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本书适合对人工智能和数学基础感兴趣的读者，特别是那些希望建立扎实的数学基础以应用到实际问题中的读者。此外，本书也适合那些希望了解人工智能发展历程和应用情况的读者。无论是学生、教师还是从业者，只要对人工智能领域有兴趣，都可以从本书中获益。
书名：人工智能数学基础
ISBN：978-7-115-68514-8
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主 编 王社伟
副 主 编 侯惠芳 李 琳 张继新
责任编辑 李永涛
人民邮电出版社出版发行 北京市丰台区成寿寺路11号
邮编 100164 电子邮件 315@ptpress.com.cn
网址 http://www.ptpress.com.cn
读者服务热线：(010)81055410
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本书系统、全面地介绍人工智能涉及的数学基础知识，旨在帮助读者构建坚实的数学根基。
本书共16章：第1章主要介绍人工智能的概念和发展，以及Python对人工智能算法设计的支持等；第2～7章主要介绍与人工智能相关的数学基础知识，包括向量、矩阵、特征值、矩阵分解、极限和导数，以及微积分、概率论等；第8～11章主要介绍最优化方法、假设检验、相关分析、随机过程等；第12～15章主要介绍回归分析、SVM模型、决策树模型、聚类算法等；第16章主要介绍神经网络。
本书不仅适合人工智能的初、中级用户使用，还可以作为各类院校人工智能相关专业的教材或参考书。
21世纪以来，信息技术的飞速进步催生了若干显著变革。首先，各类结构化与非结构化数据呈现爆炸式增长，在数据处理和管理方面已进入大数据时代；其次，计算机算力迅猛发展，GPU提供了高速并行运算的能力；再次，网络技术快速发展与基础设施建设快速推进，云计算成为一种重要的计算部署形式；最后，各种机器学习与人工智能模型不断涌现，在图像处理与自然语言处理等领域取得了突破性成果。在一系列相关技术叠加的基础上，以大数据、大算力、大模型等为显著特点的ChatGPT问世，对社会产生了深远影响，人工智能领域再次成为公众关注的热点。人工智能的实现取决于数据、算力，以及关键的要素——算法。人工智能算法设计的数学基础是什么？如何有效地学习与人工智能算法相关的数学知识？这是本书着力解答的问题。
本书主要面向以下几类读者，可以作为教材或参考书。
（1）人工智能专业的本科生和教师。
（2）非人工智能专业的想要了解和学习人工智能技术的本科生、研究生和教师。
（3）对人工智能感兴趣，期望深入研究人工智能算法设计的各类专业技术人员。
在人工智能算法设计中，常用的数学知识包括高等数学、线性代数、矩阵论、概率论、数理统计、数值分析等。为了便于读者学习，本书将这些内容整合在一起，系统地进行介绍。在数学知识的阐述上，本书着力帮助读者理解和运用。本书通过大量的Python代码，以图形化方式展示数学知识，或以实际案例演示如何运用数学知识解决问题。
本书共3篇，分别为基础原理、应用提高、常用算法与模型。
第1篇 基础原理（第1～7章）：主要介绍人工智能的概念、人工智能的发展，以及线性代数的一些概念和知识、微积分、概率论等。
• 第1章主要介绍人工智能的概念及其发展、人工智能的主要流派与研究方向、人工智能的数学基础和Python对人工智能算法设计的支持等。
• 第2章主要介绍向量、矩阵等基本概念及相应的运算等。
• 第3章主要介绍矩阵的特征值、特征向量、特征值分解及奇异值分解（SVD）等。
• 第4章主要介绍函数、极限、导数、梯度等。
• 第5章主要介绍微积分的基本思想及其应用、定积分及其求解等。
• 第6章主要介绍概率、随机变量、大数定律、最大似然估计和最大后验估计等。
• 第7章主要介绍随机变量的概率分布，包括正态分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、卡方分布、Beta分布等。
第2篇 应用提高（第8～11章）：主要介绍数理统计和数值分析中的一些内容，包括最优化方法、假设检验、相关分析、随机过程等。
• 第8章主要介绍最优化方法，包括最优化问题、一阶优化算法、二阶优化算法、约束优化问题等。
• 第9章主要介绍假设检验，包括假设检验的基本概念、Z检验、t检验、卡方检验等。
• 第10章主要介绍相关分析的理论知识，包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼等级相关系数、肯德尔相关系数、质量相关、品质相关、偏相关与复相关等。
• 第11章主要介绍随机过程，包括马尔可夫过程、马尔可夫链、马尔可夫链采样算法、MCMC采样算法、Gibbs采样算法等。
第3篇 常用算法与模型（第12～16章）：主要介绍常用的一些算法与模型，如回归分析、SVM模型、决策树模型、聚类算法、神经网络等。
• 第 12 章主要介绍回归分析，包括一元线性回归模型、回归方程、参数的最小二乘估计、多元线性回归分析以及曲线回归分析等。
• 第 13 章主要介绍SVM模型，包括SVM的原理、SVM的分类、核函数等。
• 第 14 章主要介绍决策树模型，包括熵和信息熵、决策树算法、常见算法的实现等。
• 第15章主要介绍聚类算法，包括层次聚类、K-Means聚类、DBSCAN聚类等。
• 第16章主要介绍神经网络，包括感知机模型、神经元和神经网络、激活函数、BP神经网络等。
为拓展学习维度、推动知识应用，本书在部分章末增设拓展阅读二维码。读者扫描二维码，即可获取专属电子学习资源。资源内容介绍如下。
• 【应用】：侧重数学知识与人工智能场景的深度融合，助力实现理论与实践的有效衔接。
• 【实验】：以实战为导向，提供可操作的实验方案与详细步骤指引，协助读者通过实际操作验证知识、得出结果。
• 【习题】：精心挑选针对性习题，覆盖各章核心知识点，便于读者及时巩固学习成果。
借助数字化补充资源，为读者构建“理论学习+实操训练+巩固提升”的学习路径，助力其更高效地掌握与人工智能算法相关的数学基础与应用技能。
本书编者均为有多年教龄，从事计算机、人工智能专业教学的河南工业大学教师。其中，王社伟编写了第1章、第7章、第10章、第11章、第14章、第15章，李琳编写了第6章、第9章、第12章、第16章，侯惠芳编写了第2章、第3章、第13章，张继新编写了第4章、第5章、第8章。全书由王社伟统稿。
尽管我们在本书的编写过程中进行了反复的修订与审校，但囿于水平和经验，疏漏之处在所难免，如果读者在阅读过程中发现任何问题，我们诚挚地欢迎读者提出宝贵意见，我们会认真修改，以使本书能更好地发挥作用。联系邮箱：liyongtao@ptpress.com.cn。
编者
2025年5月
21 世纪以来，全球化的加速以及互联网的蓬勃发展带来全球范围内数据的爆炸式增长，人类迈入了大数据时代。与此同时，计算机算力持续高速增长。在数据和算力的支持下，人工智能算法在应用中取得了重大突破，如在人脸识别、语音识别、网页搜索、购物推荐、自动化交易、自动驾驶、自然语言处理、生成式人工智能等方面都取得了突破性进展，掀起了新一轮的人工智能浪潮。什么是人工智能？人工智能的数学基础是什么？本章尝试回答这些问题。
什么是人工智能？20世纪中叶人工智能（Artificial Intelligence，AI）概念诞生以来，关于它的讨论很多，但尚未有统一的定义。人工智能科学家不断探索，使得这个概念的脉络逐渐清晰起来。按照斯图尔特·罗素（Stuart Russell）和彼得·诺维格（Peter Norvig）所著的《人工智能：一种现代的方法（第3版）》一书中所述，人工智能的定义实际包含4个内涵，即像人一样思考、像人一样行动、合理地思考、合理地行动。其实，前两者是强人工智能的基本内涵，后两者则是在强人工智能遥遥无期的情况下，对人工智能做的一个比较中肯的界定。本书不深入探索人工智能，乃至智能的底层逻辑，只是就人工智能的表现，给出一个经验上的定义：人工智能是一门研究如何使计算机能够展示具有类似人类智能特征的能力和行为的学科。人工智能的目标是使计算机能够模拟、理解、学习和应用人类智能，包括感知、推理、学习、规划、决策等。人工智能涉及众多技术和方法，包括机器学习、深度学习、自然语言处理、计算机视觉、强化学习等。这些技术和方法使计算机能够处理或理解复杂的数据、模式和任务等，从而实现智能化的行为和决策。
人工智能的应用领域非常广泛，涵盖医疗、金融、交通、教育、娱乐等各个领域。人工智能已经在自动驾驶、智能助手、医疗诊断、智能推荐系统等方面取得了重大突破，对社会和经济发展产生了巨大的影响。日常生活中，我们几乎每天都在使用人工智能。走入互联网，各种各样的人工智能新闻随处可见，人工智能已经从专业实验室步入我们的生活中。人工智能带来的变化已在我们身边悄然出现。当我们查看新闻时，展示的那些新闻可能是由人工智能为我们定制的；当我们上网购物时，打开首页看到的是我们最有可能感兴趣的、最有可能购买的商品，这是推荐算法根据我们最近上网的行为自动推荐的；当我们打开电子邮箱时，系统已经为我们过滤掉我们不关心的广告和垃圾邮件。2016年，AlphaGo因无可争辩地战胜了人类围棋“高手”而名噪一时；人工智能在自动驾驶等方面也大显身手，显示出越来越强的能力；图像识别、语音识别和指纹识别等技术的日益成熟，已经给我们的生活带来了极大的便利，人工智能改变我们生活的步伐将会越来越快。2022年以来，以ChatGPT为代表的生成式人工智能的出现，改变了传统的知识产品生产方式，随着其应用到教育、经济、社会生活各领域，引起了很大的变化。
人工智能自20世纪中叶诞生以来，经历了起起伏伏的曲折过程，其历经大约4个阶段。
早在20世纪40至50年代，数学家和计算机工程师就已经开始探讨用机器模拟人类智能的可能，1950年，被称为“计算机科学之父”的艾伦·图灵（Alan Turing）提出了一个举世瞩目的想法——图灵测试。图灵的设想是：如果一台机器能够与人类开展对话而不被辨别出机器身份，那么这台机器就具有智能。图灵还大胆预言了制造真正具备智能的机器的可行性。1956年，马文·明斯基（Marvin Minsky）、约翰·麦卡锡（John McCarthy）、克劳德·香农（Claude Shannon）等科学家在美国达特茅斯学院组织了一次为期两个月的研讨会，会议的主旨是研讨学习和智能的特征与描述，以及如何通过机器来模拟人类智能。虽然研讨会上并未取得新突破，但第一次正式提出了“人工智能”一词，宣告人工智能作为一门学科诞生，并且开始从学术角度对人工智能展开专业研究，确定人工智能的主要研究内容包括机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理和专家系统等。后来，这次会议被人们看作人工智能正式诞生的标志。最早的一批人工智能学者和技术开始涌现。
人工智能的诞生让人们看到了人类智能通过机器实现的可能，人工智能迎来了属于它的第一次浪潮。这也为计算机科学技术的发展开辟了新的领域。在20世纪60年代，计算机被广泛应用于数学和自然语言领域，用来解决代数、几何和语言问题。这让很多研究者看到了计算机在人工智能方向的发展潜力。虽然这个阶段人工智能的研究成果层出不穷，但由于人们对人工智能研究的估计过于乐观，以及科研人员在人工智能的研究中对项目难度预估不足，各种人工智能项目一直无法实现，人工智能进入了第一个坎坷而艰难的阶段。
当时人工智能面临的问题主要涉及3个方面。其一是大多数早期人工智能研究者对其研究主题所知甚少，一个典型的案例是机器翻译研究者认为目标在于句法变换和基于字典的单词替换。其二是研究者对试图求解问题的复杂性认识不足。从原理上讲，当时的机器算法（如遗传算法）经过充分的进化和迭代，应该能解决大多数问题，然而其存在的“组合爆炸”是当时的算力无法承担的。其三是研究者对某些人工智能模型的认识存在局限性。1969年，明斯基提出感知机模型无法解决异或问题之后，重要人工智能模型人工神经网络（后文简称神经网络）的研究就开始进入“寒冬”。一直到1986年反向传播模型被提出之后，神经网络的研究才再次兴起。
在神经网络研究停滞的同时，基于知识的系统开始逐渐兴起。麦卡锡强调形式逻辑的表达和推理，在美国斯坦福大学创建了人工智能实验室。后来在费根鲍姆（Feigenbaum）团队的努力下，第一个专家系统DENDRAL在1968年诞生，它是化学领域的专家系统，能够根据化合物的分子式和质谱数据推断化合物的分子结构。这标志着专家系统研究的开端。1980年，美国卡内基-梅隆大学为数字设备公司（DEC）设计了一套名为XCON的专家系统，其目标是帮助DEC销售VAX计算机，XCON基于规则根据顾客需求自动配置零部件。它采用人工智能程序（可以简单地理解为“知识库+推理机”的组合），是一套具有完整专业知识和经验的专家系统。这套系统在1986年之前能为DEC每年节省超过4000万美元的经费。
但到了20世纪80年代后期，产业界对专家系统的巨大投入和过高期望开始显现出了负面效应，人们发现专家系统的开发与维护成本高，而商业价值有限。仅在维持了7年之后，这个曾经轰动一时的人工智能系统就宣告“结束历史进程”，专家系统的研究逐渐步入“寒冬”。与此同时，神经网络的研究取得了重要的进展。1986年，戴维·鲁梅尔哈特（David Rumelhart）、杰弗里·辛顿（Geoffrey Hinton）和罗纳德·威廉姆斯（Ronald Williams）等人联合提出了“反向传播”（Back Propagation）算法，可以在神经网络中增加隐藏层，通过误差的反向传播，用梯度下降法不断调整权重，对神经网络进行训练，以求逼近全局最优。反向传播算法的出现，推动了神经网络研究的“中兴”。
统计学习作为人工智能研究的一个分支，在20世纪60年代已经萌芽。1992年，弗拉基米尔·瑙莫维奇·瓦普尼克（Vladimir Naumovich Vapnik）等人通过引入核技巧将支持向量机（SVM）从线性空间推广到非线性空间。SVM由于具有样本小、非线性、高位模式识别等优良特性，迅速成为研究的热点。1995年，弗拉基米尔等人提出软间隔支持向量机，以处理线性不可分的情况。这也标志着统计学习理论的成熟。统计学习理论以概率统计的数学理论为核心，为算法的研究奠定了坚实的基础，而统计学习理论研究一时也成为人工智能研究的主流。统计学习理论先后被融入机器学习、大数据分析、深度学习等技术中，促进了它们的发展。马尔可夫链、贝叶斯推断等理论也都在人工智能算法设计中得到了广泛的应用。
这一时期，神经网络继续蓬勃发展。杨立昆（Yann LeCun）等人在1998年构建卷积神经网络，在图像处理领域取得了显著的成果。辛顿等人在2006年提出深度信念网，被广泛应用于计算机视觉、自然语言处理等领域，此外，他们还设计了深度学习网络的有效训练方法。基于深度学习的卷积网络AlexNet于2012年在ImageNet比赛中取得了冠军，展示了强大能力。与此同时，另外一种用于处理序列数据的深度学习网络——循环神经网络（Recurrent Neural Network，RNN）也在语音处理、自然语言理解、机器翻译、图像识别等领域取得了进展。
进入21世纪，数据的重要性被充分认识。商业智能、数据挖掘、大数据等技术相继兴起。一时间，数据驱动的模型成为人工智能的一个重要分支。在大数据和深度学习的支撑下，AlphaGo 在 2016 年战胜人类围棋冠军，标志着人工智能的又一个重大突破。2017 年，Transformer模型被提出，其独特的注意力机制以及便捷的可并行运算机制为其日后流行埋下了伏笔。与此同时，计算机硬件设计技术高速发展，算力也持续高速增长。截至2025年，华为、英伟达（NVIDIA）等公司的芯片算力已经达到每秒数千万亿、数亿亿次的浮点运算，超过了10多年前全球运算速度最快的超级计算机。在大数据、大模型、大算力的支撑下，人工智能再次迎来了突破。2022年，ChatGPT面世，其以强大的文本生成能力，给公众带来了很大的冲击。随后，一些大模型在文案生成、图像生成、视频生成、应试、机器人操作等领域的表现已超过普通人的水平，并接近专业水平。当前，世界各国的政府和商业机构都纷纷把人工智能列为未来发展战略的重要部分，人工智能的发展又迎来了新的浪潮。
人工智能可以分为强人工智能和弱人工智能。强人工智能是指具有人类的心智和意识、具有自主选择能力且拥有超越普通人智慧水平的人工智能。强人工智能是人工智能领域的长远目标。弱人工智能是指擅长某方面的人工智能，能够将人类从某些脑力劳动中解放出来，比如能战胜象棋世界冠军的人工智能等。人工智能科学家从计算机科学、逻辑学、控制论、统计学、生物学等不同的角度进行研究，提出了不同的人工智能方法论，也建立了不同的人工智能模型。人工智能在发展过程中形成了以下几个流派和研究方向。
符号主义主张通过符号之间的推理来模拟人类智能。符号主义的核心理念是通过符号系统中的符号处理来实现智能行为，符号表示和符号之间的推理是模拟人类智能的基础。
符号主义认为知识可以通过符号、符号之间的关系或规则来表示。符号可以代表现实世界中的实体、概念、关系等，从而可以用于知识库构建和知识表示。在符号推理方面，符号主义强调通过符号之间的逻辑推断和推理来实现智能行为。通过应用逻辑规则和推理机制，可以从已知事实中推导出新的结论，实现问题求解和决策。在符号处理方面，符号主义倡导基于符号系统，通过对符号进行操作和变换来模拟人类的思维过程。通过这种系统可以实现符号的复杂推理、搜索和推断。在知识表示方面，符号主义强调知识的重要性，认为知识是智能的基础。知识表示可以通过符号系统来实现，包括规则、概念网络、语义网络等形式。
符号主义在人工智能的发展历史中曾经占据主导地位，代表性的符号系统包括专家系统和基于规则的推理系统。然而，符号主义面临一些挑战，如处理不确定性、复杂性和模糊性等。随着深度学习等技术的发展，连接主义等新兴流派逐渐崛起，符号主义在人工智能领域的地位逐渐受到挑战。符号主义的思想对人工智能研究产生了深远的影响。
连接主义主张采用神经网络和大规模并行分布式处理的方法来研究人工智能，旨在模拟人类大脑的神经网络结构和学习机制。
在人工智能模型方面，连接主义借鉴了生物神经网络的结构和功能，构建了神经网络，强调由多个神经元（节点）和连接（边）组成的网络来实现智能行为，信息通过连接进行传递和处理。在学习算法方面，连接主义强调通过学习算法来调整神经网络中连接的权重，从而实现知识的表示和学习。常见的学习算法包括反向传播算法和梯度下降法等。在知识表示和存储方面，连接主义认为知识是分布式表示在神经网络中的，每个神经元只存储一部分知识，通过神经元之间的连接和激活来实现整体知识的表示和处理。连接主义强调通过大规模并行处理来模拟神经网络的并行计算，实现复杂的学习和推理任务。
连接主义在人工智能领域取得了巨大的成功，特别是在图像识别、语音识别、自然语言处理等领域。深度学习是连接主义的一个重要分支，通过多层神经网络的堆叠和训练来实现复杂的模式识别和学习任务。连接主义在许多领域取得了显著的成就，成为当前人工智能的主流流派之一。
行为主义主张研究人工智能时关注智能行为本身，而不涉及内在的心理过程。行为主义认为，人工智能可以通过观察和模仿人类或动物的行为来实现智能行为，而不需要深入了解内在的认知过程、情感过程或意识过程等心理过程。
在行为学习方面，行为主义强调通过观察和记录来学习智能行为的规律和模式，而不涉及内在的心理过程。这可以通过机器学习和模式识别等方法来实现。在感知和反馈方面，行为主义认为人工智能可以通过外部环境的观察和反馈来调整和改进自身的行为，而不需要考虑内在的认知过程。在实际行为方面，行为主义关注的是人类或动物的实际行为表现，而不是内在的心理过程。因此，行为主义在人工智能领域强调实际的任务执行和表现。
行为主义曾经有一定影响，特别是在早期的模式识别、控制系统和强化学习等领域。然而，随着人工智能的深入发展，认知科学的影响逐渐增强，内在的心理过程对于实现智能行为的重要性也逐渐受到重视。因此，行为主义在人工智能领域的地位相对较低，但其关注实际行为和外部观察的思想仍然对一些人工智能的设计和应用产生了一定的影响。
演化计算是一种模拟自然进化过程的计算方法，包括遗传算法、进化策略、遗传规划、人工免疫系统等。演化计算被广泛应用于优化、机器学习、智能控制等领域。
遗传算法是一种受生物进化理论启发的优化算法，通过模拟自然选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。遗传算法在解决复杂的优化问题和机器学习任务中表现出色。进化策略采用一种基于随机搜索的优化方法，通过演化种群中个体的参数来逐步优化目标函数。进化策略在参数优化、神经网络训练等领域有着广泛的应用。遗传规划是一种利用遗传算法来进化程序或程序片段的技术，通过演化生成的程序来解决问题。遗传规划常用于符号回归、程序合成等领域。人工免疫系统是受生物免疫系统启发的计算模型，通过模拟生物免疫系统的进化和学习过程来解决优化和识别问题。人工免疫系统在模式识别、异常检测等领域有着广泛的应用。除了以上几种主流的演化计算方法外，还有一些其他演化计算方法，如差分进化算法、粒子群优化算法等，它们在不同领域有着广泛的应用。
演化计算在人工智能领域中为解决复杂的优化问题和机器学习任务提供了一种有效的方法，通过模拟自然进化的过程来搜索最优解或学习适应性的行为。演化计算在实际应用中表现出色，为人工智能的发展和应用提供了重要的技术支持。
统计学习是一种基于统计理论和概率模型的机器学习方法，旨在从数据中学习模式和规律，以实现预测、分类、聚类等任务。统计学习被广泛应用于各个领域，如自然语言处理、计算机视觉、数据挖掘等。
统计学习包括很多应用广泛的学习算法。监督学习是一种从有标签数据中学习输入和输出之间的映射关系的机器学习算法。常见的监督学习算法包括线性回归、逻辑回归、支持向量机、决策树、神经网络等。无监督学习是一种从无标签数据中学习数据内在结构和模式的机器学习算法。常见的无监督学习算法包括聚类、降维、关联规则挖掘等。半监督学习是一种结合有标签和无标签数据进行学习的机器学习算法，旨在利用无标签数据提高模型性能。半监督学习在数据稀缺或标记成本高的情况下有着广泛的应用。强化学习是一种通过与环境交互学习最优策略的机器学习算法，主要应用于智能控制、游戏策略等领域。常见的强化学习包括Q学习、深度强化学习等。概率图模型是一种利用图结构表示变量之间依赖关系的概率模型，包括贝叶斯网络、马尔可夫随机场等。概率图模型在复杂关系的建模、推理和预测等任务中有着重要作用。
统计学习在人工智能领域中占据重要地位，通过利用统计理论和概率模型来解决各种机器学习问题。统计学习在处理大规模数据、复杂模式识别和智能决策等方面表现出色，为人工智能的发展和应用提供了有力支持。
人工智能作为一门新兴的学科，其理论基础或其赖以解决问题的理论，来自哲学、数学、经济学、神经科学、心理学、计算机科学、控制论、语言学等多门学科。本书仅从人工智能算法设计的角度，介绍人工智能中经常用到的一些基础数学理论和知识，主要涉及微积分、线性代数、概率论等方面。
微积分重在研究函数变化规律，主要包括极限、导数、积分、微分方程、偏微分方程等内容。数值分析主要研究用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论。很多人工智能算法问题，其实质是函数极值问题，但多由于函数的复杂性而转化为最优化问题，其求解过程涉及大量的导数、积分、极限、方程等高等数学理论和知识。而数值分析的理论则更为广泛，主要涉及以下几个方面：代数方程、线性代数方程组和微分方程的数值解法，以及矩阵特征值的求法；函数的数值逼近问题采用的插值法、拟合法等方法；最优化问题的数值解法；概率统计计算问题的解法，涉及随机变量的数字特征、随机变量的分布函数、样本统计量的计算等。从其内容可以看出，数值分析实质上就是各种数学计算的表示和实现。
线性代数和矩阵论研究的是高维数据的计算问题，主要包括向量、线性空间、线性变换、线性方程组、矩阵、矩阵特征值、特征向量、矩阵分解、逆矩阵等内容。人工智能要解决的问题大多为涉及高维数据的复杂问题，数据大多以向量、矩阵等形式进行表示和计算，所以需要用到大量的线性代数和矩阵论的理论。
概率论和数理统计解决的是不确定性问题，主要包括随机事件、概率、条件概率、随机变量、概率分布、参数估计、假设检验、相关分析、随机过程等内容。人工智能要解决的问题多是一些未知的、复杂的问题，这些问题很多时候是没有标准答案的，是不确定的。即便是确定性问题，很多时候由于问题规模大、样本不充分、算力不足等因素，也会变成不确定性问题。从概率论的视角来看，贝叶斯主义者所说是有一定道理的，事物本身就是不确定的，所谓的知识只是对事物的一种信念，认识事物的过程就是信念不断更新的过程。各种概率和统计模型，已经在人工智能领域中得到了大量的应用。
数学是自然科学研究中最基本的工具，人工智能领域中用到的数学知识当然不限于上述内容，以上只是一些用到的基本的数学知识，也是本书主要介绍的与人工智能相关的数学基础知识。
Python以其简洁性、易读性、易扩展性、强大的数据可视化能力以及强大的库支持，成为人工智能和机器学习领域的首选编程语言。近几年，随着人工智能的兴起，Python的应用日益广泛，常年蝉联编程语言流行度排行榜榜首。下面简要介绍人工智能算法设计中常用的一些Python开源库。
NumPy专为科学计算和数据分析设计，是Python生态中核心的数据处理库之一。NumPy提供了一个高性能的多维数组对象ndarray，以及一系列针对它进行快速操作的函数，主要功能有多维数据的表示、矢量化运算、广播机制、标准数学运算（如统计、傅里叶变换、随机数生成）实现等。
pandas专门用于高效地进行数据分析和处理工作，其主要功能有数据读写、数据清洗、数据操作、时间序列分析、统计分析、数据可视化等。
SciPy 是建立在NumPy的基础之上的一个开源科学计算库，具有更高级别的数学、科学以及工程计算功能，主要有优化算法，如梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等；数值积分功能，如定积分、多重积分以及不定积分的近似计算等；数据插值和函数拟合功能；线性代数功能，如矩阵分解、求解线性方程组、求解特征值问题等；统计功能，包括描述性统计分析、分布函数、假设检验、随机变量生成等。
scikit-learn，通常简写为sklearn，是一个开源的机器学习库，其作用是提供简单、高效的数据挖掘和数据分析工具。sklearn建立在NumPy、SciPy和Matplotlib等科学计算库的基础上，其内置有经典的数据集和大量的监督和非监督学习算法，包括分类算法（如支持向量机、逻辑回归、随机森林等）、回归算法（如线性回归、岭回归、LASSO回归等）、聚类算法（如K-Means、DBSCAN等）、降维算法（如PCA、t-SNE等），以及模型选择、验证和评估工具。
Matplotlib 是一个广泛使用的Python数据可视化库，它允许用户创建静态、动态、交互式的可视化图表。Matplotlib通过一种可视化的方式来展示数据，能形象地展示数据的规律并展示数据处理的效果。
PyMC是一个开源的Python库，其具有基于马尔可夫链采样算法和贝叶斯推断等实现的功能，可以通过贝叶斯统计建模，使用MCMC采样算法等马尔可夫链采样算法逼近样本分布，进而进行参数估计和概率推断。
Python中，其他可用于人工智能领域的库还有很多，如PyTorch、OpenCV、Transformer、Diffusers等。对于一些常见的基本算法，Python库一般都有其开源的实现代码。
数学知识的学习，对于非专业读者而言，不是一件容易坚持的事情。基于这样的认识，本书在介绍相应的数学知识时，会给出相应的Python代码，以方便读者尽快掌握数学知识。对于部分内容，本书还提供了直接用Python代码实现的方式和调用库函数实现的方式，以帮助读者尽快掌握人工智能算法的设计和应用。
