书名：少儿几何启蒙 图形变换
ISBN：978-7-115-62335-5
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著 刘治平
责任编辑 刘 朋
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几何是一门有趣的学问，通过点、线、面的组合，可以构造出千变万化的图形，为我们认识世界打开了一扇新的窗户。
“少儿几何启蒙”系列图书是专为小读者编写的一套通俗几何读物。在这套书中，作者在长期研究和教学实践的基础上精心组织内容，通过丰富的例题和习题讲解，深入浅出地介绍基本的几何定义、定理以及解决相关几何问题的方法和技巧。更为重要的一点是，这套书从日常生活的直观认识出发，在形象思维的基础上抽象出普遍的规律性，既符合小读者的思维习惯，又能自然而然地帮助他们提高思维能力。
本书结合大量趣题介绍与图形变换有关的知识，包括图形的等份划分、整体与部分、图形组拼以及等积变换等内容。希望广大小读者在阅读本书的过程中体会到学习几何的乐趣。
[1] 本文作者张景中，计算机科学家、数学家和数学教育家，中国科学院院士，曾任第四届中国科普作家协会理事长、第一届中国高等教育学会教育数学专业委员会理事长。
这套小书的作者刘治平教授在回顾退休前后多年的经历时这样说：“我喜欢小孩，更喜欢教小孩。回想起来，自大学教书退休前至今，教小孩学数学有30多个年头了。其间，我倾注心血，边学边教。在做这件事上确实有一点点成绩，自己也获得了莫大的愉悦。”
说“一点点成绩”，当然是刘教授自谦。在此期间，他教过北京海淀区的中关村第一小学、中关村第二小学、北京科技大学附属小学、北京理工大学附属小学、清华大学附属小学、北京大学附属小学等十几所小学的课外数学班；受著名教育家、人民大学附属中学校长刘彭芝之邀，在北京市华罗庚学校教过超常儿童奥数班，参与编写了被广泛采用的教材；参加过第十一届世界天才儿童教育大会，所撰写的文章发表于英国伦敦发行的专刊；还曾应世界天才儿童协会时任主席、台湾师范大学教授吴武典（1940—）之邀，赴台参加1999年资优教育研究学术研讨会并发表文章。他创办了北京幼幼培训学校和北京吉福超常启蒙教育研究所，发表了教研文章30多篇，受到了孩子、家长、学校老师和有关领导的欢迎和赞赏，被评为海淀区教育系统优秀教师。他曾荣获教学征文一等奖、中国科教创新贡献奖及中国当代思想成就奖等。这就是一位退休老人的“一点点成绩”！
我们自然要问，这位老教授是如何教孩子们学数学的呢？中小学数学里几何最难，他又是如何教孩子们学几何的呢？
这套小书总称“少儿几何启蒙”，顺次分为“认识图形”“学会推理”“立体图形”和“图形变换”四个分册。作者在书中开门见山、直来直去、生动详尽地展示了自己教小孩的具体过程和核心思路，并结合近年来中小学数学教学中有效的新思路做了若干补充。
讲几何离不开几何图形，几何图形的基本元素无非是点、直线、线段和圆等。刘教授用生动直白的话语向孩子们介绍这些基本图形，直来直去地指着黑板说：“这叫什么？这叫‘点’。用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。”
在这里，他不说“这是‘点’”，而说“这叫‘点’”，其背后有深刻的道理。自19世纪以来，数学家开始明白，数学研究的对象（如数、点等）并非客观的实体，它们“实际上”是什么，不可能也不需要在数学上讨论和解决。数学关心的只是这些研究对象组成的结构和关系。柯朗等在名著《什么是数学》中说：“基本的数学概念必须抽象化，这一见解是近代公理化发展中最重要和最丰富的成果之一。”这里，刘教授采用“这叫‘点’”的用语，体现了数学概念抽象化的深刻思想，在孩子们的心里播下数学思维的种子。在讲解相关内容时，刘教授为此加了一节“写给家长和老师的话”，有助于家长和老师在孩子们成长的过程中帮助其深化这方面的认识。
在语言文字生动简明的基础上，刘教授在书中对几何逻辑推理的起点也进行了简化梳理，并且提出了“信息几何”这一新概念，不仅关心几何图形中几何性质的逻辑关系，也关心图形中的组合计量信息。孩子们可以通过“点连线”“线交点”“种树成行”“摆小棍”“破密码”“数图形个数”“连线游戏”等一系列有趣的活动，在玩中学，在学中玩。这些活动贯穿着观察与猜想，通过归纳找规律，开放思维，放飞想象。例如，引导孩子们观察、计算11条直线最多能交出多少个点，由少到多，让孩子们发现其中的规律。又如，在观赏行、列和均为34的四阶幻方后，启发孩子们找寻其中还有哪些和为34的数组，它们组成什么样的四边形。结果，大家在课堂上就找出了几十个这样的“数字四边形”，让孩子们产生“震撼感”！这样把几何图形和组合计数联系起来，不仅引出了著名的欧拉网络公式“交点数+区域数-连线数=1”，还介绍了“二人点连线”“画图形画”等游戏性质的活动，其中一些内容还被英国的《国际天才教育》选为专刊的封面图（Gifted Education International，Volume 12，No 2，1997）。
在认识了常见的几何图形的基础上，自然要引导孩子们学点推理。书中不仅介绍了实际的教学过程和宝贵的经验，还引进了有力的初等几何的新方法，特别是以三共定理为代表的面积法。
传统的几何推理方法以全等三角形和相似三角形为基础。如果图中没有现成的全等三角形或相似三角形，就要作辅助线，这就增加了解题的难度。此外，三角形全等要满足三个条件，三角形相似要满足两个条件，这样从三个或两个条件推出一个结论，给初学者带来了困难。
以三角形面积公式为基础的三共定理学起来容易（都是三角形面积公式的简单推论），用起来方便（一个条件一个结论，还不用作辅助线），解题效果显著，而且能够串通几何、代数和三角的知识，沟通孩子们学过的知识和将来要学的知识。许多重要的几何事实用三共定理来证明，立刻就变简单了。回忆自己在初中学三角形中线的性质，那时要作辅助线，用上平行四边形对角线的性质等知识；现在有了共边定理，将两个面积一比，马上就看出结果来了。这种方法具有一般性，把中点换成三分点或四分点，也能够算出相应的结果。书中除了这个例子，还举出了塞瓦定理等著名结论的简单推导，很有说服力。
在三共定理中，共高定理和共角定理早就有了，但共边定理在传统的教材和教参中未见提到。近年出版的一本高校用的初等几何教材提到过一个有趣的例子：大数学家华罗庚（1910—1985）用初中数学知识给出了射影几何的一条基本定理的证明，用了一页篇幅，但作者后来发现，用基于小学知识的共边定理，仅一行就推导出来了。实际上，共边定理的本质是确定两条直线交点的位置，代数意义就是求解二元一次方程组。这样一来，平面射影几何里所有涉及直线相交的定理用共边定理就都能证明。
另一方面，共角定理的发展直观而自然地引出了三角函数中的正弦，而且不用坐标就给出了涵盖钝角的正弦定义，实现了荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（1905—1990）提出的“提前两年学正弦”的设想。我国首创的这种“重建三角”的想法在初中阶段进入教学实验已有十几年，显示出了提升学生学习兴趣和解题能力的明显效果。这套小书向小学生讲正弦，也是一个大胆尝试。我国著名数学教育家张奠宙（1933—2018）在他的著作中写道：“如果能从小学就开始熟悉sin A，当然是一次重大的思想解放……如果三角学真的有一天会下放到小学的话，这大约是一个历史起点。”
综观这套小书，由浅入深，从观察到计算再到推理，从平面画图到制作立体模型，从生动有趣的游戏到大师的著名贡献（如七桥问题和欧拉公式），刘教授总是用浅显通俗的语言引入问题，启发孩子们去想象，诱导孩子们去思考和发现，让孩子们在快乐、惊奇甚至震撼中进入数学的新天地。
我没有教过小学，更没有对小学数学教学做过深入的考察研究。看了这套小书，我感到这样教孩子们学数学必然有好的效果，能够让孩子们爱上数学。当然，孩子们的具体情形各不相同，书中的具体内容也有需要进一步探讨、改进之处。但我希望并相信，千千万万的孩子会在老师或家长的关怀下从书中获益，从书中体会到数学是多么好玩，多么值得思考和探索。
2023年12月25日
数学是一门伟大的学问，也是人类智慧的最高体现，世界上任何现象的背后都隐藏着数学。我国有着悠久的数学传统，人们一直非常重视数学教育。在少儿的早期教育中，社会各界尤其关注数学启蒙教育。
目前，少儿接受数学教育的渠道很多，教育资源也很丰富。如果简单地把数学分为数与形两大部分，那么少儿在学习与算术和代数相关的内容的同时，很有必要接触和了解与图形相关的几何知识。只有数形结合，才能充分体会到数学的魅力，培养全面的数学思维能力。荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔说：“从小时候起，我们就很熟悉物体的详细图形。这些图形是通过对实物进行放大或缩小而得到的，在数学上称为相似。不容置疑，从认知发展来讲，这种相似性是先于数的概念的。”他还说：“我确信，在个体发展中，几何甚至先于算术。” 我国著名数学家和数学教育家张景中院士首先提出并大力倡导“教育数学”思想，为教育改造数学，对数学原创成果和教材内容进行再创造，以便适合教与学。他主张将计算和图形串通起来，这样数学会变得更有趣和更容易。
然而，在少儿数学启蒙方面，人们所关注的多是算术方面的内容，而对几何的关注较少。原因有多种，其中不少人认为几何很“难”，少儿除了认识简单的几何图形外很难掌握那些深奥的几何知识。另外，目前适合少儿阅读的通俗几何读物很少。因此，出版一套符合少儿认知规律、富有启发意义的几何科普图书是我们的一大心愿。
本书作者刘治平教授自20世纪90年代开始从事少儿数学启蒙教育工作，创办数学启蒙教育学校，曾任北京市华罗庚学校特聘教授，先后受邀到北京市海淀区的十几所小学授课开展教学活动，多次被评为优秀教师，取得了可喜的成果，受到了社会各界的肯定和普遍赞誉。在教学实践中，刘治平教授遵从少儿的认知心理规律，通过生动有趣的课堂面授，促进少儿数学思维的形成和发展。他深刻地认识到，只有跑到“发展”前面的教学才是“好的教学”，而少儿对于几何的接受能力远超一般人的刻板印象，大多数少儿通过系统的学习就能快速掌握一些较为深刻的几何概念和有效的学习方法。这对于他们以后的数学学习大有裨益，尤其是能够改变他们对几何学习的认识。
这套图书是在刘治平教授多年来所使用的讲义的基础上编写而成的，其中既有详细的例题讲解，也有丰富的练习题目，体现了他一贯秉持的教育理念。这套图书一共包括四册，分别是《少儿几何启蒙 ：认识图形》《少儿几何启蒙 ：学会推理》《少儿几何启蒙 ：立体图形》《少儿几何启蒙 ：图形变换》。我建议小读者根据书中的内容安排，循序渐进地学习几何知识。当然，你也可以根据自己的兴趣，按照自己的方式，选取有关内容进行学习。在遇到困难或不懂的问题时，请不要放弃和回避，而是要坚持独立思考，并及时向家长、老师或高年级的同学请教。相信你的学习兴趣会越来越大。
作为少儿学习几何的启蒙读物，这套书对有的知识点只做了初步介绍。如果你想对有关问题进行更系统、深入的学习，可以阅读《平面几何新路》（张景中著）、《一线串通的初等数学》（张景中著）、《少年数学实验（第2版）》（张景中、王鹏远著）以及《仁者无敌面积法：巧思妙解学几何》（彭翕成、张景中著）等著作。
最后，感谢尧刚先生以及成都景中教育软件有限公司在本套图书的出版过程中给予的支持和帮助。
由于时间仓促，本书在编排过程中难免存在疏漏之处，欢迎广大读者朋友批评指正。
第1节 折叠描痕法
第2节 先算后分
第3节 三角形剖分
第4节 练习与提高
第5节 写给家长和教师的话
第1节 折叠描痕法把一个图形划分为大小相等、形状相同的几部分叫作图形的等份划分。那么，如何将一个图形划分成相同的几部分呢？这里介绍一种简单易行的方法——折叠描痕法。
【例1】 把正方形划分成相同的4部分。
解：具体划分方法如下图所示。
联想：还有别的折叠方法吗？
【例2】 把大等边三角形划分成相同的4部分，使每部分的形状都与原来的图形一样。
解：具体划分方法如下图所示。
第一步：左右对折，然后展开，将折痕描成虚线，虚线与底边的交点就是底边的中点。
第二步：将上角向下折叠，使该角的顶点与底边的中点重合。
第三步：按照与第二步相同的方法折叠左角和右角。
第四步：将这三个角展开，描画折痕。
联想：对于下图所示的一般三角形，能将其划分为相同的4部分吗？试试看！
【例3】 用折叠描痕法等分长方形纸条。
（1）对折1次，展开描痕，数一数纸条被等分成了几份。
（2）对折2次，展开描痕，数一数纸条被等分成了几份。
（3）对折3次，展开描痕，数一数纸条被等分成了几份。
（4）对折4次，展开描痕，数一数纸条被等分成了几份。
（5）对折5次，展开描痕，数一数纸条被等分成了几份。
解：等分的份数如下图所示。
【例4】 将一张正方形纸片上下对折两次，然后左右对折两次，完成后展开描痕，看一看它被分成了多少个小正方形。
解：题意所述的折叠方法如下图所示。
这张正方形纸片最终被分成了16个小正方形，如下图所示。
【例5】 如下图所示，一个长方形由28个小正方形组成，请把它划分成形状相同、大小相等的4块，你能有多少种划分方法？
解：有多种划分方法，部分如下图所示。
提示：在本章中，如果一个图形通过平移、旋转或翻转后与另一个图形重合，则我们认为它们的形状相同，大小相等。
【例6】 用两条直线将正方形划分成形状相同、大小相等的4块，有多少种划分方法？
解：如下图所示，两条对角线一同旋转时，即可将正方形划分为4等份，因此有无数种划分方法。
【例7】 请想办法将正方形划分为形状相同、大小相等的20个直角三角形。
解：本题的难点在于将正方形划分的份数太多，因此我们很难想象通过一步完成。这里分为两步进行，先把大正方形划分为5个同样的长方形，然后将每个长方形划分为4个同样的直角三角形，如右图所示。
联想：一种更有趣的划分方式如下图所示，妙不可言，发人深思！
【例8】 请把下图所示的由15个小正方形组成的大长方形划分为3份，每一份剪开后都能折叠成一个无盖的立方体盒子。
解：首先应该弄清楚无盖立方体盒子的展开图是什么样子，即有多少种不同形式的“五连格”，然后才能从中选择符合题意要求的划分方法。下面给出了无盖立方体盒子的5种展开图。
经试验发现第一种和第四种展开图不能采用，因此本题唯一的划分方式如下图所示，所得的3种无盖立方体盒子的展开图为上述的第二种、第三种和第五种展开图。
【例9】 用剪刀沿下图中小方格的边界把4×4方格纸剪成形状和大小都相同的两部分，共有几种不同的剪法？
解：共有6种不同的剪法，如下图所示。注意，剪切线必须经过4×4方格纸的中心点才能使两部分的形状和大小完全相同，同时应注意对称性。
【例10】 在6×6方格纸的4个角各剪掉一个小方格，如右图所示。从一边的中点A开始，沿小方格的边画线，最终将方格纸分成形状相同、方格数相等的两部分，有几种不同的分法？（注意，如果一组图形通过平移、旋转或翻转可以与另一组图形重叠，则认为这两种方法是同一种分法。）
解：共有14种分法，如下图所示。
第2节 先算后分【例1】 在下图中画一条直线，把图形分成形状相同、大小相等的两部分。
解：上图折合18个完整的小方格，若将其分成形状相同、大小相等的两部分，每一部分所包含的方格数应为9个。另外，此图的一条边为斜线。经尝试可做如下划分。
【例2】 下图由5个同样的正方形组成，请把它分成形状相同、大小相等的4块。
解：要求将这个图形分成形状相同、大小相等的4块，不难算出每块应当包含有一个正方形，另外还应当再加上一个正方形的四分之一。经尝试可知，划分方法如下图所示。
【例3】 请把下面的两个图形A和B各分成形状相同、大小相等的两部分，试试看。
解：看图形的特征，发现图A有一个45°角，若把这个45°角划归其中一部分所有，则形状相同的另一部分也应该含有这样的角。
图B中有一个45°角和一个90°角，若把这两个角划归其中一部分所有，则形状相同的另一部分也应含有这样的两个角。具体划分方法如下图所示。
注意：图A的划分含有“部分图形平移”的思路，图B的划分含有“部分图形镜像＋错位咬合”的思路。
【例4】 请将下列各图都分成大小相等、形状相同的两部分。
解：第一步要进行计算，第二步再试着划分。具体划分方法如下图所示。
【例5】 请将下图所示的大正方形分成4份，要求每份的大小、形状都相同，而且每份中各有一个○和一个△。你能做到吗？
解：由简单计算可知6×6÷4＝9，每份应包含9个小方格。由题目要求可知，必须在相邻的两个○和两个△之间画一条短线段，表示将它们分开（当然○和△之间也应画线分开），如下图所示。
又因需分成4份，通过试分得到1份，再将其旋转90°、180°和270°，可得到其他3份，如下图所示。
【例6】 请将下图所示的大正方形分成4份，要求每份的大小、形状都相同，而且每份中各有一个○和一个△。你能做到吗？
解：解题思路与例5相同，有两种不同的分法，如下图所示。
【例7】 把下图分为8等分。
解：上图中共有32个小方格，我们要将其分为8等份，每份应包含4个小方格。不难看出上图中有L形特征，所以每份中也应有L形。包含L形特征的图形只有
和
两种。经尝试可得如下划分方法。
【例8】 如下图所示，有6张相连的电影票，如果要将其撕成3张相连、2张相连和1张单独的3部分，那么共有几种不同的撕法？
解：有如下16种不同的撕法。
第3节 三角形剖分【例1】 用对角线把正六边形分成互不重叠的4个三角形，要求这些三角形的顶点是正六边形的顶点，共有多少种不同的分法？（注意，如果一组图形通过旋转或翻转可以与另一组图形重叠，则认为这两种分法是同一种分法。）
解：共有3种分法，如下图所示。
【例2】 用对角线将正七边形分成互不重叠的5个三角形，要求这些三角形的顶点是正七边形的顶点，共有多少种不同的分法？（注意，如果一组图形通过旋转或翻转可以与另一组图形重叠，则认为这两种分法是同一种分法。）
解：共有4种分法，见下图。
【例3】 用对角线将一般的四边形、五边形、六边形划分为不重叠的三角形，要求三角形的顶点是这些多边形的顶点，各有多少种不同的划分方法？
解：具体划分方法如下。
一般的四边形：2种，如下图所示。
一般的五边形：5种，如下图所示。
一般的六边形：14种，如下图所示。
【例4】 用对角线把正八边形划分成三角形，要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点，那么共有多少种不同的分法? （注意，如果一组图形通过旋转或翻转可以与另一组图形重叠，则认为这两种分法是同一种分法。）
解：共有12种分法。
（1）有一个大等腰三角形：共6种，如下图所示。
（2）没有大等腰三角形：共6种，如下图所示。
知识拓展：1751年，欧拉（1707—1783）向德国数学家哥德巴赫（1690—1764）提出了一个问题。他问，若用对角线对一个平面凸n边形进行三角形剖分，总共有多少种不同的剖分方法？
设凸n边形有En种剖分方法，欧拉计算出：E3=1， E4=2，E5=5， E6=14， E7=42， E8=132， E9=429。他把这些结果告诉了他的同事、朋友、数学家谢格奈（匈拉利人）。谢格奈在1758年得到了一个递归关系式：
En=E2En-1+E3En-2+…+En-1E2
约定E2=1，利用他的公式就可以用E2、E3……En-1计算En。例如，利用已知的E2=1，E3=1，E4=2，E5=5，可得：
E6=E2E5+E3E4+E4E3+E5E2
=1×5+1×2+2×1+5×1=14
E7=E2E6+E3E5+E4E4+E5E3+E6E2
=1×14+1×5+2×2+5×1+14×1=42
但谢格奈的公式对于计算很大的n来说很不方便，欧拉曾得出一个公式：
但是，证明该公式是一项很困难的工作。
1941年，当代数学家乌尔班根据
，
，
，
，
，归纳出了更简明的递归关系式：
他用数学归纳法进行了证明，从而证明了欧拉的那个公式。
可以用该公式进行如下计算：
第4节 练习与提高（1）用折叠描痕法等分图形。
① 把一张正方形纸分成4等份，你能想出3种不同的折叠方法吗？
② 把一张长方形纸分成8等份，你能想出多少种不同的折叠方法？
③ 把一张圆形纸分成2等份、4等份、8等份和16等份。
④ 把一张平行四边形纸分成2等份、4等份。
（2）下图由3个大小相同的正方形组成，要把它分成大小和形状都一样的4块，该怎样分？
（3）你能把下面的图形分成两块，使它们的大小和形状都一样吗？试试看。
（4）把一块地（见下图）分给5个种植小组，每组分得的土地的形状和大小要相同，怎样分？
（5）3个同样大小的等边三角形组成一个等腰梯形，如下图所示。现在要将这个梯形分成大小相等、形状相同的4块，怎样分？若把它分为大小相等、形状相同的9块，怎样分？
（6）请把下图划分成大小相等、形状相同的两部分（不允许用直线从图形的中央竖直分开）。
（7）如下图所示，正方形院子中有12棵树。现在要把这个院子分成大小相等、形状相同的4个区域，每个区域里有3棵树，如何分？
（8）请将下图所示的正六边形划分为完全相同的6部分，你能想出多少种不同的分法？
（9）请将下图所示的正方形（阴影部分已被挖去）分成形状相同、大小相等的4块，要求每一块中都带有一个○和一个△。
（10）请将下图分成形状相同、大小相等的3块。（提示：先数一数该图中共有多少个小正方形，再想一想每一小块该有几个小正方形。）
（11）请将下图所示的正方形分成形状相同、大小相等的4块，使每一块都带有一个○。
（12）请将下图所示的正方形分成形状相同、大小相等的4块，使每一块都带有一个○。
（13）请将下图所示的正方形分成形状相同、大小相等的4块，使每一块都带有一个○。
（14）将下列各图分成大小相等、形状相同的3块，使每一块都带有一个○。
（15）将下列各图分别分成大小相等、形状相同的两部分。
（16）将下列各图分别分成大小相等、形状相同的5部分。
（17）将下列各图分别分成大小相等、形状相同的4部分。
（18）某厂在生产一种产品时，需用6种形状的薄金属片，如下图所示。
工人师傅为了节约成本，他们从废弃的下脚料中选出了下图所示的6种形状的材料，每一种材料恰好适合剪切出一种所需的薄片，而且不浪费一点材料。请你找一找，哪种下脚料适合剪切出哪种薄片？怎样剪切？切成多少块？
（19）如下图所示，一个由36个小方格组成的正方形内摆放了4个黑子和4个白子。请你把它分割成形状和大小都相同的4块，使每一块都包含有一个黑子和一个白子。想一想，应怎样划分？
习题解答（1）下面是折叠后再展开描痕的结果。
（2）将由3个正方形组成的图形分成大小相等的4块时，必须从每个正方形中分出四分之一，然后将这4个四分之一小块凑成一块。再考虑到4块的形状相同，经尝试可做如下划分。
（3）原图中有两条曲线，所以将要分成的两块的分界线一定也是这样的曲线，它使一块向外凸，另一块向内凹，如下图所示。
（4）先计算一下，图中共有25个小正方形。题目要求把它分成大小相等的5块，每块就应含有5个小正方形。再考虑到每块的形状要相同，经尝试可按下图所示方法进行划分。
（5）把由3个等边三角形组成的图形分成4块时，需要从每个等边三角形中划出一小块，共划出3小块，使这3小块组成的图形和每个三角形剩下的部分的形状相同、大小相等。经尝试得到如下划分方法。
9等份的一种划分方法如下。
（6）
（7）
（8）
（9）该图包含24个小正方形，因此分成4块后每块应包含6个小正方形。将相邻的两个○和两个△用小线段分开，然后进一步划分。每小块应包含正方形的一个角，结果如下图所示。
（10）图中共有21个小正方形，每一块应包含7个小正方形，如下图所示。
（11）因为大正方形包含16个小正方形，所以每块应包含4个小正方形。将两个相邻的○用短实线分开，可得分界线的部分“线索”。再以大正方形的中心点为中心，将短实线旋转90°，可得另外两条短实线。由这些短实线即可将大正方形分成形状相同、大小相等的4块，如下图所示。
（12）本题与上一题有类似之处，故可知所分得的4块（每块包含4个小正方形）以大正方形的中心点为中心呈风车状排列。具体划分方法如下图所示。
（13）大正方形包含36个小正方形，因此分成4块后每块应包含9个小正方形。这4块的排列方式类似于风车，最终结果如下图所示。
（14）
（15）
（16）阴影表示被挖去的部分。
（17）
（18）
（19）因为要将大正方形分成大小相同的4块，又看到中间的4个黑子呈田字形分布，所以可以先用十字线将4个黑子分割开，如下图所示。
但这样一来，左上方的一块中便出现了两个白子，因此必须用一条短线段将二者分开。又因为4块的形状和大小都要相同，所以根据对称性，其他3块中都必须有相应的短线段，如下图所示。
接着需要将原来的十字形分割线去掉一部分。如果去掉4条线段靠中间的三分之一，则会使两个白子连在一起，因此只能去掉靠一侧的三分之一，如下图所示。
现在还需要把左上方的两个白子完全分开。为此，只要将短线段延长到正方形相应的边就可以了，如下图所示。
将断开的分割线连起来，即可得到所要的结果了，如下图所示。
第5节 写给家长和教师的话等份划分一个图形能够广泛地引起学生的兴趣，激发学生的发散性思维，提升思维的灵活性，促使学生提出独创性的见解。
【题目】 你能画一条直线，将右图所示的长方形分为形状相同、大小相等的两部分吗？
即使一、二年级的小学生仅凭直觉和对长方形的初步认识，也能想出一两种划分方法。
第一步：我叫几个学生把他们的划分方法画在黑板上展示出来（见下图），再让他们说一说。
第二步：进一步启发学生。我问：“还有同学想出不同的划分方法吗？”很快就有学生举手示意，我让他将自己的划分方法画在了黑板上（见下图）。
接着再让他讲讲自己是怎样想出来的。他说，因为看到前面介绍的划分方法中出现的是正方形、长方形和直角三角形，就联想到是否还能划分成别的图形，于是想到了梯形，试画后果然成功了！
我肯定了这个学生是好样的，表扬了他的思维活跃。
第三步：进一步引导学生把思维再向前推进一步。我说：“同学们，通观一下前面的几种不同画法，谁能发现其中的共同点吗？”一个学生立刻追问：“老师，什么叫通观呀？”事发突然，我未经严谨思考随口说道：“通观就是放在一块看的意思!”不一会儿就有一个学生举手示意，他似乎有了新发现。于是，我让他发言。
他说：“我把各个长方形中的分割线画在了一个长方形中，于是发现这些分割线交于一点。”我立刻在黑板上画出了相应的图形（见下图），并表扬他观察仔细，眼光敏锐，善于发现。
第四步：引导学生进一步提高认识，形成结论。我问：“同学们，这个点是个什么样的点呢？”刚才发言的那个学生说：“我看它像是长方形的中心点。”另一个学生说：“我看它就是长方形的两条对角线的交点。”我开始表态了，对大家说：“同学们，大家看这个图，可不可以说凡是通过两条对角线交点的直线就能把长方形划分成形状相同、大小相等的两部分？”“可以！”大家齐声回答。我接着说：“把一个长方形划分成形状相同、大小相等的两部分，有多少种不同的分法？”“无数种！”一个学生抢着回答。“为什么有无数种分法？”“因为过那个交点可以画出很多条直线。”“对，说得好！”
我提示说：“刚才我们得到了结论，过长方形的两条对角线的交点的直线能把长方形分成形状相同、大小相等的两部分。现在我们继续想，对于正方形、菱形、平行四边形是不是也有这样的结论呢？大家试试看吧。”
答案是肯定的，如下图所示。
进一步推广，即放宽条件（这是“推广”的本义），请画一条直线把下面的图形分成大小（面积）相等的两部分。（注意，这里不再要求两部分的形状相同。）
至此，绝大多数学生都能求解了！
著名的美国数学家与数学教育家G. 波利亚（1887—1985）说：“解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，你只能靠模仿和实践才能学会。”
在教学中，提倡培养学生的创造性思维，这是教学的高尚目标，但如何才能做到这一点？这大概是非常困难的事情，甚至有人认为在教学环境中这种目标是不能实现的。其实，我们可以看出来波利亚的上述讲话颇有此意味。不然，他为什么强调模仿和实践，要仿照人家的样子去做呢？
我又想起了著名的荷兰数学家与数学教育家弗赖登塔尔也说过类似的话。他说：“范例意味着‘例子’……我宁愿把它称为前面先导的例子。为什么要引入范例？数学是一种通用的、最能够灵活处理和掌握的工具，但通用不是指教学内容，或者至少不是所谓的概念获得方式。通用的东西可以通过范例来学习，而且最有效的范例是允许最容易或最广泛地迁移的。”他的意思是说，教学就是要通过例子让学生学会模仿，学会解类似的题。可能有人会说，这样的教学目标太低了。我说：“不！”因为我还记得两位大哲学家、数学家也说过类似的话。
法国的笛卡儿（1596—1650）说：“我所解决的每一个问题都将成为一个范例，可用于解决其他问题。”
英国的怀特海（1861—1947）说：“人类的智力能从实例中抽象出某一类型的东西。”
我在教学中的具体做法如下。
【题目】 把下面的图形划分成形状相同、大小相等的4部分。
师：这道题的难点在哪儿？
这是学生都能觉察出来的。
生：“我认为这个图是田字形就好办了，在中间画个十字就行了，但这道题中只有3个正方形，不好办！”
师：“是的，说得好！但如何解决这个难点呢？有人想到先这样划分了吗”
我在黑板上画出了下面的图形给学生看，也算是一种暗示吧。
教室里沉寂了好一会儿，然后有个学生想出了答案（见下图）。看到大家有所领悟后，我与学生们一起将解这道题的方法总结（抽象）为以下两点。
（1）将题图细分为一些小块，使其块数能平均分为4份（即块数能被4整除）。
（2）分出的各部分的形状要和原图相似（但这不是必要条件）。
【模仿和实践】 模仿下面的例子，请把各图划分成形状相同、大小相等的4部分。（对于高年级学生，最好事先不要画出细分线。）
这道题的答案如下。
著名数学家雅可比（1804—1851）说：“人们应当经常进行数学推广。”什么叫数学推广？P. J.戴维斯和R. 赫什在《数学经验》中说道：“我们假定古代的某个数学家阿尔法在某个虚构的时刻宣布：‘如果三角形ABC是一个等边三角形，那么∠A=∠B。’再假定此后的某个时刻数学家贝塔自语道：‘阿尔法说的完全正确，但是要得到这个结论无须要求三角形ABC是等边三角形，只要边AC等于BC就足够了。’于是，他宣布：‘等腰三角形的两个底角相等。’”
戴维斯和赫什接着说，第二个命题就是第一个命题的推广，第一个命题的假设蕴涵第二个命题的假设，但不可逆，而结论则是相同的。我们强烈地感到从第二种说法中受益更多，第二种说法是第一种说法的改进、强化或推广。
这是放宽限制条件后还能得同样结论的一种推广，我们应该引导学生学会这种推广思维模式。
波利亚说：“举例总是比说教好。让我们静下心研究几个例子吧！我总认为举例比泛谈更重要。” 我的教学是遵循着波利亚的指教的。
【例1】 请用两条直线将下图所示的正方形划分为完全相同的4块。
解：将两条对角线固定在一起绕正方形的中心点旋转，可以得到多种划分方法，见下图。
前文介绍过这道例题，这里再次进行介绍是为了引出更一般的情况。
【例2】 请用两条折线将正方形分为完全相同的4块。
解：划分方法如下图所示。
【例3】 请用两条曲线将正方形分为完全相同的4块。
解：划分方法如下图所示。
【例4】 请用两条线将正方形划分为完全相同的4块。
解：本题的答案包括以上3个例题中所有可能的划分方法。
提示：“推广”（发现不同点）与“抽象”（找出相同点）经常被同时使用，二者相异互补。
