的两个儿子完成了中学学业。库默尔深受母亲的影响,性格单纯乐观,为人直率幽默,做事严谨认真。这造就了库默尔日后的典型老派德国人的作风。同时,源于对父亲的思念以及从小感受到的法国占领军的傲慢与压迫,库默尔在自己的一生中一直都有着无限的爱国热忱。后来为了帮助德国培养军官,他甚至在柏林军事学院担任过弹道学教员,他的许多学生在普法战争中都有不俗的表现。
18岁时,库默尔进入哈雷大学学习,最开始选修的专业是神学。与解析几何的创始人笛卡儿相似的是,库默尔也是在学习神学的过程中发现了自己在抽象思维方面的才能,进而转修数学的。当时,哈雷大学有一位数学教授舍尔克,他把自己在代数和数论方面的热情传递给了年轻的库默尔。在大学学习结束后,库默尔回到利戈尼茨的一所中学(他的母校)教书。在作为中学数学教师的10年里,库默尔和包括雅可比在内的许多杰出的数学家保持通信联系,这也深刻地影响了他的学生、当时还在读大学预科的克罗内克。1842年,库默尔被推荐为布雷斯劳大学数学教授,然后他开始研究数论。正是在这个领域,库默尔取得了最大的成功。
这一切都要追溯到对费马关于xn+yn=zn的断言做出证明。前面已经叙述过17世纪的法国数学家费马在学习丢番图的《算术》一书时,在页边空白处写下了今天被称为“费马大定理”的一个命题,即当n>2时,不存在非零正整数x,y和z,使方程xn+yn=zn成立。18世纪,n=3,4,5的情形已经由欧拉等人给出了证明。到了19世纪,高斯试图证明n=7时的情形,但失败并放弃了。他甚至认为此命题“不可能被证明,也不可能被否定”。此后30年间,虽有一些结果,如拉梅在加限制条件的情况下解决了n=7的问题,狄利克雷证明了n=14的论断,但一般情形始终没有被证明。接力棒被交到了库默尔的手中,接下来我们讲一讲他的创造性工作。
先补充一些基本概念。在代数数论中,称1,2,3,…这样的数为有理整数。任意有理整数m显然都是一个一次代数方程x-m=0的根。借助一次或更高次代数方程的根,可以把整数的概念推广开来。设r是n次代数方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的一个根,其中系数ai是有理整数,且r不为任意小于n次的整系数代数方程的根。若最高次项的系数an=1,那么就称r为一个n次代数整数;若放宽要求到an≠0,则称r为一个n次代数数。例如,因为
满足方程x2-2x+6=0,所以是一个二次代数整数。设r是一个n次代数数,则称由r通过加减乘除构造出来的所有表达式为由r生成的代数数域,记为F[r]。可以证明F[r]中的每个元素仍为次数不大于n的代数数,因此也称这样的F[r]为一个n次代数数域。
库默尔在思考费马大定理时,把xp+yp分解成:
(x+y)(x+αy)…(x+αp-1y)
其中,p为素数,α是一个p次复单位根。这就是说αp=1,并且对于正整数n<p, 有αn≠1。可以证明,α是αp-1+αp-2+…+α+1=0的一个根,且不满足小于(p-1)次的整系数代数方程。因此,α是一个n次代数整数,并且由上面的因式分解可知xp+yp是代数数域F[α]中的数的乘积。
高斯考虑过上面由p次复单位根生成的代数数域F[α],称其为p次分圆域。他将素数的概念推广到代数数域F[α]中,得到所谓的素代数整数。库默尔在最初的时候曾错误地认为F[α]中由素代数整数给出的因子分解如同整数中的素因子分解一样是唯一的,进而给出了费马大定理的有疏漏的证明。狄利克雷向他指出,仅仅对于部分素数的情形,F[α]中的唯一因子分解才是成立的。我们把这个问题放到更一般的代数数域中进行解释。例如,考虑由
生成的代数数域,其中a和b为有理整数。可以看到:
式中的4个因子都是素代数整数,此时唯一因子分解是不成立的。
库默尔稍后修正了自己的错误,其解决办法是在素代数整数的基础上引入更加细化的因子——理想数。他在1844年开始发表的一系列论文中创立了理想数理论。理想数可以看作一个代数数域的基本构件,本身不能再进行真因子分解,而且可以构造代数数域中的其他数。上面的例子考查了6在由生成的代数数域中的因子分解,可以引入理想数
,
,
。这样6就能唯一地被表示成理想数的乘积,并且通过理想数,此域中其他数的因子分解也是唯一的。这样,库默尔就在相当广泛的一类素数次分圆域上重建了唯一分解定理,进而针对这些素数的情形证明了费马大定理。
库默尔的结果在当时是非常了不起的成就,远远超出了前辈们做出的工作。他几乎不由自主地成了当时学界的名人,甚至被法兰西科学院授予了一项他并没有去竞争的大奖。他的后继者、高斯的学生戴德金正是受到库默尔的理想数的启发,提出了理想的概念,并进一步创立了现代代数数论。
1855年,“数学王子”高斯的去世引起了欧洲数学界大范围的变动。狄利克雷接替了老师在哥廷根大学的教授职位,成为了“高斯的继任者”,而库默尔被代数学同事们推举为狄利克雷在柏林大学的继任者。
库默尔是科学天才中的佼佼者,他无论是在高度抽象的理论研究领域还是在应用科学方面都非常杰出。虽然库默尔最成功的工作是在数论方面,但他在函数论和几何学方面也做出了许多非常重要的发现。他给出的以自己的名字命名的四次曲面在欧几里得空间的几何学中起了重要作用;他发展了高斯的超几何级数的工作,在今天数学物理中经常出现的微分方程理论中十分有用。他甚至在大气对光的反射这一光学问题的研究中也做出了重要贡献。在柏林军事学院任教期间,库默尔是第一流的弹道学实验者,这与他的数学家身份的反差巨大。对此,他以特有的幽默说道:“当我用实验去解决一个问题时,就说明这个问题在数学上是很难解决的。”
库默尔的品格比他的才能更加令人钦佩。他记得自己为了受教育所做的奋斗和他的母亲做出的种种牺牲,因此始终无私地对待自己的学生和朋友。许许多多年轻人在人生旅途中得到过库默尔的帮助。他无偿资助贫穷的年轻数学家,深刻而富有哲理地教导他的学生。他无比热爱和珍惜他所拥有的生活,他的恬静和蔼与豁达幽默甚至让人产生一种错觉:尽管库默尔一生成就辉煌,但他似乎没完成他能够做到的一切。
在人生的最后9年里,库默尔完全处于隐居状态,有家人陪伴,偶尔去年少时去过的地方旅行。1893年5月14日,库默尔去世,终年83岁。
1.7 解析数论奠基人数论是在18世纪末到19世纪初逐渐发展为一门系统且独立的学科的。此后,随着各个数学分支的发展,许多可用于研究数论的新方法出现了,数论分出了多个研究方向。除了使用初等数学方法的初等数论和上一节谈及的使用代数方法的代数数论,还有利用数学分析(主要是复分析的方法)来解决数论问题的解析数论。解析数论和代数数论的主要区别在于,代数数论讨论的问题的答案往往都是由准确的公式给出的,而解析数论寻求的是对问题的近似与估计,相关的量往往没有准确的公式来表达。
狄利克雷
在众多为解析数论的创立和发展做出贡献的先贤中,德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷被公认为“解析数论之父”。他利用数学分析尤其是复分析的工具来研究整数,将复分析和数论结合起来,从而彻底改变了人们研究整数的方式。
狄利克雷于1805年2月13日出生于莱茵河左岸的杜伦镇。这里当时还是法兰西第一帝国的一部分,于1815年维也纳会议后回归普鲁士。狄利克雷是家里7个孩子中最小的一个。虽然家境并不富裕,但他的父母还是坚持送他上学,希望他将来能成为一名商人。年轻的狄利克雷对数学表现出浓厚的兴趣,他说服父母允许他继续学习。1817年,年仅12岁的狄利克雷进入了波恩中学。
1820年,他转学到科隆的耶稣会中学。当时乔治·欧姆(德国物理学家,发现了电阻中的电流与其两端的电压成正比,即著名的欧姆定律)正在这里任教,狄利克雷跟随他学习到了许多数学知识。随后,狄利克雷再次说服父母为自己在数学方面的深造提供进一步的经济支持。由于当时德国几乎没有学习高等数学的机会,只有在哥廷根大学名义上是天文学教授的高斯在研究数学,但高斯不太喜欢教学。于是,狄利克雷在1822年5月前往巴黎求学。他选择了法兰西学院和巴黎大学的课程,向阿歇特等数学家学习,同时自学高斯的《算术研究》——他将这本书珍藏一生。
在巴黎良好的学习、研究氛围中,狄利克雷很快就有了第一个原创性的研究成果。他证明了费马大定理在n=5时的部分情形。这是自费马自己证明n=4的情形和欧拉证明n=3的情形以来的重大进展,让狄利克雷声名鹊起。几年后,他又对n=14的情形给出了完整的证明。1825年6月,狄利克雷受法国科学院之邀讲授他关于费马大定理在n=5时的部分情形的证明。这对于一个没有文凭的年仅20岁的学生来说,简直太不可思议了。狄利克雷在法国科学院的演讲中结识了傅里叶和泊松,此后三人一直保持着密切联系。
1825年底,狄利克雷返回普鲁士。经洪堡和高斯的推荐,狄利克雷先后获得了布雷斯劳大学、柏林的普鲁士军事学院和柏林大学的教职。在布雷斯劳大学期间,狄利克雷继续他的数论研究,发表了关于高斯的四次互反律的重要成果。1832年,狄利克雷成为普鲁士科学院院士,年仅27岁,是当时最年轻的院士。
1837年在柏林期间,狄利克雷证明了算术级数的狄利克雷定理,开创了解析数论这一重要的数学分支。该定理指出,对于任意两个互素的正整数a和m,形如a+km的素数有无穷多个,其中k是非负整数。或者说,有无穷多个素数在模m后等于a。狄利克雷定理不但推广了说明素数有无穷多个的欧几里得素数定理,还以更强的形式说明了任何这样的算术级数中素数项(也就是形如a+mk的素数)的倒数之和发散(我们以a=3,m=4为例解释一下。形如3+4k的素数有3,7,11,19,23,31,43,…,它们对应的k值分别为0,1,2,4,5,7,10,…。由狄利克雷定理的强形式可推知,级数
是发散的),并且对于固定的m,由不同的a所给出的算术级数中素数项的比例是大致相同的。简单来说,素数在模m的各个同余类中是近似均匀分布的。这一结果为数学家从整体上把握素数在整数中的分布规律打开了一扇大门。
与许多著名的数学故事一样,狄利克雷定理的证明也是从伟大的欧拉开始的。欧拉在研究Zeta函数时发现了素数和自然数之间的美妙关系:Zeta函数在1处的取值等于所有素数的乘积与所有素数减1之后的乘积的比值。后来,欧拉对形如1+km的狄利克雷定理的特例做了说明,而一般形式的狄利克雷定理最早是由法国数学家勒让德提出的。他在试图证明二次互反律时猜想这个结果成立,但没能给出证明。狄利克雷受到欧拉的启发,以欧拉早期的工作为基础,将Zeta函数与素数分布联系起来,构造了狄利克雷特征标与狄利克雷L级数。
狄利克雷特征是与m有关的从整数集Z到复数集C的一类函数χ:Z→C,可以简单地理解为关于形如a+km的素数的筛选器。狄利克雷L级数是借助狄利克雷特征给出的推广的Zeta函数,这也是后来解析数论中非常重要的工具。借助狄利克雷L级数,欧拉公式所揭示的素数在自然数中的分布规律被提升到算术级数上。狄利克雷通过证明对于任何非平凡特征,狄利克雷L函数在1处的值不为零,指出形如a+km的素数的倒数给出的级数是发散的,必有无穷多项,所以也就存在无穷多个形如a+km的素数,最终证明了狄利克雷定理。这种利用分析的方法解决代数和数论问题的思路是开创性的,因此后人把狄利克雷尊为解析数论的奠基人。
后来黎曼将Zeta函数延拓到复平面上,进一步把素数分布的问题和Zeta函数的性质联系起来,特别是Zeta函数的零点性质。为此,他提出了一个猜想:Zeta函数ζ(s)的所有复零点都在直线Re(s)=1/2上。这就是著名的黎曼猜想,至今尚未解决。关于它的研究对于解析数论和代数数论的发展都产生了极其深刻的影响。
在柏林大学的这段时间里,狄利克雷在坚持研究数学的同时也承担了大量教学工作。他非常喜欢且善于教学,在学生中享有盛誉。他是第一位讲授数论的德国教授,为数论的发展和传承做出了特别的贡献。他指导和帮助过多位未来成就不凡的数学家,包括克罗内克、雅各比、库默尔等。
1855年,高斯去世后,哥廷根大学决定任命狄利克雷为高斯的继任者。狄利克雷很享受在哥廷根的时光,因为较轻的教学负担使他有更多的时间进行研究,并与新一代研究人员保持密切的联系。虽然戴德金、黎曼、莫里茨·康托尔和阿尔弗雷德·恩内珀这些人都已经获得了博士学位,但还是参加狄利克雷的课程,跟着他学习。戴德金后来还编辑出版了包含狄利克雷的数论讲座和其他数论成果的《数论讲义》。
1858年夏天,在蒙特勒旅行期间,狄利克雷的心脏病发作。1859年5月5日,他在妻子丽贝卡去世几个月后在哥廷根去世。狄利克雷的大脑与高斯的大脑一起保存在哥廷根大学的生理学系。
狄利克雷因在数论、分析和数学物理方面的成就享誉世界,同时也因热爱并善于教学而在学生中享有盛誉。他的讲课思路清晰,思想深邃,同时他为人谦逊,循循善诱,培养了一批又一批优秀的数学家。在狄利克雷前往哥廷根大学接替高斯的职位时,他在柏林大学的继任者库默尔是这样赞誉他的:“哥廷根大学试图以此保持半个世纪以来该校由于拥有在所有在世的数学家中名列第一的学者而赢得的声望。”
1.8 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想可以说是数论乃至整个数学中最古老和最著名的未解决的问题之一。高斯有一句名言:“数学是科学的女皇,数论是女皇头上的皇冠。”而本节将要谈到的哥德巴赫猜想就是公认的皇冠上的宝石。
为什么哥德巴赫猜想能获得如此高的评价呢?哥德巴赫猜想的描述非常简单:每个大于2的偶数都可以表示成两个素数的和。只要有一点数学基础的人都可以看得明白,但它的证明异常艰难,以至于在这个猜想提出后近300年的时间里,无数数学家和数学爱好者将自己的时间、精力和热情投入这个问题上,但都没有取得最后的成功。正是这种极其简单的形式与极其深刻的内涵的复合构筑了哥德巴赫猜想的独特魅力。
我们首先回溯一下哥德巴赫猜想的提出。
1742年6月7日,德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在给欧拉的信中提出了第一个猜想:每个可以写成两个素数之和的整数也可以写成任意多个素数之和,直到所有相加的项都是1。
哥德巴赫与他的猜想手稿
与现在的惯例不同的是,那时哥德巴赫是将1视为素数的,因此在他看来最后多个1的和也可以算是素数的和。然后,他在信纸的空白处写下了可以推出第一个猜想的第二个猜想:每个大于 2 的整数都可以写成三个素数的和。
哥德巴赫认识到第一个猜想可以由第三个猜想“每个正偶数都可以写成两个素数的和”推出。而欧拉在1742年6月30日回复哥德巴赫的信中指出,第三个猜想其实也与哥德巴赫在信纸的空白处写下的第二个猜想等价。欧拉写道:“每个偶数都是两个素数的和,我认为这是一条肯定正确的定理,尽管我无法证明它。”
上述三个猜想可以用现代的数学语言表达出来。根据现在的素数定义,1被排除在素数之外。第一个猜想可被改写为:每个可以写成两个素数之和的整数也可以写成任意数量的素数之和,直到所有项都是2(如果该整数是偶数)或一项是3而其他所有项是2(如果该整数是奇数)。
第二个猜想可被改写为:每个大于5的整数都可以写成三个素数的总和。现在我们说起哥德巴赫猜想时通常都是指第三个猜想的现代版,也称之为“强哥德巴赫猜想”或“偶数哥德巴赫猜想”。该猜想可被改写为:每个大于2的偶数都可以写成两个素数的和。
因为不再把1看作素数,这些猜想的现代版表述可能不完全等同于相应的原始版。例如,如果有一个偶数N=p+1大于4,其中p为素数,且N不能表示为两个素数(不包含1)之和,那么它将是第三个猜想的现代版的反例,而不是第三个猜想的原始版的反例。因此,排除1作为素数后,这些猜想的现代版的结论有可能变得更强了。无论如何,这些猜想的现代版与原始版保持了相同的逻辑关系,也就是说第二个猜想和第三个猜想的现代版仍是等价的,并且二者都可以导出第一个猜想的现代版。
从哥德巴赫猜想提出的那一刻起,就有许多数学家满怀信心地尝试进行证明,甚至为之穷尽一生之力。可是直到19世纪末,哥德巴赫猜想的证明也没有任何大的进展。人们很容易验证以下式子:
6=3+3
8=3+5
10=5+5
……
100=3+97
从这些具体的例子中,可以看出哥德巴赫猜想都成立,但始终没有人能给出完整的证明。将任意一个偶数分解为两个素数的和的形式并没有乍看上去那么简单,其规律隐藏得很深。也许我们能从下面这个小例子中一窥其困难之处。设想把所有已知的素数按大小排列为2,3,5,7,…,pi,…pn,则偶数2×3×5×7×…×pi×…×pn=pi+(2×3×5×7×…×pi-1×pi+1×…×pn-1)×pi,也就是说2×3×5×7×…×pi×…×pn这个偶数不能分解为2,3,5,7,…,pi,…,pn中的任何一个素数与另一个素数的和的形式。所以,只有对素数的分布规律有全面深刻的认识之后,才有可能证明哥德巴赫猜想。
在20世纪,哥德巴赫猜想的证明取得了一些重要进展。
上面谈到的第二个猜想的现代版有一个较弱的形式,被称为“弱哥德巴赫猜想”或“奇数哥德巴赫猜想”,即每个大于7的奇数都可以写成三个奇素数的和。
弱哥德巴赫猜想是强哥德巴赫猜想的推论,具体内容为:如果偶数n-3是两个素数的和,即n-3=p+q,那么奇数n自然是三个素数的和,即n=p+q+3。同时,如果弱哥德巴赫猜想成立,那么这就直接意味着每个大偶数都是最多4个素数的和。这如同给强哥德巴赫猜想划下了一条底线。
英国的哈代和李特尔伍德首先研究了弱哥德巴赫猜想。他们证明了若广义黎曼猜想[黎曼Zeta函数的非平凡零点都在Re(s)=1/2的直线上]成立,则弱哥德巴赫猜想对所有足够大的奇数都成立。后来,苏联数学家维诺格拉多夫于1937年证明哈代和李特尔伍德的结论可以在不依赖广义黎曼猜想的情况下直接得到。他指出,任何充分大的奇数都能写成三个素数的和,称之为三素数定理。也就是说,在数轴上有一个非常大的数,从这个数往后看,弱哥德巴赫猜想成立,而对于这个数前面的奇数,则需要逐个进行验证。这几乎已经证明了弱哥德巴赫猜想,剩下的只是找到并将这个大数不断缩小,以及通过计算机验证这个大数之前的奇数。2013年,秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特给出了弱哥德巴赫猜想的完整证明。他将这个大数降至10的29次方,使其进入计算机程序可验证的范围,然后他验证了这个大数之前的全部奇数,从而证明了弱哥德巴赫猜想。
虽然强哥德巴赫猜想至今仍未得到证明,但对这个问题的研究带来了许多新的想法。数学家从各个方向逼近这个猜想,取得了很多成果。
第一,可以考虑一个大偶数能否写成两个素因子个数不多的正整数的和。如果把“任一充分大的偶数都可以表示为一个素因子个数不超过a的正整数与另一个素因子个数不超过b的正整数之和”这一冗长的命题简记为“a+b”,那么强哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”。在“a+b”问题上的进展都是用筛法得到的。顾名思义,筛法的核心思想是把合数从数集中筛选掉,比如可以把某个自然数N之前的自然数按次序排列起来,然后将不大于
的素数的倍数全部划去,剩下的就是所有不大于N的素数。1920年,挪威的布朗证明了“9+9”成立。1966年,中国数学家陈景润改进了筛法,证明了“1+2”成立,即“任一充分大的偶数都可以表示成两个素数之和,或者一个素数和一个半素数之和”。这是目前这一研究方向的最好结果。虽然“1+2”距离“1+1”只差最后一步,但目前看来,筛法已经几乎发挥到极限了,要想再进一步,就只有发展新的方法了。
中国解析数论的三驾马车——王元(左)、陈景润(中)和潘承洞(右)
第二,可以尝试从弱哥德巴赫猜想反推强哥德巴赫猜想。从三素数定理出发,已知一个大奇数N可以表示成三个素数之和,如果能证明这三个素数中有一个非常小,比如说第一个素数可以总取3,那么就证明了强哥德巴赫猜想。中国数学家潘承洞首先证明这个小素数不超过N的四分之一次方。
第三,可以在数轴上选取大整数x,然后寻找那些小于x且使得强哥德巴赫猜想不成立的偶数,即例外偶数。如果能证明无论x多大,这种例外偶数只有一个2,那么强哥德巴赫猜想就成立了。1975年,蒙哥马利和沃恩证明了“大多数”偶数可以表示为两个素数的和。更准确地说,存在正常数c和C,使得对于所有足够大的整数N,只有最多CN1-c个小于N的例外偶数,其余每个小于N的偶数都是两个素数的和。因此,当N趋于无穷大时,小于N的例外偶数的个数与N的比值趋于零,也就是说不是两个素数之和的偶数集的密度为零。
第四,还可以考虑用其他方式比较一个大偶数和两个素数的和的差距。1951年,苏联数学家林尼克证明了存在一个常数K,使得每个大偶数都是两个素数与K个2的幂之和。显然在林尼克的结果中,如果K可以取零,那么强哥德巴赫猜想就成立了。2002年,英国数学家希思-布朗和德国数学家普赫塔证明了K可以取13。
迄今为止,通过计算机技术,数学家已经可以验算4×1018以内的所有偶数,发现哥德巴赫猜想都成立。但对所有偶数而言,哥德巴赫猜想仍然是未解之谜,如潘承洞院士所言,“甚至没有一个假设性的证明”。这道谜题对数学甚至人类来说究竟意味着什么,目前无人知晓。我们只知道,在好奇心与求知欲的驱使下,未来我们会了解得越来越多。
还有什么比这更美妙呢?
1.9 从费马到怀尔斯1993年6月23日,英国数学家安德鲁·怀尔斯在剑桥大学牛顿研究所做了题为《椭圆曲线、模形式和伽罗瓦表示》的报告,宣布其证明了半稳定的椭圆曲线一定是模椭圆曲线,并且可以由之推导出费马大定理成立。消息一出,立刻引起了全世界的轰动。费马大定理这个困难而又经典的问题再一次吸引了全球所有数学爱好者的目光。
费马大定理
为什么关于费马大定理的思考与证明有如此巨大的吸引力和重要性呢?这还得从该定理的提出者、法国数学家费马说起。前面已经详细介绍过这位“业余数学家之王”,他的许多重要思想和成果是写在手稿、书页的空白处以及给朋友的信中而为后人所知的,但是他往往只写结论, 很少写下证明过程或根本没有证明,用现在通俗的话来说就是“只挖坑,不填坑”。欧拉等数学家不算太费时费力就把费马挖出的绝大部分 “坑”填上了,唯有一个“坑”例外,这就是费马大定理(方程xn+yn=zn不存在正整数解,其中n为大于2的正整数)。
费马大定理的提出非常有戏剧性。早在2000多年前,毕达哥拉斯就发现直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,比如32+42=52。此后,考虑一般的a2+b2=c2的整数解就成了不定方程的一个经典问题。古希腊数学家丢番图有一本专门研究不定方程的著作《算术》,他记录并研究了这个问题。后来,这本书和古希腊文明一起湮没于欧洲1000多年的黑暗的中世纪之中,直到文艺复兴时期才重新被人们发掘出来。费马在研究《算术》这本书时,在书页的空白处写下了那个我们在前面多次提到的包含费马大定理的著名边注。只留下结论而没有证明,这真是费马的一贯作风啊!
不难看出,在费马大定理中,若n是一个合数且有奇素数因子p,则方程xn+yn=zn有正整数解的必要条件是xp+yp=zp有正整数解;若n是一个合数且没有奇素数因子,也就是n为2的幂且幂次大于1,则方程xn+yn=zn有正整数解的必要条件是x4+y4=z4有正整数解。因此,要证明费马大定理,只需要考虑n=4和n为奇素数的情形。
费马相信自己已经得到了一个“非常奇妙的证明”,可能是因为他通过自己发明的无穷递降法证明了费马大定理中n=4的情形,并且认为无穷递降法适用于n为其他大于2的正整数的情形。虽然欧拉确实通过费马的无穷递降法给出了n=3的情形的证明,但对于其他情形,这种方法力有不逮。
前面已经介绍过狄利克雷和库默尔关于费马大定理的研究工作。1825年,狄利克雷证明了n=5的情形。随后,库默尔通过素数次分圆域研究了这个问题。当n取素数p时,费马大定理成立与否取决于一个把单位圆p等分后得到的分圆域的算术结构。当该分圆域的类数被p除不尽时,费马大定理就成立。在此后的100多年里,基于库默尔的理想数理论的研究不断取得进展。1954年,哈利·范迪夫使用SWAC计算机证明了不大于2521的所有素数的情形。到1978年,塞缪尔·瓦格斯塔夫已将结果扩展到所有小于125000的素数。到1993年,已经可以证明费马大定理对于所有小于400万的素数都是成立的。但是,这种对单个指数的证明就其性质而言似乎永远无法证明一般情况。费马大定理的完全证明需要新的思想和方法。
数学家想到从“方程xn+yn=zn(n>2)无正整数解”的等价命题“曲线un+vn=1(n>2)无有理点”上寻找新的突破口。这就把寻找代数方程整数解的问题转化为寻找几何曲线上有理点的问题。1922 年,英国数学家莫德尔提出猜想 “un+vn=1(n>2)的代数曲线上的有理点只有有限多个”。这一猜想于1983年被德国数学家法尔廷斯证明了。1985年,英国数学家罗杰·希思-布朗利用这一结果证明了几乎所有素数使费马大定理成立。换言之, 如果有使费马大定理不成立的素数, 那么这样的素数在整个素数集合中是微不足道的。此结论看起来已经十分接近费马大定理了,但还是没能完成最终的证明。
大约在1955年,日本数学家志村五郎和谷山丰观察到两个看起来完全不同的数学分支——椭圆曲线和模曲线之间可能存在联系,由此提出了谷山-志村猜想(后来称为模块化定理),即有理数域上的椭圆曲线都是模椭圆曲线。
模块化定理意味着这样的曲线可以与独特的模形式相关联。这个猜想在最初的一片质疑声中得到了数学家安德烈·魏尔的肯定,后者通过大量计算得到的结果间接支持了这个猜想。因此,后来这个猜想也被称为谷山-志村-魏尔猜想(TSW猜想)。
1984年,德国数学家弗雷注意到费马方程和TSW猜想之间的联系。他提出“如果方程xp+yp=zp(p≥5且是素数)有一组非零整数解,即(x,y,z)=(a,b,c),abc≠0,则方程为y2=x(x-cp)(x+bp)的椭圆曲线 (也称为弗雷曲线)不满足椭圆曲线的TSW猜想” 。这就是说,如果费马大定理不成立, 那么TSW猜想也不成立。随后,弗雷提出的这一命题经过法国数学家塞尔的修正,最终在1990年由美国数学家里贝特证明了。
这样,在费马大定理的最终证明到来之前,所有的准备工作均已完成。里贝特的结果表明n为素数的费马方程的正整数解(如果存在)都可以用来创建非模曲线的半稳定椭圆曲线,而这将是TSW猜想的一个反例。因此,只要证明半稳定时的TSW猜想,就可以推出费马大定理。
为了完成这一极其困难的工作,怀尔斯在近7年的时间里进行了心无旁骛的思考和研究。他除了教书、指导研究生和参加必要的讨论班外,不参加任何无关的学术会议和活动。他躲进家中的书房里, 一心一意地研究TSW猜想。他最初基于伽罗瓦理论通过归纳证明取得了一些突破,后来又尝试将岩泽理论拓展到自己的归纳论证中。到1991年中期,他感觉到岩泽理论似乎也没有触及问题的核心。他只好与同行联系,寻找有关前沿理论和新方法的线索,结果发现当时由科利瓦金和弗拉赫构造的欧拉系统似乎是为他的证明的归纳部分“量身定制”的。怀尔斯借此完成了他的证明,并写出了一篇200 多页的论文。不过,他在剑桥大学做完报告之后不久,该论文被发现存在漏洞。
虽然怀尔斯工作的每一部分都有非常了不起的创新成果,但只要有漏洞,就不能算是费马大定理的完整证明。怀尔斯花了将近一年的时间试图修正他的证明,但始终没能成功。1994年9月19日上午,他在就要放弃、承认失败之时,突然灵光乍现。他似乎找到了科利瓦金-弗拉赫方法不能直接奏效的原因,并且发现如果结合之前被自己放弃的岩泽理论,就有可能克服这最后的障碍。这真应了那句老话“天道酬勤”。
回忆这个“柳暗花明又一村”的时刻,怀尔斯后来说:“从科利瓦金-弗拉赫方法的灰烬中似乎找到了问题的真正答案。它美得如此难以形容,而又如此简单,如此优雅。我不明白我怎么错过了它。”
1994年10月24日,怀尔斯提交了两篇手稿《模椭圆曲线和费马大定理》和《某些赫克代数的环理论性质》。第二篇论文是他与学生泰勒合著的,以证明主要论文修正错误所需要的结果。这两篇论文经过审查,在1995年5月发行的《数学年鉴》上全文发表。在费马大定理提出358年之后,怀尔斯给出了最终证明。
费马大定理的提出、探索到最终证明就如同一部缩写版的近代数学发展史,数学研究的传承与发展以及数学家对数学的热爱在费马大定理的证明过程中展现得淋漓尽致。费马以其灵敏的数学直觉提出了猜想,怀尔斯等几代数学家薪火相传,通过严密的逻辑推理最终给出了证明,二者相辅相成,缺一不可。对费马大定理的探索也极大地促进了数学的各个分支之间的联系和交流。比如,通过TSW猜想与费马大定理,连续的空间几何图形与离散的数量关系产生了密切的联系。
在剑桥大学所做的报告的最后,怀尔斯说到“I think Ill stop here”。对于费马大定理,所有人的一切努力仿佛都是为了这句话的到来。
