数学的诞生

图书目录:

第 一章 几何学精神——帕斯卡与欧几里得 1

帕斯卡的“说服的艺术” 1

几何学精神 3

欧几里得的《几何原本》 4

正确的推论形式 9

亚历山大城的数学 13

几何学在三角测量法中的应用 15

古希腊几何学的特征 21

第二章 光从东方来——代数学的诞生 25

罗马的数学 25

位值制记数法与0的发明 26

印度的数学 27

阿拉伯的数学 30

符号的用途 31

一般方程的导入 32

第三章 画出来的数——笛卡儿的几何学 36

数与图形的统一 36

点的坐标与两点之间的距离 39

直线的方程 41

圆周的方程 46

必要条件与充分条件 47

用解析几何学处理问题 48

笛卡儿与费马 50

圆锥曲线 51

圆锥曲线理解方式的变迁 53

圆锥曲线的方程 56

圆锥曲线理解方式的统一 57

第四章 作切线——微分法与极限的概念 61

切线的作法 61

费马的方法 63

巴罗的方法 65

牛顿的流数术 67

莱布尼茨的微分法 68

函数的概念 69

导函数及其性质 72

极限概念的诞生 76

微分法的公式 78

连续函数 80

第五章 测量面积——面积与积分法的概念 82

面积是什么 82

古希腊人关于面积的研究 83

面积与穷竭法 84

曲边梯形与定积分 86

微积分基本定理 89

柯西与勒贝格 95

微积分的创始者们 96

第六章 数学是什么——希尔伯特的形式主义 98

再谈“说服的艺术 ” 98

平行线问题 9

罗巴切夫斯基几何学与黎曼几何学 102

希尔伯特对数学的思考 106

形式主义数学的使命 111

欧几里得几何学的重编 112

推论的形式与数学 117

第七章 焕然一新的代数学——群、环、域 119

二次方程的解法与虚数 119

虚数的构成 125

“域”的概念 128

代数学基本定理 130

代数的解法 131

两个域之间的次数 138

作图问题 140

形式主义下代数学的重编 147

群与埃朗根纲领 152

第八章 切分直线——实数的概念与无限主义的形成 157

实数的连续性 157

实数概念的分析 162

戴德金的实数论 165

关于“小数” 169

可列集 172

“无限”种种 177

第九章 数学的基础奠定——集合论的漏洞与证明论的诞生 179

体会实数的构造方式 179

罗素悖论 187

如何证明无矛盾性 188

证明的结构 191

无矛盾性证明的一个例子 197

第十章 处理偶然——概率与统计 203

数学与科学 203

但书规则 205

概率的概念 206

概率论公理体系的建立 210

重复的表现 213

风险率与推测统计学 217

后记 自然数论的无矛盾性证明 222

笔者认为的有限主义立场 22

自然数 22

佩亚诺公理体系 23

自然数论的无矛盾性 223