奇妙数学史：数字与生活

奇妙数学史.数字与生活/（英）汤姆·杰克逊（Tom Jackson）著；张诚，梁超译.--北京：人民邮电出版社，2018.6

（科学新悦读文丛）

ISBN　978-7-115-47994-5

Ⅰ.①奇…　Ⅱ.①汤…②张…③梁…　Ⅲ.①数学史—普及读物　Ⅳ.①011-49

中国版本图书馆CIP数据核字（2018）第048424号

◆著　[英]汤姆·杰克逊（Tom Jackson）

译　张诚　梁超

责任编辑　韦毅

责任印制　陈犇

◆人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

邮编　100164　　电子邮件　315@ptpress.com.cn

网址　http://www.ptpress.com.cn

北京瑞禾彩色印刷有限公司印刷

◆开本：690×970　1/16

印张：11.25　　2018年6月第1版

字数：172千字　　2018年6月北京第1次印刷

Originally published in English under the titles: Numbers: How Counting Changed the World by Tom Jackson

本书中文简体字版由Shelter Harbor Press Ltd授权人民邮电出版社独家出版。未经出版者书面许可，不得以任何方式复制或抄袭本书内容。

图片来源

Pg 4~5:图片均从正文中来; Alamy:H. Armstrong Roberts/Classic Stock 164, E.P.A 129, Adam Eastland 83, Interfoto 100bl, 158, Keystone Pictures USA 174, Pictorial Press Ltd 117, 149, Zev Radovan/Bible Land Pictures 36, Schutze/Rodemann/Bildarchiv Monheim Gmb H 51, Mireille Vautier 13; Archive网站:79, 105, 135, 154tl; Mary Evans Picturelibrary: 23b, 58, 87bl, 127, 128b, 138, 166; Roy Williams: 31, 35br. 68; Royal Belgium Instituteof Natural Sciences,Brussels: 12; Shutterstock: Adisa 160, Aepsilan 148, Annavee 94, B & T Media Group Inc 30, Sean Bear 146, Anthong Berenji 10c, Dan Breckwoldt 70, Conrado 103, Graeme Dawer 102, Everett Historical 153, 177cl, Jurgen Faelchle 144, GOleg Golovnev 165, Grynold 159, Hxdbzxy 92, Irabel8 155br, Irina K 99cl, Georgios Kollidas 163, 177bc, 177br, Wong Yu Liang 143, George JMC Little 121t, Lobintz 113, Marzoli-no 177bl, Marria Menestrina 128t, Meunierd 124br, Mikeldray 9t, 152, Aksenova Natakya 101, Nicku 142t, 177cr, nlto 169b, Ekaterine Pakrovsky 124tl, Panda Wild 90, Nick Pavlakis 45b, Petr 124tr, Photo Pixel 99tr, RA2 Studio 178, Vadim Sadovski 170, Maria Skaldina 110bl, M. Stasy 47b, Gong To 141b, Jason Winter 136, Claudio Zacherini 78; The Wellcome Library,London:56, 89bl, 98, 106,141t, 154tr, 176;Thinkstock: Adnan825/i Stock 64, Andrew Ags/i Stock 88, Marie Amelie Bleja/i Stock 61, Brazil Foto/i Stock 82, J. Byard/i Stock 9br, 140, Jill Chen/i Stock 12b, Dorling Kindersley 69, 107, Fly Snow/i Stock 172, Gajus/i Stock 121b, Lynn Gedeon/i Stock 60, Adrian Hanou/i Stock 84, Hemera 155bl, Image Data-base/i Stock 16t, Ingram Publishing 32, Jupiter Images/Stockbyte 7t, 49, Georgios Kollidas/i Stock 115, Kynny/i Stock 175, Enrique Rames Lopez/i Stock 62, Nikolay N/i Stock 73; Photos网站: 29, 37, 39, 71, 119, Popova Photo/i Stock 16c, Sirfiji/i Stock 21t, Arsen Stahlv/Hem-era 120t, Swiss Hippo 14, Tomislav Zivkovic/Hemera 6b, 11; Wikipedia:6tr, 7tr, 8t, 10b, 24, 28, 33, 41, 42, 45t, 47t, 55, 66, 72, 74, 80, 87br, 89br, 93tl, 93br, 96, 100tr, 104, 109, 110tr, 116tl, 116tr, 120b, 122, 124bl, 125, 126cr, 126bl, 130, 132, 133, 134, 142b, 147, 156, 157, 169t, Ken Eckert 126cl, 2005 David Monniaux 8~9, 114, Carsten Ullrick 118.

bl：左下；tl：左上；b：下；t：上；

br：右下；cr：右中；cl：左中；

bc：中下；tr：右上

引言

数学是我辈中许多人痛恨的学科，它洋洋洒洒，令人不知所为何故。那么，请读下去，去发现数学深处的故事。这本书会告诉你数学课和数学题从何而来，由谁而来，为何而来——或许后者尤为重要。

显而易见，数学从数字中来，从数量中来。我们学数学的第一步是知道如何计数，然后是加减，等等。这是数学之旅的开端，它通向更繁更强之道。但是，我们中的许多人，或许大部分人，就止步于此了。我们认为数学就是计算数字、背乘法口诀表、记符号和公式，又有何用？——不过下次测验求个高分而已。

小石头在拉丁文里称为“calculi”，现在英语里“calculate”这个词就来自用石块计数。

16世纪，两个算术家比赛用不同方式计数和计算。谁胜谁负？请看第24页。

然而，退一步来说，数学是变化的。数学最主要的形式——计数，是把我们的世界数字化的途径。我们可以数手指，数家人，数一日几餐。无论数的是什么，我们的计数系统都做同样的事。从第一个数字1开始，不断加1，直到得出我们要数的那个东西的确切数字。所以说我们数十指和数一日三餐用的是同样的技术。显然，这种记数法在做记录时用处甚大：数物，数钱，数其他的东西。无论得出的数字是多少，它就是那个东西的真实数量。你觉得这就是数学的意义了？还要三思哟。计数还创造了其他东西——数字本身。

数字可以看作几何图形。这些立方体表示前3个立方数8、27和64都是由边长为1的单位立方块组成的。

这个矩形很特殊，它可以分成与自己相似的越来越小的小块，划分方式被称为黄金分割。

加号“+”是1360年发明的，它是法语词“et”的简写，意思是“和”。

我们可以把1累加构成任何整数。也可以反过来从任何数中去掉1，那就是减法。乘法的规则也不新奇:仅仅是把数累加多次而已。除法是考察一个数累加多少次能成为另一个数。所以说，把1简单累加，我们就构建了第一套数学规则。它们自然有现实世界中的用途，也是通往新世界的轮毂。这个世界不是由星星和黑洞组成的，而是数字以不可想象的方式连接而成的。其实我们也不好说“不可想象”，因为数学本身就是纯想象。数字世界只存在于脑海，而且无边无际。几百年来，数学家找到了无涯的数字之海的模式和联系，在本书中你可以领略些许。一旦学会用数字思考，你的数学世界将非常美妙。更妙的是，这也会反射到现实世界。换言之，数学是我们描写世界的语言。

帕斯卡计算器是世界上第一台计算器。它是1645年由22岁的天才布莱兹·帕斯卡发明的。

无穷大是数学里最奇妙的思想之一。无穷大有多个种类，有的无穷大比别的无穷大更大！

这个数是古戈尔数。它看起来大之又大，但是跟古戈尔普勒克斯数相比，它还是小之又小。

数字的发明

1，2，3，4，…，你知道后面是什么吗？数数是第一堂数学课的内容。我们幼年学习的数字将会伴随我们终身。但是数字从何而来？是我们发明了它们，还是数字本身就存在？

数数的话，你只需知道数字1就行了。数学家称这个特殊的数为“单位”，它表示一个事物。其他的数就是把1累加：2就是两个1，3就是3个1，以此类推。这倒很简单，简单到科学家相信即使是动物也能数少量的数，或者分辨小量级的区别，比方说它们知道4比3大（见第13页）。对于记住哪儿食物多，哪儿食物少，它们还做得更好呢；它们懂得“更多”与“更少”的概念，而用不着比较确切的数字。有些鸟儿尤其擅长数数，它们受到训练，鸣叫指定的几声后停下来，就能得到投食奖励。

最初的数字，或者说数字符号，就是计数符号。俄国西部莫克沙河的人直到20世纪都在用类似计数符号的数字。我们由此得知古人是如何书写数字的。

关于数字，还有个词叫“数码”。如今，我们用“数码”来描述各种各样的计算系统。最初，它也就只是用于计数。“数码”另有个意思是手指（或脚趾）。语言学家表示：数词，尤其是“十”和“百”，本源是来自古语里的“手指”。这就证实了我们的猜想：古人掰手指计数。我们有10个手指，所以“10”这个数对于构建数字特别重要（见第17页）。掰手指数到10很容易，但是再往大了数，并且写下来，我们的祖先用了另一套系统--计数符号，并沿用至今。

古人也有计算器，“calculate”和“calculator”都源自拉丁文中的“calx”，是“石头”的意思。小石子或者卵石，是“calculi”，在古代用于计数。每天早上牧人用一堆石头点数——一羊一枚。如果到晚间，石头数和羊数对不上了，牧人就知道他得出去找几只羊了。

最古老的计数符号是刻在骨头上的。在非洲和欧洲，人们发现了一些骨头样本， 30 000年前的人类在上面刻了线条。它们看起来跟如今的计数符号很像。但是古代的符号记了些什么呢？

中部非洲的伊尚戈骨头，距今超过20 000年，展现了计数符号的集合。

计数符号用起来很便利，可以用来给竞技游戏计分，数一堆类似的东西，记录一串随时间变动的数。正如我们所见，在符号上加一画就行了。但是问题来了，到底画了几道，这可很难确定。把画的这些道整合起来有许多办法，最常见的是用第5画串起前4画。这个符号表示5（比方说，5根手指）。然后你可以继续画6、7、8、9，再画一道串起来表示10。计数符号用起来很方便，画好的符号可以转化成数或数字符号，比方说53或691。然而，我们的数字系统可是经历了好几百年才发展起来的（见第21页），而且或许也是从简单的计数符号产生的。

雕有计数符号的古代甲骨依然是个谜。比方说下图的伊尚戈骨头，包含成双倍的数，比如3道和6道，4道和8道，等等；也包含素数（见第58页），比如5、13、19。这块骨头看来并不是简单的家庭财产或家族人口的数量记录。反之，数学家认为它用于计算，还可能是相当复杂的计算。不过大家都不清楚是怎么算的。无论如何，伊尚戈骨头和诸如此类的骨头告诉我们，在数学刚开始产生时，数字就是一堆笔道，或者说，一堆1的组合。

数百年后，文明出现于世，伴生着法规、军队和城池。法律条例，税务文书，物主是谁，价值几何，均需落笔记录。为此，人们发明了书写，包括新的数字系统，其中为大数设定了新的符号。从古埃及、中国到罗马的数字系统，皆可上溯至计数符号。

古埃及象形文字使用如上的数字，1就是一画。右图这个粉色数字就是2016！

对于4这个数，我们的大脑不用具体数也能立刻认出来。对于5以上的数，我们的大脑依然能快速数出来，不过是三三两两加起来的。

试试看。盖住一颗巧克力，你能看到几颗？露出最后一颗，一共是几颗，这个你得多花点工夫来数吧？

我们用一组数字来计数，它们被称为自然数。自然数包含0及其以上的全部整数。自然数（X）就是用它计数的物品的个数（Y）。自然数包含1，但是可以有任意大小的各种集合：有两个自然数的集合就对应有两个物品的集合，有3个自然数的集合就对应有3个物品的集合。下图就有100种这样的集合，你能找出来吗？显而易见吧，但是有些集合你可是数不出来的哟（见第152页：无穷大）！

古代美洲文明是用绳结来计数的。秘鲁的印加文明没有书写系统，但是用奇普（quipu）记录数字。每个奇普是一串绳结，包括1000种不同的花样。这些奇妙的绳结历经16世纪西班牙入侵，只有少量留存下来。奇普记录的是日期和资源，有人认为奇普也用来记录其他重要的东西，比如建筑蓝图、历史和宗教仪式。

奇普用一长串绳结表示1到9，用绳结的位置表示它是十、百、千或者更多。

数字系统

书写数字，最初是作为数量的笔录——债务多少、个人财产、田产大小。最初的书面数字系统与今日大不相同，而且常常使数学化简为繁。

心算十分重要。人人都得学会在心里默算简单的加减乘除，比如心算购买的商品的总价。但是，更复杂的计算还是付诸笔墨吧。我们把计算过程拆分细化，为此，要把工作中的数字写下来。现在用的这套数字系统我们称为印度-阿拉伯数字系统，它通行世界至少有600年了。这套数字系统有0到9这10个基本数字，然后是10、100，等等。它是数学课最早的内容。当你看到古人如何书写数字时，你就知道这套系统的奇妙之处了。

湿润陶土上用楔形小棍画出的楔形文字。数字也是用同样的工具画出来的。

巴比伦人使用一只手4根手指的3个指节来数1到12，另一只手的所有指头（包括拇指）数12到60。

我们计数用的数字有10个数，我们称这套系统为十进制。可不都是如此，澳大利亚的原住民用5个数计数的五进制。比如，23在十进制里表示2个10再加上3个1，23在五进制里表示2个5再加上3个1，也就是十进制里的13。人们使用五进制是很好理解的，就是掰单手的手指头，而非双手。3000年前，在如今的伊拉克地区生活的巴比伦人是用双手计数的，但是数到60就停止了！

一列自然数，现在通用的十进制的写法，以及某些古代文化中五进制的写法。

跟古埃及一样，巴比伦也被认为是数学的发源地。巴比伦人的书写系统被称为楔形文字，符号用尖端削成三角形的芦苇杆或木棍刻在湿陶土上，陶土烘烤之后成为凝固的文本。巴比伦数字也是这么书写的。第16页的图展示了两组符号，一组是1到10，另一组是10以上的数字。这两组符号有59种不同的排列方式，表示59以内的任何整数。但是一旦到了60，这套系统又得从头再来。数字60用1的符号代表，所以数字61写成一个单位1，接个空格，再接个单位1：第一个符号表示60，第二个符号表示1，空格表示这个数字里包含60。尽管习惯这个得花点工夫，六十进制还是挺有用的。数字60可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20和30整除！而数字10只能被2和5整除，因此，与十进制相比，用六十进制自有其好处。这就是我们如今仍用它度量时间和角度的缘故（见第18页的图表）。

巴比伦人既是天文学家，又是数学家。他们追踪太阳在天空的运动，指出每360天为一周期。这成为一年的长度。于是人们用360份或者360°来衡量圆周。太阳在白天的轨迹划分为12小时，夜间是另外12小时。（请注意现在这些数字都跟60有关。）一小时又分成60小份，或者说“分钟”。每分钟进一步分成60“次级分钟”，或者说“秒”。我们迄今仍沿用这套系统，它运转精良，如果没崩坏，就无须修正。

圆周的一半是180° （3×60），整圆是360° （6×60）。使用这些数字是因为它们便于整除。

巴比伦系统因位而异，也就是说需要根据数字写在哪里去理解它表示什么。最右边是个位数，然后是60位数，以此类推（见第30页）。这是最早的进位制范例，现在我们使用的数字系统也是采用进位制。进位制的数字系统在东方的亚洲更为发扬光大，而欧洲的数字与之不同。大约2500年以前，希腊是世界文化中心之一。古希腊人用希腊字母书写数字，24个希腊字母用光之后，他们就用类似字母的符号来表示更大的数字。古希腊数字系统在计量大数或者记录大数的时候可不好用。大部分古希腊人——可以推测，正如大部分古代人——用这些符号来估计大数就够了。这套符号里最大的是M，意思是数以万计，也就是10 000，但是通常意味着“数不胜数”。在英语里，“myriad--无数”也有类似的含义，还有些别的说法（见下面的方框）。古希腊数学家阿基米德（见第71页）在后文中会频频出场，他发明了一个新数MM--数以亿计，也就是100 000 000。古希腊数学多专注于几何学，关心线和形胜于数，这就是他们数字系统的局限性所在。

当罗马人在2000年前占领了欧洲及周边区域，他们引入了以字母为基础的数字系统。从某些角度上来说，罗马系统简明易懂，但是书写大数很困难，计算也很复杂。简单来说，罗马数字很像计数符号（见第12页），每个数字都代表它包含了几个1。所以开头的I、II、III代表1、2、3。然而，罗马系统更智能一点，它用5和10构成大数字。换言之，有一套崭新的系统来描述5的倍数：V就是5，L是50，D是500。还有一套系统来描述10的倍数：X是10，C是100，M是1000。看来罗马有一套可以构造大数的系统。

与巴比伦系统不同，罗马数字系统不是进位制的，专家们称之为加法系统。它的意思是把所有符号的值加起来得到数字。最大的数在前。所以，LXVI就是50+10+5+1=66，DCLXV就是500+100+ 50+10+5=665。这需要一些练习，但阅读起来也挺简单。空间紧张的时候，比方说刻在雕像或墓碑上，有些数字就用减法来简写：4就是IV，或者“比5少1”；9就是IX，40是XL。但是，写在纸面上时不采用这套减法系统：4就是IIII，9就是VIIII。这样便于用罗马数字做加法。事实上，这大概比我们如今使用的系统还简洁。罗马数字做加法，可以把两个符号合并起来，从大的开始写。所以CXXVII（127）+ LVIII（58）求和成了CLXXVVIIIII。这个符号需要整合成大数。从尾端最小的数开始， IIIII变成V，这就构成了VVV，即XV，最终这数成了CLXXXV，或者说185。成功啦！罗马人知其然，只是不知其所以然。减法也挺简单，可以从小数开始划去，一直划到大数。所以，对于MDLI（1551）-MXI（1011），我们划掉M，保留D。我们再把L改写成XXXXX，划掉一个X，还剩XXXX，最后把I划掉，结果就是DXXXX或者说540。（看第25页的内容，可以对罗马数学了解更多。）

大约4000年前，中国人发明了用小竹筹书写数字的简便办法。竹筹如下图所示，摆成各种样式来表示各个数字。使用进位制系统，表示小数字的竹筹并排放置表示大数字。这个挺简单的，但是竹筹交界的地方，由于竹筹摆放位置不同，容易混淆。由于没有表示零的符号，就在两个竹筹之间空一格表示。大约2000年前，中国商人和数学家开始使用算盘。中国形制的算盘里，下部的算珠用来数1到5，上部的记录5的个数。

用罗马数字做乘法就困难得多。做法是构建两列数，第一列是把被乘数折半取整，不断重复，一直到1。第二列是把乘数加倍，前面折半多少次，这里就加倍多少次。然后对于第一列中是偶数的那些行，两列中都要划掉。最后把第二列剩余的数全都加起来。听起来挺复杂，没错，就是挺复杂。简单点的方法也有一个，跟我们当今用的乘法差不多，可是罗马人不用哦！方法是将一个数里的每个数位的值与另一个数的各数位的值相乘，然后把得到的一串数加到一起。罗马数字的数码只有7个值（1、5、10、50、100、500、1000），你只要记住一个含其中6个数码的六六乘法表（见第22页）就行了，但是这样做速度会慢一点。例如，XVI(16)×VII(7)就是(X×VII)+(V×VII)+(I×VII)，或者说LXX+XXVVV+VII。把它们都加起来就是LXXXXVVVVII，也就是LXXXXXXII，即CXII或者112。验算一下，然后请看第25页的另一个例子。

乘法表是用印度-阿拉伯数字连续展现的，跟下图的罗马版本做个对比吧。

罗马数字的乘法需要把1、5、10、50、100和500分别乘起来（下表为罗马数字前6个数码的乘法表）。V上加个横杠在这里表示5000。

图中展示了印度-阿拉伯数字的10个数字符号的演进。印度数字出现于公元5到6世纪，阿拉伯数字源于9世纪。如今二者都在使用，在西方符号系统中的功能完全一样。

罗马数字在现实世界的计数工作中很好用——军团中的士兵数、应纳税额或者一船谷物的数量都不会太多。因此，即使公元5世纪罗马帝国终于在西欧消亡之后，欧洲还一直沿用这些数字和计算方法。事实上，东罗马帝国在东欧一直存在，直到15世纪，只是易名为拜占庭帝国，以君士坦丁堡（如今是土耳其的伊斯坦布尔）为基业。然而，拜占庭数学家使用基于古希腊数字系统的一套数字，也并不比罗马的强。随着阿拉伯人将势力范围从中近东和北非拓展到东部和南部欧洲，到8世纪，伊斯兰帝国从阿富汗扩张到西班牙南部。在印度附近行贾的阿拉伯商人在数字系统上进入了一个全新的世界--至少对于他们而言是全新的。这个大创新结合了进位制系统与一个新数码--零。（它也是数码吗？我们稍后再加详述，参见第30页。）罗马人、希腊人、巴比伦人都有关于“空”或“无”的概念，但是不形诸数字--干嘛要费劲数个没有的数呢？

12到13世纪的数学家，比萨的列奥纳多，又名斐波那契，是率先提出应该用阿拉伯数字取代罗马数字的欧洲人。

今天的数字我们已经很熟悉了：数码有10个（包括0），数字按它们值的大小书写。正如巴比伦系统一样，数字是进位制的。从右往左写下的第一个数码代表0到9，第二个代表10到90，第三个代表百，以此类推。你已经知道这是怎么回事了。

16世纪的一幅版画展示了算术家书写数字的画面，其中两人用罗马数字计数板，正在较量数学。最终，这一天用印度-阿拉伯数字的算术家赢啦。

几个世纪之后，印度-阿拉伯数字系统在全世界传播，并且于10世纪在西班牙和葡萄牙的伊斯兰地区通用。这套数字系统逐步向北流传，慢慢地浸染欧洲文化。12世纪末期，有个意大利富商之子随其父的商旅造访北非。他是比萨的列奥纳多，以昵称斐波那契而扬名（见第80页）。回溯到1202年的意大利，斐波那契写了一本数学书《计算之书》——意思是关于算术的书。此书对于商人来说是一部指南，指导他们如何记录商务事件，而且书里充满了迷人的数学细节和谜题，斐波那契对此兴味盎然，其中就讲述了印度-阿拉伯数字系统的威力。斐波那契见识了阿拉伯商人做复杂计算是何等迅捷，远胜于采用“迟钝”的罗马数字系统，他意识到用这个法子进行数学运算将有何等进步。我们知道《计算之书》的出版正是全世界开始使用现代数字系统的时间点，但是长路漫漫：直到15世纪罗马数字才在欧洲占据主导地位；中国开始使用阿拉伯数字系统是在17世纪；而直到18世纪，俄国才用现代数字取代了基于希腊数字的系统。

现在我们对数字系统有了更多的了解，下面看几个应用罗马数字的例子吧。

分数

分数这个词来自拉丁语“broken”，即“分开”的意思。那时的分数是比1小的数，是把1分成更小的部分。如今我们使用分数的方法始于400年前，在人们还为分数是否是数争论不休的时候就开始了。

参加过生日宴会的人都知道分数：一个蛋糕该切几块？如果有两位宾客，就切成两半——尽管有点贪吃呢。4位宾客就各拿1/4，12位宾客就各拿1/12。人再多的话可能得再来一个蛋糕了。尽管数学界对分数直到17世纪才统一意见，但古人显然懂得数（或者蛋糕）是可以分成好几部分（块）的。

古埃及人首先发明了书写分数的办法。荷鲁斯之眼源自鹰头天神荷鲁斯，是古埃及的一个符号。其中眼睛表示1，它的各部分进行了划分（见左图），用于分割谷物、面粉及其他有价作物。分数的另一种写法是在一个嘴的形状下面写个数。嘴表示1，下面的数表示分成了几块。这套系统可以表示任意分数，它们被称为单位分数，分子是1。1/2、1/5、1/23都是单位分数，2/3、3/7、9/23不是。

荷鲁斯之眼，源自古埃及鹰头天神的符号，被分成了几部分，用于表示对食物和饮用水等的划分。

我们把分数写成两个数，一个在上，一个在下。底下的是分母，表示1分成多少份。上面的是分子，表示在这个分数里占了多少份。这个想法来自公元7世纪的印度，阿拉伯学者随后在两个数之间加一横杠，分数的意义就更明确了。

古埃及数学里不许可非单位分数出现。于是四分之三，或者说3/4，分成了单位分数1/2+1/4。单位分数的重复叠加也不许可，所以把2/11变成1/11+1/11也是不行的。古埃及数学家编制了一份分数表，把众多分数转化成他们许可使用的单位分数。这个规则把事情变得复杂了。在古埃及的宴会上把3块糕点分给5个客人，意味着每个客人各得到3小块：一块1/3的，一块1/5的，最后是一块1/15的。

林德手卷是公元前1650年一本古埃及数学书的残片，包含了许多用古埃及人的方法计算分数的难题。

巴比伦分数是基于数字60的，这跟他们的计数系统（见第17页）各部分协调一致。巴比伦系统把个位数字1到59写在数的右边，大数（60及以上）写在左边。（其实我们的数字系统也是如出一辙，只不过用的是十进制，而不是六十进制。）对于分数，巴比伦人把小数写在个位的右边。举例：

即1×60+40=100，

即1×60+40+20/60=

。这套系统跟16世纪发展的十进制十分相似。但你或许心存疑问：怎么知道哪个是个位，哪个是分数呢？哎，这对于巴比伦数学家来说也是困惑不已的大难题。

有理数包括所有自然数：如1，2， 3，等等（见第14页）；也包括你能想到的分数：1/2，3/5，12/43，等等。非零有理数的规则是可以写成两个自然数组成的分数。整数可以写成分数：5就是5/1。带分数（大于1的分数）可以用假分数来表示：就是5/2。

罗马人不写分数，但他们有相应的词汇。标准的分割是把东西分成12份，1/12是“uncia”。6个uncia（一半）叫作“semis”，1/24是“semuncia”，1/144是“scripulum”。7世纪以来，印度和阿拉伯数学家使用今天我们也在用的分子与分母的系统（见第27页方框），并将其发扬光大。但是，分数究竟本身就是个真真正正的数呢，抑或不过是两个整数的比值而已？比方说，1/2是一个数，还是1除以2的答案？事实上，二者皆然。二者都能帮助我们了解各种各样的数。

分数是数，但不是用来计数的。它们属于一个叫作有理数的大集合。有理数就是可以写成分数的数（见第28页方框）。但是有些数不能写成分数，那是什么数？毕达哥拉斯，一位赫赫有名的古希腊数学家，首先发现了它（见第36页）。

现在我们知道了分数的由来，下面来看看分数的用法。

把现代数学里的分数转化成古埃及的单位分数，意味着变成一些分子为1的分数（译者注：不过，在古埃及数学里可不许分解成重复的单位分数哦）。

巴比伦分数是六十进制的，如今，我们用化简的分数。

罗马分数是写成文字的，但可以转化成数字。

假分数是大于或等于1的分数，可以转化为一个整数或一个整数和一个分数的和。