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欧拉代数原本：上卷定量分析

978-7-115-67127-1

作者: 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）

译者: 林振华

编辑: 李宁

分类: 科普新知

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本书是一部跨越时代的数学经典，被誉为代数入门的“圣经”。作为 18 世纪最伟大的数学家之一，欧拉以其深邃的洞察力和通俗的笔触，将代数的基础知识与应用娓娓道来。本书从正负整数、分数、平方根到对数、比例、数列与方程，层层递进，既涵盖加减乘除的运算规则，又探讨了多角数、卡尔达诺公式等进阶概念，辅以大量实例，展现了数学思维的严谨性与实用性。尤其是三次方程与四次方程的根式解、无穷级数展开等内容，彰显了欧拉在数学分析领域的深厚造诣。全书以清晰的结构、直观的例子和循序渐进的讲解方式，打破了传统数学教材的晦涩感，既适合初学者夯实基础，也为进阶学习者提供了深刻的理论启发。无论是数学爱好者、学生还是教育工作者，都可以从中领略代数之美，感受欧拉作为“数学巨匠”的智慧光芒。

图书摘要

版权信息

书名：欧拉代数原本：上卷定量分析

ISBN：978-7-115-67127-1

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版权

著 [瑞士]莱昂哈德•欧拉（Leonhard Euler）

译林振华

审校 唐珊珊等

责任编辑 李宁

人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

邮编　100164 　电子邮件　315@ptpress.com.cn

网址　http://www.ptpress.com.cn

读者服务热线：(010)81055410

反盗版热线：(010)81055315

内容提要

本书是一部跨越时代的数学经典，被誉为代数入门的“圣经”。作为18世纪最伟大的数学家之一，欧拉以其深邃的洞察力和通俗的笔触，将代数的基础知识与应用娓娓道来。本书从正负整数、分数、平方数到对数、比例、数列与方程，层层递进，既涵盖加减乘除的运算规则，又探讨了多角数、卡尔达诺公式等进阶概念，辅以大量实例，展现了数学思维的严谨性与实用性。尤其是三次方程与四次方程的根式解、无穷级数展开等内容，彰显了欧拉在数学分析领域的深厚造诣。

全书以清晰的结构、直观的例子和循序渐进的讲解方式，打破了传统数学教材的晦涩感，既适合初学者夯实基础，也为进阶学习者提供了深刻的理论启发。无论是数学爱好者、学生还是教育工作者，都可以从中领略代数之美，感受到欧拉作为“数学巨匠”的智慧光芒。

瑞士数学家莱昂哈德 • 欧拉（Leonhard Euler）

序一

在数学史上，欧拉的名字永远闪闪发光。这位18世纪的数学巨匠，以其无与伦比的创造力与深邃的洞察力，为人类留下了跨越数论、分析、几何等领域的思想财富。而今，基于林振华先生的辛勤劳动，欧拉的经典著作《欧拉代数原本》（Elements of Algebra）中译本出版了。这不仅是一次文本的迁徙，更是一场东方与西方数学思想的对话。

《欧拉代数原本》诞生于欧拉晚年的教学实践，最初是为缺乏数学基础的读者撰写的入门指南，却因其逻辑的清晰性、叙述的系统性，最终成为代数领域经久不衰的经典。欧拉以大师之手，将抽象的代数原理化为可触摸的思维阶梯：从基本运算规则到方程理论，从多项式分解到数论应用，他始终秉持着“数学应当为所有人理解”的信念。书中甚至包含了当时很少被系统讨论的丢番图方程和连分数理论，展现了欧拉前瞻性的视野。

此次中译本的问世，具有以下三重意义。

其一，补全汉语数学典籍的拼图。尽管欧拉的《无穷小分析引论》等著作早已被译介，但《欧拉代数原本》作为其教学思想的集中体现，却长期未被汉语世界系统关注。此译本将填补这一空白，让读者更完整地认识欧拉的“教育家”身份。

其二，重探数学启蒙的本真。在符号化与抽象化日益加剧的当代数学教育中，欧拉那种以直观引导逻辑、用实例阐明理论的方式，恰如一股清流。他对“负数”概念的形象解释（如债务与资产的类比），或对虚数单位的耐心推导，对数学教师和初学者都有难忘的启发性。

其三，见证东西方数学语言的融合。译者不仅需克服本书德文原版与18世纪数学术语的障碍，更需在汉语的凝练性与数学的精确性之间找到平衡。书中多个数学术语的译法，既尊重了中文传统（如李善兰《代数学》的遗产），亦兼顾了现代规范，堪称一次语言与数学的双重翻译。

作为现代数学的奠基人之一，欧拉在本书中展现的不仅是知识，更是一种思维范式：他善于将复杂问题分解为基本要素（如用因式分解攻克高次方程），这种“还原论”思想至今仍影响着计算机科学、物理学乃至经济学。而他对“猜想”的大胆陈述与严格证明的结合（如费马小定理的推广），亦是对“数学直觉”与“逻辑严谨”如何共存的完美示范。

愿读者翻开此书时，不仅能习得代数之技，更能感受到欧拉笔下那股跃动的理性之火——那是一种对世界永恒规律的信仰，一种用符号表达宇宙秩序的渴望。正如他在圣彼得堡的黄昏中写下的话：“数学的真理，一旦被发现，便属于所有时代与所有文明。”

2025年8月11日

序二

欧拉是有史以来最伟大的数学家之一。在数学与力学领域，与欧拉有关的术语不计其数。每天，世界各地的科学家都在运用它们，包括描述流体运动的欧拉方程，变分法中的欧拉-拉格朗日方程，描述绕固定点转动的刚体方位的欧拉角，拓扑学中的欧拉示性数，用来数值求解常微分方程的欧拉法，还有欧拉常数

以及妙不可言的欧拉公式

其中，。

作为代数入门书，本书可谓常读常新。欧拉假定读者对代数几乎一无所知，以轻松的口吻，将相关知识娓娓道来——从基本的正负整数概念，到高深的代数方程整数解问题。对数学初学者而言，本书无疑是绝佳的教材，是向大数学家求取学问的好机会。

很高兴得知林振华先生将这部著作译成中文，让这本名著泽被新一代的年轻学子；相信其中有人会循着欧拉的脚步，开辟新的数学天地。

国际数学联盟前主席

牛津大学自然哲学塞德利讲席教授

约翰·鲍尔（John Ball）

2024年6月3日于爱丁堡

序三

欣闻林振华先生将欧拉名著《欧拉代数原本》移译成中文。

欧拉1707年生于瑞士巴塞尔（也是我的家乡），1783年卒于俄国圣彼得堡；因在数学上贡献良多，被誉为18世纪最伟大的数学家之一。19世纪最卓越的数学家之一高斯曾写道：“研究欧拉的著作，始终是学习数学不同分支的最佳途径，无出其右。”

欧拉为现代数学引入了大量概念，除了虚数单位，自然对数的底，他还引入了通常用来描述函数的符号与求和符号。欧拉是拓扑学领域卓有建树的开荒者，也是图论的奠基人。

凡此种种，令欧拉依然影响至今。在巴塞尔，欧拉出生地和求学地的街道，皆以他的名字命名；巴塞尔大学成立了伯努利-欧拉协会，整理出版欧拉的著作。多年之前，欧拉像还见于10元的瑞士法郎，以及不少国家的邮戳。我执教的苏黎世大学，创立了面向天才高中生的数学项目“青年欧拉学会”（Junior Euler Society）。

1765年前后，欧拉撰写了一部比较完备的教科书，即《欧拉代数原本》。该书以德文写作，后相继译成俄文、英文和法文。1774年，拉格朗日发表了为其添加的附注。

本书甫一出版，便在欧洲学界产生巨大影响，甚至一度入选代数学习者的必读书目。如今，学习者当然可以选择与时俱进的教材，但读读这本书，看看有多少代数知识在18世纪即有之，不啻为趣事。

总之，我很高兴得知林振华先生将这部名著及拉格朗日的附注译为中文。我相信，这将使中国的代数史研究者受益匪浅。

瑞士数学协会主席、苏黎世大学数学教授

约阿希姆·罗森塔尔（Joachim Rosenthal）

2024年11月16日

德文版初版序

本书为高级算术的爱好者而作，其俄译本已提前问世。①

①　俄译本上卷出版于1768年，下卷出版于1769年。由此推知，原著上卷最迟于1767年问世，下卷最迟于1768年问世。不过，欧拉多次以1765和1766两个数字为例（见第243条、248条和421条），这不禁使读者确信，本书的撰写工作其实自1765年，即柏林时期，已经开始。那时，欧拉肯定精挑细选，找到了得力的助手。本书的改编本和译本众多。在G.埃内斯特伦（G.Eneström）的《莱昂哈德 • 欧拉著作目录》（Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers）中，仅题目中含代数且与之相关的书目和历史注释就占了10页篇幅。不过，其中最值得一提的，只有约翰第三 • 伯努利（Johann Ⅲ Bernoulli）的法译本（两卷本，1774年于里昂出版），其下卷收录了拉格朗日著名的附注。——德文版注

这位享誉世界的作者有意撰写一部代数教程，让任何人即使在没有帮助的情况下，也能轻松掌握代数。

失明激起他的这一想法，随即他凭着异常活跃的头脑，迅速投入这份事业。为此，他在离开柏林前，选了一位青年做助手。这位助手擅长计算，但对数学概念一无所知，学过裁缝，论资质不见得优于普通人。尽管如此，这位助手却能理解自己伟大导师讲授的一切，而且很快就能进行极难的代数运算，并轻而易举地解决遇到的代数问题。

这无疑证明了本书水准之高，因为那位记录文字、理解概念并进行演算的学徒，未得到其他任何人帮助，除了他伟大却已失明的导师。

数学方面的专家将体会到本书的这一巨大优点，同时欣赏到作者如何阐述对数理论及其应用，惊讶于作者的三次方程与四次方程的求解方法。对丢番图问题感兴趣的读者将惊喜地发现，在《欧拉代数原本：下卷不定量分析》中，作者系统探讨了该问题，并详细介绍了求解所需量的各种技巧。

法译本初版译者序

我翻译的这部代数著作，由圣彼得堡帝国科学院于1770年在德国出版。^①它的优点我不敢妄论，因为这有辱作者的盛名。读者只消看几页就能发现，其行文条理分明，入门者必受益匪浅。这里，我想补充几点。

^①　《欧拉代数原本》有大概几十个版本，德文版初版最早成书于约1765年，不过当时并未出版，而是直到1770年才出版（在此前已有俄译本出版）。这20个版本中，最具代表性的译本便是由约翰第三·伯努利翻译的法译本。中译本在内容组织方式上与法译本一致，即将定量分析最后一部分移到上卷。——中译本译者注

我没有采用原书的内容组织方式，而是把原书下卷第一编，即定量分析最后一部分，移到拙译上卷。这样安排不但非常自然地区分了代数中的定量分析与不定量分析，而且平衡了下卷增加附注后上下两卷的厚度。

读者不难发现，附注出自拉格朗日先生的手笔。这也是我翻译此书的主要原因之一。我倍感荣幸，能够率先向众数学家多多少少指出，两位杰出的大师怎样将代数的一个分支，从默默无闻的境地提到而今令人炫目的高度。一直以来，这条研究之路荆棘密布，人们步履维艰，即便是这些天才亦承认，其中的问题是他们尝试解决的问题中最难的。

我相信，此译本采用了最合适的文风，因为我努力揣摩原作的意思，并尽己所能，清晰地表达出来。或许，此译本甚至还超越了原作，因为原作为口述而成，未经作者本人修订，读者不难发现，许多地方需要改正。此外，就算此译本不是直译，但其始终紧跟作者的思路。我保留了原作的分段方式，只是偶尔补充一些运算细节，或者在我认为不必长篇大论的地方，插入一两行说明。

对上卷中的注释，我亦不赘述。注释不多，读者应该不会指责我徒增篇幅。再者，它们有助于读者理解数学史的某些内容。

约翰第三·伯努利

1774年

第一编简单量的不同计算方法

第一章数学总论

1

凡可增减，凡可对其补充或消耗的，都称为量。

因此，资金是一种量，因为资金可以补充或消耗。

同样，物体质量也是一种量。其他具有类似性质的事物，情况亦然。

2

显然，量的种类繁多，不胜枚举，由此演化出数学的各类分支，每个分支处理某个特定的量。故总体而论，数学不过是有关量的学问，它指导世人该以何种方法测定量。

3

不过，除非借助某个与已知量同类的量，指出两者的相互关系，否则我们无法确定或测定某个量。

因此，如果要确定一笔资金的量，我们必须知道以哪种已知的货币进行计算，是古尔登①、卢布②、塔勒③，还是达克特④等，然后才能得出这笔资金对应的货币量为多少。

同理，如果要确定某物体的质量，我们必须知道测定以何种已知的单位进行，是磅、公担⑤，还是罗特⑥等，然后才能得出该物体的质量。

①　曾是欧洲尤其是德语国家和荷兰地区广泛使用的货币单位。——中译本译者注

②　俄罗斯货币。——中译本译者注

③　旧时欧洲广泛使用的银币。——中译本译者注

④　中世纪后期至20世纪欧洲流通货币。——中译本译者注

⑤　旧时欧洲通用计量单位，1公担 ≈ 110磅（约50千克）。——中译本译者注

⑥　旧时德国计量单位。——中译本译者注

如果要测定某物体的长度或宽度，我们就必须利用某个已知的长度单位，如尺①。

①　旧时我国长度单位，1尺 ≈ 33.33厘米。——中译本译者注

4

各种量的确定或测定步骤可以简化如下。

首先，任意选取与所要测定量同类的已知量作为尺度或单位；然后，确定待测量与该尺度或单位的比。这个比始终以数表示，故每个数仅仅是待测量与一个被任意选取为尺度或单位的量之比。

5

显而易见，所有量都可用数表示，数学的一切分支必须以此为基础，即彻底掌握数的原理，准确检验各种可能的计算方法。

数学的这个基础部分就叫作分析或代数。②

②　很多数学家会区分分析与代数。他们认为，“分析”指确定通则的方法，其有助于人们深入理解各种数学研究，而“代数”则是人们运用该方法达到目的的过程中所使用的工具。——法译本注

6

在代数中，我们只考察代表量的数，而无须关注量的种类，因为那是数学其他分支研究的对象。

7

算术或计算正是以数为处理对象的，是名副其实的数的科学，但仅限于日常生活中常见的某些算法。而代数主要考察数及其与运算有关的各种情况。

第二章加号“+”与减号“-”

8

当一个数与另一个数相加时，我们用符号“+”来表示，将“+”置于两个数之间。这个符号读作“加”。

比如“”就表示数字5后面应该加3。我们都知道，其结果等于8。同样，我们知道等于19，等于41，等于66，等等。

9

我们还可以通过加号，把多个数串联起来。

“+9”意味着5应加在7的后面，而9又应该加在5的后面，结果是21。如此，我们就能理解下面这个算术表达式的意义：

这些数字的和为51。

10

需要指出一点：一般情况下，我们用字母等来表示数，即表示两个数之和，这两个数分别以和代之，可能非常大，也可能非常小。同样，表示四个数之和。

如此一来，我们只要知道式子里的字母都代表什么数，就能通过计算，求得式子的结果。

11

相反，当我们要把一个数从另一个数中去掉或减去时，就用符号“”表示，将“”置于减数之前。

因此，“”表示将5从8中去掉，结果是3。同理，等于5，等于6，以此类推。

12

我们还可以从一个数中减去多个数，例如：

这个式子的意思：首先从50中去掉1，得49；然后去掉3，得46；接着去掉5，得41；再去掉7，得34；最后去掉9，得25。25就是这个式子的计算结果。不过，既然都要去掉，那么把它们求和，得25，再将25从50中去掉，亦可得到结果。

13

对于同时包含加号和减号的式子，我们也可以很容易地确定其结果，例如：

等于5

我们只需先计算带加号的数之和，也就是等于14，再减去三个带减号的数之和，也就是9，即可得到最后的结果。

14

由此不难看出，减数的顺序无关紧要，可以任意调换，只要其前面的符号始终保留。我们可将上面的式子写作

或或

需要指出的是，在上述后面两个式子中，数字12前的加号“+”必须保留。

15

为便于推广，我们不用具体数字，而用字母表示式子，这样也不难理解。例如，的意思是，以与表示的两数之和，减去三个带减号的以字母表示的数。

16

因此，我们必须注意每个数前面是什么符号。在代数中，我们就是根据数前面的符号来处理数的。我们把这样的数称作简单量。它们前面如果带加号“+”，就被称为肯定量或正量；如果带减号“”，就被称为否定量或负量。

17

以个人财产的计算为例进行说明。我们通常用带加号“+”的正数表示拥有的资产，用带减号“”的负数表示负债。如果某人拥有100卢布，但负债50卢布，那么他的资产就是或者，也就是50卢布。

18

既然负数可表示负债，正数可表示拥有的资产，那么我们就能说，负数比无或0还少（或小）。若某人不但没有任何资产，而且负债50卢布，则他比无少50卢布。若别人给他50卢布，以助其偿还债务，则他拥有的比之前多，但仍一无所有。

19

因此，正数肯定比0大，负数肯定比0小。当我们在0的基础上加1，就得到一个正数，继续不断加1，就得到了常说的自然数序列，即

①

①　现代数学中0也归属于自然数。——中译本译者注

以此类推。

如果我们在0的基础上不断减1，就得到了连续的负数序列，即

以此类推。

20

所有这些数，不论正负，都是整数，整数可以比0大，也可以比0小①。我们称其为整数，以区别分数及其他类型的数。例如，50比49大1，我们不难想到，49至50之间应该还有无穷多的中间数，它们都比49大，比50小。假设有两条线，一条长50尺，另一条长49尺，那么我们可以画无数条大于49尺又小于50尺的线。

①　0也是整数。——中译本译者注

21

在整个代数领域中，我们必须准确掌握负数这个至关重要的概念。这里先举几个例子来说明。比如以下式子：

每一项的结果均为0。再如，等于，因为某人有资产2卢布，但亦负债5卢布，所以他不仅一无所有，还背负3卢布债务。同理，

等于

22

我们用字母代替数字，故始终等于0。可若想知道的值，则需考虑两种情况。

第一种，若大于，则先将从中去掉，剩余的正数即所求的值。

第二种，若小于，则先将从中去掉，剩余的负数或带减号“”的数，即所求的值。

第三章简单量的乘法

23

当两个或多个同样的数相加时，其和可以简写，例如：

写作①

写作

…………

①　欧拉原著中的乘号用“•”表示，为了符合现在人们的阅读和书写习惯，本书中的乘号用“×”表示。——中译本译者注

乘法的概念便由此产生。换言之

表示的2倍

表示的3倍

表示的4倍

…………

24

若某个以字母代表的数乘任意一个数，我们只需将该数写于字母之前。因此，

乘20写作

乘30写作

显然，的1倍或就等于。

25

这样的积还可以乘其他数，例如：

2乘等于

3乘等于

5乘等于

当然，还可以乘别的数。

26

当被乘数也用字母表示时，我们就将其置于另一个乘数之前①。于是，乘的积为；为乘的积，若在此基础上再乘，则积为。

①　现代数学中不区分被乘数和乘数，均称乘数。——中译本译者注

27

我们可能注意到，两个字母的位置其实无关紧要，故等价于。无论是乘，还是乘，得到的结果都是二者的积。为便于理解，我们只需把和分别替换成已知数，如3和4，答案便一目了然：3乘4就等于4乘3。

28

不难看出，字母可以通过连写表示积，但数字不可如法炮制。若把3乘4写作34，那么得到的是数字34，而非积12。因此，进行数字乘法运算时，我们就在数字与数字之间以乘号“”相隔。故也就是3乘4，等于12；等于2；等于6；等于720；等于3628800；以此类推。

29

同理，我们可以计算这样式子的结果。首先计算5乘7，再乘8，然后用这三个数字的积乘、乘、乘，最后乘。结果就是280abcd。

30

乘法运算中，运算结果叫作积，相乘的各个数字或字母叫作因数。

31

至此，我们考察了正整数，因而我们遇到的积，也毫无例外都是正整数。换言之，乘必然等于。不过，对于乘或乘的情况，我们必须另行考察。①

①　关于18世纪数学家对负数的理解，可参考莫里斯 • 克莱因的《古今数学思想》（第二册）。——中译本译者注

32

首先计算乘3或者。如果把看作负债，那么显而易见，将其乘3后，负债的规模就扩大了3倍，因此两者的积为。同理，当乘或，结果为或者。由此可知，一个正量乘一个负量，其积为负。推而广之，正正得正，正负或负正得负。

33

接下来，我们还要考虑一种情况，即负负相乘，如乘。首先可以肯定，积含有，至于其前是正号还是负号，还不得而知，但必然是其中之一。易知，这个符号肯定不是负号，因为乘等于，而乘的结果肯定不等于乘，而是相反的结果，即。故可推而广之，负负跟正正一样得正。 ①

①　代数学家还举过其他例子说明这一规律。（a, b, c, d均为正数。）

　首先，已知乘的积为；若乘一个比b小的量，如，其积必然比ab小。简而言之，必须从ab中减去a与c的积，故可写作，于是的积为。

　其次，考察和的积。可以肯定，其积小于或。从后者的积中，必须减去。于是，就变成了再加上的积。现在，我们只需确定这个积的正负即可。已知必须减去的积，即减去一个小于ad的量。因此，若再减去bd，那么减的量就过多了，故积bd必然是加上的。换言之，bd前的符号为正。由此推知，的积为。推而广之，负负得正。见第273、274条。

　乘法一直被视为加法的简便算法，因为乘法不过是把某数叠加若干次。因此，可看作把9叠加3次。同样，可看作把9叠加半次。算式中有两个因数，有时也分别称作被乘数与乘数。显然，两个因数即便互换位置，积仍然不变，即，。另外，乘法可以使数按任何比例缩小或增大，这与加法的性质截然不同，譬如，，，等。用字母表示或有负数时情况亦然。，。后者即乘3或叠加3次等于，调换因数的位置，用正整数3乘或叠减9次，必然得到相同的结果。因此，正量叠减或负量叠加，积为负。