生活是堂数学课

生活是堂数学课

梁进/著

人民邮电出版社

北京

图书在版编目（CIP）数据

生活是堂数学课/梁进著.--北京：人民邮电出版社，2023.12

ISBN　978-7-115-58980-4

Ⅰ.①生…　Ⅱ.①梁…　Ⅲ.①数学—通俗读物　Ⅳ.①01-49

中国版本图书馆CIP数据核字（2022）第048842号

◆著　梁进

责任编辑　刘禹吟

责任印制　李东　焦志炜

◆人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

邮编　100164　　电子邮件　315@ptpress.com.cn

网址　https://www.ptpress.com.cn

天津市银博印刷集团有限公司印刷

◆开本：720×960　1/16

印张：12.75　　2023年12月第1版

字数：175千字　　2023年12月天津第1次印刷

定价：59.80元

读者服务热线：(010)81055552　印装质量热线：(010)81055316

反盗版热线：(010)81055315

广告经营许可证：京东市监广登字20170147号

内容提要

从古老的哲理到历史的故事，从柴米油盐的日常起居到令人炫目的“黑科技”，本书将其中隐藏着的数学道理娓娓道来，展现了数学具有强大能量而又亲和融通的本质和魅力，让数学从象牙塔上走下来，揭开错遮的“恐龙”面纱，还数学以美丽智慧的真面貌。本书引导读者培养数学思维、掌握数学方法，用科学的方式来处理问题、应对挑战。

让我们跟随作者生动、幽默的讲述，一起探索生活中无处不在的数学，开始一段美妙的数学之旅吧！

序·授鱼与授渔

顾凡及

（脑科学专家、科普作家）

感谢上海市科普作家协会江世亮秘书长的推荐和杨虚杰编辑的邀请，让我为梁进教授的新作《生活是堂数学课》写一篇序言，使我有机会先读为快，读到这本数学科普佳作。

说来惭愧，我虽然在大学里学的也是数学，毕业后改行从事生物控制论的科研和教学工作，不过从2004年退休后一直从事脑科学的科普工作，不再接触数学。在搞科普时也回避高等数学，原因是不知道怎样避开那些看起来莫测高深的术语、符号和抽象的概念，怕这些内容会吓跑了读者。读了梁教授的这本书，我明白了问题主要不在于这些内容，而在于作者的表达技巧，在于这样的科普读物的定位和目标。

虽然讲起来我们都希望科普读物能做到“老少咸宜，雅俗共赏”，但其实任何科普读物在作者心中都有对应的读者群体，就像我们很难给小学生讲高等数学和相对论，反过来，要让大学生对儿童科普读物感兴趣也很难。我猜梁教授心目中的读者群体可能是对高等数学有点儿概念且对怎样应用数学解决各种问题感兴趣的公众，这样的读者群体虽然做不到覆盖全社会（实际上也没有一本科普读物能做到这样），但是其覆盖面已经够广的了。

我在大学时代读的是纯数学或者说是如梁教授所称的“理论数学”，不过毕业以后在工作中涉及数学时，却只是应用数学来解决自己面临的问题，这听上去似乎简单，但实际上往往会发现在大学里学过的东西不够用。工作时间越长，这种感觉越深。我常常希望数学家们能编写一本像苏联数学家们合作编写的《数学：它的内容、方法和意义》这样的科普读物的现代版，告诉读者在大学里没有学过的众多近代数学分支的思想、能解决的问题和应用方法。对于应用者来说，他们不太在乎如何去证明，他们相信数学家。他们希望数学家告诉他们的是有哪些数学思想和理论能解决他们的问题，只有在确定了这一点之后，他们才有动力去阅读这方面的教科书或者专著，寻求解决之道。毕竟要啃这样的书，决不像读金庸的武侠小说那样轻松愉快。我曾经和在数学系任职的老同学讲起这个愿望，希望他能组织一些数学家来做这件事，不过老同学摇了摇头，表示这件事工程量太大也太难。我也就把这个想法埋藏在内心深处。

如果说我的这一想法是一种纵向的学科导向性的愿望，那么梁教授的这本书就是横向的问题导向性的实现。梁教授从生活中随处能碰到的种种实际问题出发，剥茧抽丝式地向读者介绍如何把问题简化和量化之后抽象成一个数学问题，要解决同类问题需要什么样的数学工具——变分法、泛函分析、随机过程、线性规划、运筹学，不一而足，而且举出了解决问题要用到的具体数学定理。当然在科普读物中并不需要对定理加以严格的证明，这往往也不是科普读物的读者想知道的。梁教授把定理中的数学表达“翻译”成通俗易懂的语言，并代入所要解决的问题中，使读者明白为什么可以用这些定理来解决这些问题，甚至是同一类型的其他问题。这种做法的好处是，读者不会一开头就被那些高深的学科名词所吓倒，而是趣味盎然地跟着梁教授看怎么样用数学方法解决实际问题。当读者自己也面临类似的问题时，就知道应该进一步去找哪些数学分支的文献来读了。这对于希望用数学方法解决自己的问题而茫无头绪的读者来说实在是太有帮助了。

我一直认为好的科普读物必须同时具备科学性、趣味性、前沿性，在有可能时还要兼备应用性（我自己的书就没能做到最后这一点）。梁教授的这本书无疑是少数能同时具备这“四性”的上乘之作。前文已分析了本书的科学性和应用性，令我喜出望外的是，这样一本普及高等数学的、在一般人想来枯燥乏味的书中，主题既有哲学思辨、历史轶闻，也有日常生活中碰到的难事，最后甚至以整整一章介绍云计算、人工智能、区块链等最新的“网红”主题。我虽然对这些问题也很好奇，可惜的是通常看到的文章都语焉不详，读后依然一头雾水。像梁教授这样做系统的通俗介绍，至少可以令读者知道这些概念究竟是什么意思，可望解决哪些问题。而在行文上，梁教授更是妙语连珠，既有高雅的文学语言，也有大众喜闻乐见的市井俚语，如“股市有风险，投资需谨慎”这样的广告语，使读者在紧张思考的同时，也不时为梁教授的幽默展颜一笑。

我特别喜欢这本书的原因之一，就是这本书不仅是授读者以鱼（有关的数学知识），而且还授读者以渔（数学思想以及怎样把具体问题归结为一个数学问题并加以解决）。而梁教授的授渔之法又是在授鱼的同时进行的，因此能更有效地让读者知道怎样具体地去“渔”，而不是在连“鱼”是什么都不知道的情况下拿了一本《捕鱼大全》去读！这或许就像金庸笔下的风清扬和张三丰所提倡的，重要的是学会“剑意”，而不是哪一个具体的“剑招”，不过要想体会剑意，也绝离不开观察具体的剑招！

总之，这是一本难得的好书，我已经通读了一遍，受益良多，但是这不是一遍就能读透的书，我还将反复阅读，尤其是选读那些特别感兴趣的章节。

前言

最近几年，我陆续写了一些有关数学和名画、数学和诗歌、数学和大自然的科普书，目的就是想说明数学不是“恐龙”，而是优美而实用的学科，希望数学能走进大众。然而一直有一个空缺要去填补，就是与老百姓生活密切相关的生活中的数学。我自己感觉生活中的数学很难写，因为面对数学素养有限的普通读者，如果要把问题讲清楚，少不了一通公式“轰炸”。这样的结果必然是赶跑了读者，强化了数学的“恐龙”形象。于是我把重点放在了阐述数学思想上，希望从人们耳熟能详的寓言、故事、传说出发，分析背后的数学道理；也在大家柴米油盐的日常生活中挖掘，发现其中的数学之美；当然也不放过像人工智能、区块链等热门技术，数学正是这些“黑科技”的奠基本领。尽管本书尽量避免大量的公式推导，但还是有部分公式一定要与大家见面。希望读者能够与公式和平相处，尽力理解公式，毕竟公式是数学的语言。当然，真正研究数学和应用数学的人是少数，这本书的目的也不是让读者成为数学达人，而是希望让数学从象牙塔上走下来，和大家成为好朋友，让大家喜欢数学理性、优美、练达和有用的方方面面。

本书分为四章，分别讨论哲学里的数学、古老智慧间的数学、日常生活中的数学和前沿科技背后的数学。本书面向的读者需有一定数学基础，但如果不能理解其中的一些公式，不妨跳过，不会妨碍后面的阅读。

感谢杨虚杰老师的策划和人民邮电出版社编辑团队付出大量心血对本书的编辑，正是他们的努力才使这本书更加出彩。

第一章 哲学里的数学思辨

分棰不竭

极限，微积分的灵魂，庄周不光梦蝴蝶，还拿木棍“量”过它！

随机人生

随机过程，听起来很随意，但却有“定数”。人生仿若由看不见的命运之手牵引，让我们用数学的眼光，看一看其中的妙处。

逆水行舟

抗力而行，有毅力，也有技巧，不可能就变成了可能！经验之上，数学建模会传授你一些窍门。

磨刀之功

刀怎么磨最有效？数学中的最优化帮你找答案。生活中的那些“刀”又该怎么“磨”呢？

愚公移山

是拼毅力还是碰运气？古老传说中居然也有微积分和概率问题。

最短道路

人生捷径难寻，但去往罗马的捷径可用数学找到！让高深的泛函来小试牛刀吧！

两面数学

“高傲”的数学也有两面性，在不同的地方表现出不同的特性。不要被它的某一种面貌所迷惑哟。

悖论困局

悖论不光是自相矛盾图个乐，它还带来了数学理论一次次的飞跃性进展！

分棰不竭

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子·杂篇·天下》，可能是我国有记载的最早的极限思想。这句话的大致意思是，一尺长的木棍，每天截取一半，可以一直截下去，永远也截不完。

无独有偶，古希腊哲学家芝诺（约前490—约前430）提过与极限有关的著名悖论——“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。

与常识不符的“阿基里斯跑不过乌龟”是说如果乌龟在距离阿基里斯（古希腊神话中的英雄）前方T0处逃跑，T0点到阿基里斯所在的T点的距离是D，不妨假定为1。为了追上乌龟，阿基里斯用力奔跑，当跑到T0点时，乌龟已经逃到T1点；而当他追到T1点时，乌龟又逃到T2点……每当阿基里斯到达乌龟上一次到达过的地方时，乌龟已经又向前爬了一段距离。这样下去，阿基里斯是永远追不上乌龟的！

对于这个问题，芝诺错误地假定了时间的无穷级数一定是发散的，而实际上这个悖论中的级数是收敛的，也就是说，由于阿基里斯的速度V大于乌龟的速度v，阿基里斯每次跑步通过乌龟上一次爬过的距离所用时间之和的极限是收敛的，所以，在有限时间里，阿基里斯一定能追上乌龟。根据基本的公式（速度=距离/时间）可得下表。

于是阿基里斯所用的时间成为一个几何级数，公比为v/V<1，级数和收敛，即阿基里斯会在时间内追上乌龟。

“飞矢不动”是指一支飞行的箭，在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻不是持续时间，而整个运动期间只包含时刻，每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。这个悖论也是芝诺弄混时刻（时间的点）和极限意义下的无穷小时间段而产生的。

极限是微积分的灵魂。17世纪开始，随着科学技术的发展，在各行各业，人们的传统观念都受到了极大挑战，新思想不断涌现。在数学领域，一场重大的革命应运而生，那就是微积分的诞生。

微积分分别由牛顿（1643—1727）在1671年书写、1736年公开出版的图书《流数法》和莱布尼茨（1646—1716）于1684年发表的论文《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》中提出，从物理和几何出发开启了微积分时代。

开始的时候争论不断，人们为无穷小量的意义而“大打出手”，那时无穷小量被保守派称为“幽灵”，招之即来，挥之即去，并引发了第二次数学危机。天才如牛顿也说不清楚，他先后解释了三次，却又前后矛盾。直到19世纪，在柯西（1789—1857）、魏尔斯特拉斯（1815—1897）等众多数学家的努力下，微积分的理论才趋于完善，人们才有了刻画动态的利器。而牛顿和莱布尼茨两人关于微积分“发明权”的纷争算得上是数学史上最精彩的纷争，现在公认两人共同分享这个荣誉。在这个过程中，微积分思想也以一种不可思议的方式感染了艺术界。

何谓极限？极限是一种“变化状态”的描述。粗略地说，“极限”是无限靠近而永远不能到达的意思。在数学中，“极限”特指某个函数中的某个变量在永远变化的过程中，逐渐向某个确定的数值A不断地逼近而又永远不能抵达A，即此变量的变化有“永远逼近而不停止”的趋势。此变量趋近的值A叫作“极限值”。极限的严格数学概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。这就是让许多数学系的大学生进入大学后挨到的ε-δ语言的“第一记闷棍”。再回过头来看看早在公元前两三百年出现的分棰之说，说的就是这样一种不停地缩小，结果越来越小却一直不能够到达0的过程，这不得不让我们感叹中国古人的智慧。

随机人生

“人不能两次踏进同一条河流”是古希腊哲学家赫拉克利特（约前540—约前480与前470之间）说的。他创立了一种“变”的哲学，其中充满了辩证法思想，对后来辩证法的发展产生了重大影响。赫拉克利特用非常简洁的语言概括了他关于运动变化的思想：“一切皆流，无物常驻。”在他看来，宇宙万物没有什么是绝对静止和不变化的，一切都在运动和变化。在他的思想中，运动是绝对的，静止是相对的。然而更进一步，赫拉克利特所描述的“动”其实含有很强的不确定性。按照随机过程的理论，一个连续时间随机过程中出现两条完全相同路径的可能性为0！

人生中有太多的不确定性，随之而来的是惊喜、期盼、失望、不甘、无奈等情绪，这表明了这些不确定性似乎和精确的数学格格不入，但我们仍然可以用数学中的一个重要分支——随机过程，来解释生活中的不确定性。俗话说“谋事在人，成事在天”，表明了人的主观努力也会受到不确定的环境的影响。

随机过程是一门深奥的数学理论，一般是数学系高年级本科生和研究生的专业课，其先修课程一般包括概率论、数理统计等，研究前沿方兴未艾。

随机过程研究一族随机变量，如果这些随机变量的指标是时间，那么简单地说，这样的随机过程是一个以时间为标志的不确定过程。在这个过程中，站在现在这个时间点上看，过去已经是已知的、确定的，而将来的任何时刻都是一个随机变量。如果这个过程的发展遵循一定的规律，我们可能可以摸索出未来的随机变量的分布。也就是说，虽然不知道未来会发生什么事，但有可能知道未来发生某些事的概率。例如，我们用几何布朗运动来刻画风险资产价值 St的运行轨迹，简化该过程，则 St满足随机微分方程

这里，Wt是维纳过程，或者叫布朗运动；r 和σ分别表示St的数学期望回报率和波动率。虽然 St对未来的时间 t 是随机的，但这两个参数决定了风险资产未来的数学期望值和随机波动的大小。

人生如果要用一个模型来刻画，随机过程自有其妙处。如果说我们的人生由一只看不见的命运之手牵引，我们也可以像刻画风险资产价值的运行轨迹那样用随机过程来描述这只手。这个过程有几个特点是肯定的：

●关于时间是连续的、不可逆的；

●有时间上限，当然这个时间上限也是随机变量；

●这个过程包括随机跳跃的过程，跳跃的过程可以是内在的，也可以是外生的；

●人们的出身决定了这个过程的初始状态；

●这个过程受外在因素，如大环境的影响很大；

●每个人的过程都有独特之处，但与周围人的过程有很大的相关性，且互相影响；

●对这个过程，人们自己能做的事就是调整过程的参数，并在一定的时机选择跳入不同的子过程。

于是，我们可以解释、推演下面几件事。

●所谓的命运不是决定性的，它控制了大方向，这包括我们出生的年代、生活的大环境等，但我们仍然有希望在一定程度上，通过自己的努力大大增加达到目标的可能性。

●调整参数不能改变未来的随机性，但可以使未来的某些事件发生的可能性增大，或者说，在已有信息的基础上，可以通过调整参数，使未来的数学期望更接近当事人的希望。但不要以为你努力了就一定能达到目的。所以，取得成功，应心生感激；不幸失败，当坦然接受。

●人生很多时候会面临很多选择，这使得后来的进程转入不同的子过程。在这些不同的子过程中，发生各种随机事件的概率是不一样的。有时，随机的外生因素也会使人生轨迹发生改变，导致进入一个与之前不同的子过程。由于面临选择时，你并不能确定未来的随机事件，所以犹豫徘徊不能帮你，事后后悔更是没有意义，应当在分析可能性后，当断则断。

●按随机过程的理论，过去的信息越多，未来的确定性就越大。对待不确定性这种风险，人们一般有两种态度，有人厌恶风险，有人喜欢冒险。但对于人生，人们倾向于喜欢不确定性，实际上是希望好的随机事件发生。例如，孩提时期，未来的不确定性很大，人们寄予各种各样的祝福；而到了老年，大都尘埃落定，可变性就很小了，不过大器晚成的例子也是有的。

●大多数人都有攀比心态，其实这没有太大的意义，很多时候只会徒增烦恼，每个人经历的过程不一样，有时小概率事件也会发生，不服气也无益。

●由于人生的不可逆性，过去发生的事确定了你曾经的轨迹，并会影响你的未来，但这种影响不是决定性的。当你已经站在一个时间点上，在此之前的所有可能性中，只有一种发生了，并得到证实，由于排他性，其他可能性在这个时间点上都没有发生，甚至有时就永远成为不可能事件了。不管这是不是你所希望的，你都只能接受，这时怨天尤人、蹉跎叹息都没有用，积极的态度是站在这个时间点上分析发生的事情和它对未来的影响，未来有各种各样的可能性，你仍然可以继续调整参数。

大环境也是一个随机过程，所有人调整参数的结果共同决定了未来的可能性。于是我们得出结论：大家努力调整参数，不仅要努力调整自己的参数，也要帮助调整别人的参数，还要合力作为，调整好大环境的参数。

随机过程中还有一个重要的概念：鞅。尽管鞅的数学定义比较难懂，但用通俗的语言来讲，它是指一类随机过程，这类随机过程未来的数学期望和初始状态是一样的。以此来看，人生可不是鞅。

逆水行舟

人生就像扬帆远航，有时顺风，有时逆风。顺风时当然舒畅，“轻舟已过万重山”；然而也不免遇上逆境，“逆水行舟，不进则退”。

逆水怎么行舟？也许帆船的航行可以给我们一些启示。帆船在航行中常常要借助风力，然而当风吹的方向和航行的方向相反时怎么办？有经验的船员会采取迂回的方式，并不顶风航行，而是呈“之”字形航行，在航行过程中利用侧风取得前行的动力。这样就引出了一个数学问题，航行的方向与风的方向呈多少度的侧角是最优的？也许有经验的船员会凭感觉来调整，这里我们从理论上给出分析。

如对页图，假如风W从点B吹向点A，无动力帆船从点A驶向点B，风的阻力W与航向相反，水的阻力P也与航向相反。如果船直直地从点A到点B，它需要很强的发动机才能前进。但如果船斜着走，它是怎样借助风力获得动力的？分析如下。

（1）船实际航行的方向与风向的夹角是θ，而帆与船实际航行的方向的夹角为α，那么帆与风向的夹角为θ-α。

（2）风的阻力W主要作用在帆面上，只要θ>0，它就可以分解成两个力W1和W2，其中W2与帆面平行，不起作用，而起作用的W1又可以分解成两个力f1和f2，其中f2与船体垂直，被舵的阻力抵消，而f1正是船的推动力。

（3）显然，帆的面积S1越大，船获得的动力就越大，可以认为W和S1成正比，不妨设比例系数为k。

（4）水的阻力P也可以分成两个力P1和P2，其中P1是船的净阻力，P2垂直于船体，可认为被舵的阻力抵消。

（5）P的大小与船体的形状和大小有关，简单考虑船体的迎水面积为S2，同样可以认为P和S2成正比，其比例系数也设为k。

（6）那么，船获得的净推力F = f1- P1。

（7）船的航速v与净推力F成正比，不妨设比例系数为k1，船希望航行的方向（从点A到点B）上的分速度为v1。

如上分析，帆越大，船体越小，船就航行得越快。不过帆太大，船就不稳，容易翻船。难怪竞赛级帆船的帆那么大，船体那么小，对运动员的技术要求一定很高。而用于载客载货的船，为了效益，船体不可能太小。不同用途的帆船，船体和帆的面积比例也不同。另外，帆要做成三角形 ，是因为对同样的迎风面积，这样的形状可以降低重心；而船体要做成流线型，尽量减少迎水面积。

求最优的过程会用到微积分的方法。下面我们来计算一下，什么样的风帆角度为最优，即船可以获得最大动力。相信大家可以看出θ - α为0°和90°时，船不能前进，所以角度在0°和90°之间可以取到一个最优值。

根据前面的分析，我们有

现在的问题转变为，θ 和α为何值时v1最大。先固定θ，求使f1最大的α，再求使v1最大的θ。

事实上，，令其为0，得，代入v1的表达式，得

其中m = 1 + 2P/W = 1+2S2/ S1,k2= k1W/2。

从上式可以看出，当，即时，v1最大。最优角度依赖于帆的面积和船的迎水面积。一般情况下，S1远远大于S2，从而有估计值

，则θ的取值范围为60°< θ< 75.53°

结论：船的实际航行方向与风的最优夹角θ应在60°到75.53°之间（具体数值取决于帆的面积和船的迎水面积之比），帆与船的实际航行方向的最优夹角α为θ 的一半。

通过v1的表达式我们还可以看出，因为m >1，在某些情况下，v1可能为负，此时就是“不进则退”中“退”的情形。这时，可能要通过额外的努力，如划动船桨才能让船继续前进。

在帆船竞赛中，除了船和帆的状况是事先确定的，水文、风力等情况都是实时变化的，这就要求运动员根据具体情况，结合自己的训练经验，适时调整帆的角度，才能取得竞赛胜利，而训练经验的背后就蕴含着这样的数学原理。

磨刀之功

生活经验告诉我们，一味地“穷追猛打”并不一定能实现我们的目标，适当地学习、休息、进修和调整有助于我们更快捷、更有效地完成任务，尤其是那些棘手的、宏大的、重要的任务。然而过多的“偷懒”对完成任务也是不利的。那么怎样调整才是最优的呢？

俗话说“磨刀不误砍柴工”，砍柴对应前面所说的任务，磨刀有利于砍柴，但不是所有的磨刀都不误砍柴工。最极端的情况，如果你拼命磨刀，就是不砍柴，那肯定会误砍柴工。怎样磨刀才能不误砍柴工呢？再进一步，怎样磨刀才最有效，是最优的呢？处理最优问题恰恰是数学最拿手的。我们现在就对这个问题进行数学建模，并在一定条件下，定量地给出结果。通过此例可以看出数学在解决实际问题时的优越性和局限性。

我们先把这个问题转化成一个数学问题。这个问题就是数学中的最优控制问题。解决这类问题首先要搞清楚：什么是优化目标？什么是控制变量？回到砍柴问题，所谓效率最高的优化，就是固定时间内砍完的柴最多，这就是目标函数。那么我们能控制什么？我们能控制的是磨刀的时间和频率。

为了解决这个问题，我们需要把问题简化并具体化，也就是对问题做如下的假设。

（1）设本次砍柴的时间段从0开始，到T结束，T是有限的。这期间只磨一次刀。磨刀时长为d（d < T）。磨完刀后，砍柴速度回到最快水平。

（2）砍柴的速度为x(t)，最快速度为x0，砍柴速度是时间t的下降函数，设 x(t) = x0e-ct,c是某正常数，代表刀因砍柴而变钝的速度。

（3）磨刀时间为。

（4）G为砍柴量，。

那么，我们的目标就是让砍柴量最大，即找到一个合适的t0，使得G最大。由上面的假设可以看出x(t)满足

那么我们的问题就简化为什么时候磨刀，即找到一个t0，使得

最大。用微积分求极值的方法，对G(t0)关于t0求导并令导数等于0，就有

解上式，我们就得到了最合适的t0，记为：

这就是开始磨刀的最佳时刻。这时磨刀我们可以得到砍柴量

如果我们不磨刀，那么有

当然，要想磨刀不误砍柴工，磨刀时间就不能太长。那么磨刀时间最长是多久呢？也就是说，要找到最大的d，满足

解这个不等式，不难得到

由于，所以上式小于号右边第二项为负，这意味着d < T。另一方面

所以大于0且不误砍柴工的磨刀时间d是存在的。

通过上面数学模型的建立、分析和计算，可以得出结论：要想磨刀不误砍柴工，必须在砍柴周期时间内通过磨刀将钝刀恢复到初始锋利状态，而最优的磨刀开始时刻是砍柴时间减去磨刀时间的差值的一半，而磨刀时间的限制依赖于砍柴总时间T和刀的钝化率c。刀的钝化率需要实际数据校验。

这是一个简化后的数学模型，但我们可以从这个例子看出数学是怎样处理这类问题的。而对于实际磨刀问题，我们可以进一步推广，例如选取不同的钝化函数，或允许多次磨刀。

“磨刀”的思想在我们生活中也有广泛应用，如项目申请、职业进修等。就拿职业进修来说，我们都知道，在走向工作岗位之前，我们要花很长时间接受教育，这个过程可以看成磨刀的过程。刚开始走上工作岗位，我们锐气十足，工作效率很高；但日复一日，虽然工作经验增长，但也渐渐有了变成“老油条”的趋势，容易因循守旧、沉于经验，开始有了倦怠感。这时，我们有几种选择：①继续“混日子”,“做一天和尚撞一天钟”，我们的“刀”也就越来越钝；②跳槽，换一种工作方式，“树挪死，人挪活”，但这有一定风险，新的工作不一定适合自己，一切可能要从头来；③进修，停下目前的工作，花费时间和金钱，针对自己的短板和所需的新的职业技能，提高自己的工作水平。进修就是“磨刀”，尽管在短时间内损失了一定的工作时间和金钱，但进修结束就能提高工作效率，做更多的工作。那么，数学对磨刀最优时间的计算给我们的启发是：可以根据我们的具体情况，找到进修的最好时机和合适的进修时长，以达到最优的“磨刀”效果。

愚公移山

“愚公移山”是我们耳熟能详的寓言，出自《列子》：

古代有一位老人，住在华北，名叫愚公。他的家门南面有两座大山挡住了他家出行的路，一座叫作太行山，另一座叫作王屋山。愚公下定决心要率领他的儿子们用锄头挖去这两座大山。有个名叫智叟的老头子看了发笑，说你们这样干未免太愚蠢了，你们父子要挖掉这样两座大山是完全不可能的。愚公回答说：“我死了以后有我的儿子，儿子死了，又有孙子，子子孙孙是没有穷尽的。这两座山虽然很高，却不会再增高了，挖一点就会少一点，为什么挖不平呢？”愚公批驳了智叟的错误思想，毫不动摇，每天挖山不止。这件事感动了上天，他就派了两个神仙下凡，把两座山背走了。

现在我们从数学的角度来分析一下这则寓言。愚公门前有两种状态：有山和无山。开始的状态是有山，但这种状态是可以转移的。转移的方式有两种：一种是自己挖，另一种是感动上天。前一种方式利用了积分的思想，每天的挖掘量虽然小，但如果是正数，而且子子孙孙一直挖下去，时间趋于无穷，那么这个积分是发散的；而山虽然庞大，毕竟有限，抵不住子子孙孙挖山不止，总有一天山被挖尽。从这一点上看，智叟不智，只看到每天挖掘量与山的体量差别太大，而愚公不愚，已看到了积分发散。后一种方式是一种概率性的存在，这种方式非常难得。愚公的经历表明，这个概率是大于0的。但普通人的常识又表明，这个概率极小极小。愚公的方法是立足于第一种方式，自力更生，与时间进行长跑，却触发了小概率事件，以第二种方式提前实现了状态转移。

这两种方式在应用数学中也常用来刻画状态之间的转移。例如信用风险的评估，其中最简单的就是违约风险评估，其状态也是两种：违约和不违约。我们关心的是从不违约状态变成违约状态的可能性。评估的数学模型就是这样的两类，分别叫作约化法和结构化法。

约化法就是评估外在因素引起违约的可能性，当然这次不是“感动上天”而是“激怒上天”了，具体如自然灾害、战争等外在因素引发的违约。结构化法则是考虑内在因素，如管理不善、资不抵债等原因引发的违约。如果几种状态是可逆的，并且转移概率是已知的，那约化法就可以用马尔可夫链（Markov chain）来刻画状态的转移。

给定随机序列 。如果对任何一列在状态空间E中的状态i1, i2, …, ik-1, i, j，及对任何 , 满足马尔可夫性质：

则称为离散时间马尔可夫过程或马尔可夫链（也简称为马氏链）。如果状态空间E是有限集，则称 为有限马尔可夫链。

马尔可夫链在时刻m处于状态i的条件下，在时刻m+n转移到状态j的条件概率称为n步转移概率，记为 。

由于马尔可夫链在时刻m从任意一个状态i出发，经过n步到时刻m+n，必然转移到状态空间E中的某个状态，因此很自然地得到：对任何i∈E和任意整数m≥0, n≥1，有

如果n步转移概率 与m无关，则称为齐次马尔可夫链。对于齐次马尔可夫链 ，转移概率与起始时刻无关，而只与起始时刻和终止时刻的时间间隔n有关，将n步转移概率pij(n)写成矩阵形式：

回到愚公移山的问题，我们应该想到上天有正概率p把山搬走，当然也有正概率q把山搬回来。所以状态转移矩阵就是

而结构化法就是依赖状态转移的真实原因。如果是挖山，就是实实在在地一点一点把山挖走，计算山的体积和每天可以挖走的量，从而计算出离“无山”的状态还有多久。如果是违约，就是看离资不抵债还有多远，一旦资不抵债就会违约。一般来说，结构化法有一条清晰的边界划分两种状态，如有山和无山的边界就是山的体积为零，而违约的边界就是资产与债务相等。

如果上天是在逗愚公玩，搬山就像挪棋子，随心所欲，喜怒无常，将山搬来搬去，不过如果他搬来和搬去的概率q和p不变，那么可以通过马氏链得出，当时间趋于无穷时，有山状态和无山状态的概率将稳定在内（设p < q），所以愚公还不如老老实实地挖山，当时间充分长时，愚公就可以顺利地进入无山状态。

最短道路

在生活中，我们为了实现自己的目标，都在寻找到达目的地的途径。有时是“华山一条路”，但更多的时候是俗话说的“条条大路通罗马”。如果是后者，就面临一个数学问题，这些道路中哪条路最短？

如果不考虑地球经济因素，只考虑纯粹平面，那么回答很简单：根据几何原理，两点间线段最短。但是在实际中，真要去罗马，没有直线路径可以实现，肯定会有各种地理限制。这里，我们考虑几种简单的限制条件，讨论在这些条件下的最短距离问题。由于距离就是路径长度，我们要找到一个函数使得函数的曲线长最短，这就要用到数学中的泛函理论。泛函分析虽然是数学中比较高深的学科，但不妨碍我们通过下面几种情形来尝试理解它。

情形Ⅰ 直线模型

虽然地球是圆的，但足够大，我们可以近似地将地球表面看成平面。先考虑一个没有任何附加条件的模型。

在地球上建立平面直角坐标系，假设远足者站在坐标原点(0, 0)，罗马的坐标为(1, a)，在这两点间任意画一条连线，连线函数是y = f (x)。所有这样的函数的容许集合 为所有通往罗马的路径集合，用数学的语言表示就是

沿y = f (x)从原点走到罗马的距离为

我们要在集合 中找到一个函数 使得D最小。

附近的函数可以写作，其中 φ(x) 连续可微， ，并且φ(0) = φ(1) = 0。所以我们有

因为D(δ)在0点处取得极值，将D(δ)关于δ求导并令δ取0，得

由于φ(x)的任意性，及其两端取值为0，要得到D(δ) = 0，只有

又因为，我们可以得出结论，只能是过(0, 0)和(1, a)的直线。

情形Ⅱ 绕山模型

如果在去罗马的直线路径上有高山阻拦，那情形Ⅰ找出的这条路径应该就不是最优的了。我们可以绕着山走，但问题是怎么“绕”才是最短路径。

如右图所示，直觉告诉我们，最短的路径应该是：从点A（出发地）出发，先沿直线达到山的某点，沿着山的边缘绕行一段，然后离开山再沿直线行至点B（罗马）。那么接下来的问题是，绕山的起点（绕山点）和终点（离山点）在哪里为最佳？数学建模如下。

（1）建立如下图所示的坐标系，A、B两点的坐标分别为(0, 0)和(1, 0)。

（2）山坡用连续光滑函数y = h(x)表示，其中h(m) = h(n) = 0, 0 < m < n < 1, 。

（3）绕山点和离山点的坐标为(xi, h(xi)), i = 1, 2。

那么，点A到点B的距离函数为

我们的目的是使这个距离函数值最小，即d(x1, x2)取得最小值，而其必要条件是 ，即

这两个方程非耦合，整理可得

或者

这表明，上山直线和离山直线要分别与山坡函数在绕山点和离山点处的切线重合。所以我们得到的最短路径为

如果进一步有h(x)的信息，还可以求出x1, x2的具体值。例如当h(x) =1-8(x-0.5)2时，可以求出 。

然而，这样的解法虽然简单，却有争议。因为我们讨论的路径并没有包括从点A到点B绕过障碍的所有路径。为此，我们可用变分法来讨论这个问题。

考虑函数的容许集合

我们要求的变分问题是寻找 ，使得

这里的D(·)就是前面情况Ⅰ所定义的距离函数，即 。

我们要说明这个变分问题的解 就是我们前面得到的解f (x)。

事实上，由自由边界问题的相关理论，求上面的变分问题的解等价于寻找 f (x)∈C1[0, 1]，使得

其实，上述两个问题的解是唯一的。所以刚才我们通过简单的方法得到的解就是问题的解。

情形Ⅲ 渡海模型

如果在去罗马的路上要穿过海峡，而最近的路径可以理解成用时最短的路径。假设在相同距离下，走海路所耗的时间是走陆路的3倍，而海流会改变航线，最短的航线并不在直线上，如右图所示，那么如何横渡海峡为最佳？

数学建模如下。

从点A出发，目的地是点B，直接走直线穿过海峡并不一定最优，因为走海路所耗时间是走同距离陆路所耗时间的3倍。我们要找到一个海峡两岸距离较短的地方渡海，但陆路走得太远也不经济，所以要找到最佳的渡海点和登陆点使得整个旅程最短。我们适当简化该问题，假设点A在海岸上，则渡海点即为点A。现在进行如下假设：

（1）起点A和终点B的坐标分别为(0, 0)和(2, 1)；

（2）河宽为1，水流对渡海的影响忽略不计；

（3）渡船按照曲线f (x)从起点(0, 0)行进渡海到达彼岸登陆点(1, f (1))。

我们要找的是用时最短的路径，考虑海上耗时是陆地同距离耗时的3倍，则可以将最短时间按比例转化为距离函数，所以我们要求的目标函数是

这里我们要在容许集合｛f (x)连续可微，f (0)=0｝中寻找使得上式取值最小的函数。

要使D的值最小，可以像情形Ⅱ一样使用变分法，我们可得f"(x) = 0，所以f (x) = ax，即登陆点为(1, a)，现在要找到使D的值最小的a，目标函数可以改写成

然后对D关于a求导，并令导数为0，得

可解得a≈0.21。也就是说，从点A出发，以斜率约为0.21的直线航向对岸，登岸后再按直线走向目标点B，是最优的路径。

情形Ⅳ 球面模型

去罗马只能沿着地球表面走，所以我们的路径还有限制条件：去罗马的路必须沿着球面。

现在把起点和终点放到三维空间中，假定地球是个圆球，半径为1，从起点A沿着一条地球表面的曲线f走到终点B。我们用球坐标表示，起点和终点分别为(0, 1, 0)和，曲线上的点的球坐标表示为

其中仰角f (t)是方位角t的函数，连续可微，,。

A、B两点间的路径长度为

这个问题通过传统的变分法解起来比较复杂，但我们通过观察，注意到D的最小值将在

处达到，或者说球面上曲线的最短路径应满足仰角的导数始终为0，它关于方位角不变，再加上端点条件，我们有

也就是说，最短路径是过A、B两点的大圆弧。

两面数学

数学从诞生起，就发展为两个不同的方向，一个是理论数学，一个是应用数学。数学工作者面临一个问题：理论，还是应用？这听起来有点像莎士比亚笔下人物哈姆雷特的那句经典独白：“To be or not to be, thatʹs a question.”（生存还是毁灭，这是个问题。）

理论数学以它智慧的“灵魂”、优雅的“身姿”、严谨的思辨、简洁的语言，引无数智者“竞折腰”。它有哲学般的高贵，也深得美学的厚爱。它是“科学的皇后”（徐迟语）。

应用数学就没有那么“神气”了，因为它被打上了一个深深的烙印—工具。所以，应用数学就有点像仆人，只能依附别的学科（主人）而生存。既然是仆人，首先要找到一个好主人。如果它幸运地找到了一个好主人，为了扮演好自己的角色，它势必要按主人的喜好行事，不断提高自己的技能以满足主人的要求，而且自己工作的好坏还要由主人来评价。当然，这个仆人如果表现优异，改善了主人的生活，给主人光明的前景，那它甚至有望将自己的名字写进主人的“家谱”。

从历史上看，数学家在其他领域应用数学，从而对其他领域产生革命性影响的事例屡见不鲜。比如物理学，事实上，许多物理学家同时也是数学家。大家熟知的牛顿有三大运动定律，麦克斯韦（1831—1879）持电磁学方程组，爱因斯坦（1879—1955）亮相对论，他们不仅对物理学做出突出贡献，对数学的贡献也是巨大的。随着数学的发展，数学对其所问及的领域的影响常常是革命性的，例如，天才数学家纳什（1928—2015）提出的纳什均衡给经济学带来了深刻的变化和巨大的进展，直至今日，纳什均衡都是非合作博弈论和经济分析所应用的博弈论的核心，在经济学领域及与其相关的市场、金融甚至政治学中扮演着重要角色。许多诺贝尔经济学奖都由数学家获得，1997年诺贝尔经济学奖得主舒尔斯（1941—）和默顿（1944—）的布莱克-舒尔斯默顿期权定价模型使随机过程、偏微分方程等高深的数学理论走进了金融领域，并拓展了一片崭新而深刻的数量金融天地，并引领了许多一流数学家和一大批青年数学才俊进入这片天地。在理论数学领域如解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论做出突出贡献的数学巨匠华罗庚（1910—1985）也深深涉足应用数学，他所研究的优选法和统筹法（简称“双法”），其实际意义巨大。不仅如此，华先生晚年一直身体力行地向基层推广“双法”，为应用数学工作者做出了表率，也为我国理论数学的应用开了先河。

大多数应用数学工作者的主要工作是“具例到具例”（case to case）且“面向对象”（object-oriented），即具体问题具体对待，以对象为目标，以解决问题为目的。为了解决问题，蓄发内功，见招拆招，八仙过海，各显神通。在应用数学中，人们不在乎你用的方法漂不漂亮，而是在乎结果漂不漂亮，方法则是越简单、越易懂、越容易推广越好。但毋庸置疑，应用数学的重要性被越来越多学科的工作者所认可。

数学擅长于处理各种复杂变量之间的依赖关系，精细刻画变量的变化情况，准确评估事件发生的可能性。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。事实上，应用数学就是这样为其他学科服务的。

第一步，数学建模。将研究对象的规律抽象出来，用数学的语言来描述。这是一件很难的事情，要求建模者对建模对象有透彻的了解，这包括了解问题的本质、变化规律和各种因素的依赖关系；建模者也要有抽象问题、“修剪枝杈”、抓住主要矛盾并进行总结的能力，还要有稳健掌控、灵活应用数学方法的功底。有时规律是知道的，但需要对具体问题进行参数设定。很多时候建模是数学的反问题。

第二步，数学推演。将建立好的数学模型，利用数学理论和计算机技术进行推演、论证和计算，得到数学结果。这部分是应用数学工作者的拿手好戏，在今天这个计算机时代，许多模型都可以通过仿真或模拟得到结果。当然有时模型所提出的数学问题的难度可能超过了现有的研究水平，或许可以因此激发一个新的数学领域。

第三步，验证数学结果。这个验证有两方面的意义：一是模型建立得对不对，有没有捡了芝麻丢了西瓜，或者干脆连芝麻也没捡到；二是看看数学的推演和计算对不对。检验的方法有常识检验、压力测试和历史数据验证等。

第四步，分析数学结果。成功的数学结果往往超出人们的预期，得到许多人们“猜不到”的结论。对数学结果分析、讨论，用研究对象本来的语言将数学结果重述，可以达到原课题最初的目的，甚至有所超越。

随着科学的发展，应用数学的主人越来越多，对应用数学的要求也越来越高。从原来的自然科学学科，到现在的很多交叉学科、社会学学科都能看到数学的踪影。近年来，计算机的发展带来技术上的飞跃，计算能力不断提升。而各学科与计算机之间的桥梁就是数学模型。毕竟在计算机技术飞速发展的今天，脱离计算机必定落伍，在低水平上徘徊，也就更谈不上赶超世界先进水平了。然而，应用数学虽然重要，但仆人是不好当的。目前，应用数学扮演不好自己仆人角色的情形可能有以下几种。

（1）无法沟通。不是仆人听不懂主人的话，就是主人听不懂仆人的话，双方没有共同语言，鸡同鸭讲，无法交流。这是因为不同的学科有不同的体系、不同的文化，正所谓隔行如隔山。有些主人数学修养不够，提不出数学问题，也不知道如何应用数学去解决问题，或者只为了让自己的论文看起来高深些而刻意加上几个数学符号。与此同时，仆人对主人的工作更是一头雾水，不知所云，也没有耐心倾听主人的问题。

（2）不听吩咐。这就是仆人做着主人想做的事，却只按自己的方式行事，与主人的要求渐行渐远，最后主人也不懂仆人在干什么。有的应用数学工作者解决了主人的问题，在主人的成绩单上却排不上号；同时，应用数学工作者还可能被理论数学工作者误解、瞧不起，被认为研究的内容太“小儿科”。一些号称从事应用数学工作的人就是按理论数学的模式作为，他们做研究只为发表论文。于是，他们到别人发表的论文中找题目，在自己文章的引言中提一下背景，就万事大吉，然后任凭自己的兴趣对原问题加加减减，制造出更困难的问题，起劲儿地动用各种高深的数学理论，得到貌似漂亮的结果。至于这个结果有什么用、怎么用，如何回答背景学科问题等都不在他们的关心范围内，与实际严重脱节。

（3）不能达标。主人交代的任务太难，超过仆人的能力，目前无法完成。虽然理论数学的研究走在应用数学的前面，但并不是所有实际中提出的数学问题都能在理论中得到解答。有些时候，理论研究甚至落后于这些实际问题。例如，在金融衍生品中，很多组合产品动辄包含上百种性质不同的风险资产，要计算其相关风险，待解的问题维数达到数百，除了模拟，目前的计算能力远不能解决这类问题。再如，有时模型的高度非线性也超出了理论所能解决的范畴。当然，这些给理论数学工作者提出了很好的课题，但他们不能立即解决提出问题的学科迫切要解决的问题。

那么这些状况如何改进，应用数学和主人学科如何牵手合作，如何冲破隔阂、互相沟通、取长补短、携手共赢呢？

对应用数学工作者来说，首先，要精通数学，深刻理解数学各分支的特点、覆盖面和进展。

其次，要充分理解服务对象，也就是说，要将数学应用到某个学科，你至少得是该学科的“半个专家”。你要学习该学科的基本原理，理解该学科的困难问题，弄懂该学科的“行话”，明白该学科处理问题的方式，清楚该学科想要的结果，更重要的是，你要有和该学科的专家研讨问题的能力；结合自己的修养，把问题在该学科的容许范围内简化、抽象，再归入某类数学分支，然后应用自己在这个分支的长项，解决问题；得到结果后，再反馈给该学科工作者，听取该学科专家对这个结果的评判；还要倾心于教育，提高该学科的数学水平，推广你的成果。

再者，要有熟练应用计算机的能力，并能随时跟踪最新的计算技术。当然也要有很高的外语水平，时刻关心国际上类似问题的解决方案和进展。

可以看出，应用数学工作者不好当，这种要求十八般武艺样样精通的活当然不好干。

那么想用数学的主人学科工作者呢，也不应该坐着不动。要想得到应用数学的帮助，也要付出一定的努力。首先要了解数学，要明白哪些事是数学可以做，而且可以做好的；要有能力让应用数学工作者明白你的问题所在，并向他们提供已有的所有资料，包括原理、经验公式、实验数据等；参与建模过程，因为你对建模的理念、条件的简化最有发言权；跟踪应用数学工作者的工作过程，随时对他们的工作方向提出自己的意见，还要让他们清楚地知道你的预期；最后对应用数学工作者做出的结果进行专业评价，并由此调整自己的工作。如果由此取得进展或成功，应肯定应用数学工作者的工作并与其分享成果。具体说来，可以采取以下举措。

●从教育入手，打破专业限制。学习应用数学专业的学生，至少应该辅修一门其他学科的专业课；其他学科的学生，则要加强对数学的学习。鼓励大学生参加数学建模的学习和竞赛。

●建立交流机制。各学科应该为想要了解自己专业的应用数学工作者创造融洽的合作氛围，提供机会，花时间交流，提出问题，讨论问题。

●实行合理的评价制度。应用数学工作者虽然可以发表一些论文，但很多结果尽管很有实际意义，却难以登上顶级期刊，而项目和基金有时又难以落到他们的头上。这迫使一部分应用数学工作者为了评职称等因素改弦易辙。所以只有找到合理的评价制度，才能鼓励更多的年轻人投身应用数学事业，适应技术的发展，使整体学科水平得到提高。

悖论困局

悖论是指逻辑学和数学中的矛盾命题，即在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上似乎又能自圆其说的命题或理论体系，有很古老的历史。在数学上，悖论一直起着特殊的作用。这里列出比较有名的几种悖论。

逻辑悖论  公元前6世纪，克里特哲学家、诗人埃庇米尼得斯认为：“所有克里特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这个悖论够古老的了。因为说话的埃庇米尼得斯是克里特诗人，假设他说的话为真话，那么不是所有克里特人都说谎，则与他的断言相悖；假设他说的话为假话，那么“所有克里特人都说谎”就是一个谎言，那他说的话就应该是真话，又与假设相悖。

信仰悖论  罗马教廷曾出了一本书，用当时最流行的数学推论推导出“上帝是万能的”。一位智者问：“上帝能创造出一块他搬不动的石头吗？”

极限悖论  古希腊哲学家芝诺就提出过有名的芝诺悖论，如在“分棰不竭”一节中提到的古希腊英雄阿基里斯跑不过乌龟、飞矢不动等。

范畴悖论  中国古代逻辑学家公孙龙（约前320—前250）在《公孙龙子·白马论》中提出了“白马非马”的论点，按他的说法，如果白马有一个具体定义，那它就不再是马了，可它还叫作马，从而产生了矛盾。

时空悖论  爱因斯坦相对论问世后，有人提出了这个悖论——如果一个人能返回到过去，在自己的童年时期杀死自己的外祖母，那么这个跨时间旅行者本人还会不会存在呢？

这些悖论都形成一个个“怪圈”，自相矛盾。人们过去一直认为这些悖论是利用了某些不易察觉的小漏洞，或者偷梁换柱，或者暗设陷阱，都应该可以解决。特别是数学，其“大厦”应该有一个稳定的基础（公理），康托尔（1845—1918）的集合论给出了这样的基础，所有的数学家都可以在这个基础上添砖加瓦，让其更完美。然而“罗素悖论”的横空出世引发了第三次数学危机（前两次危机分别是无理数危机和微积分危机，后文会提到），并使数学这座大厦摇摇欲坠。这个悖论是英国哲学家、数学家、逻辑学家罗素（1872—1970）在20世纪初提出的，有一个便于理解的例子是“理发师悖论”。简单地说，就是“只给本城那些不给自己刮脸的人刮脸的理发师应不应该给自己刮脸”。

对于数学这座大厦，罗素不只是一个“破坏者”，也是一个“修补者”。他和他的数学老师怀特海（1861—1947）共同完成《数学原理》一书，努力维持着数学这座大厦的稳定。希尔伯特（1862—1943）更是要求数学家们按照罗素他们的定义系统既一致又完备地修建数学大厦，这就是所谓的希尔伯特纲领。希尔伯特纲领是20世纪数学基础和数学哲学中一项影响深远的研究计划，这是一个美好而宏大的计划，看起来非常“高大上”，简单来说，这个计划希望使用有穷主义方法来证明无穷的理想数学的一致性。希尔伯特希冀此计划能一劳永逸地解决所有的数学基础问题，然而这个美好的梦想被哥德尔毫不留情地打破了。哥德尔（1906—1978）是美籍奥地利数学家、逻辑学家和哲学家，其最杰出的贡献之一是用哥德尔不完全性定理和连续统假设的相对协调性证明彻底摧毁了希尔伯特纲领，他指出，没有一个公理系统可以导出所有的真实命题，除非这个系统是不一致的，即存在着相互矛盾的悖论！可见要摆脱“怪圈”这个幽灵，努力可能是徒劳的。

我们可以看到，数学悖论常常带来数学理论的飞跃性进展。看起来好像是循环，但每次都更上一层楼。如古希腊时期毕达哥拉斯（前580至前570之间—约前500）曾提出“万物皆数”，最终落入无理数的陷阱；而今天这个大数据时代，好像又印证了“万物皆数”的断言，但此“数”非彼“数”，数的含义早就超出了毕达哥拉斯的范围，而进入一个更高的层次。数学就是这样呈螺旋式发展的。