欢乐数学营
数学糖果
1
胡顺鹏 著
人 民 邮 电 出 版 社
北 京
图书在版编目（CIP）数据
数学糖果.1 / 胡顺鹏著. -- 北京：人民邮电出版社，2021.4
（欢乐数学营）
ISBN 978-7-115-54897-9
Ⅰ. ①数… Ⅱ. ①胡… Ⅲ. ①数学一青少年读物 Ⅳ .①01-49
中国版本图书馆CIP数据核字（2020）第180451号
著 胡顺鹏
责任编辑 李 宁
责任印制 陈 犇
人民邮电出版社出版发行 北京市丰台区成寿寺路11号
邮编 100164 电子邮件 315@ptpress.com.cn
网址 https://www.ptpress.com.cn
北京瑞禾彩色印刷有限公司印刷
开本：690×970 1/16
印张：14 2021年4月第1版
字数：204千字 2021年4月北京第1次印刷
定价：69.00元
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本书重视关联性。学习的乐趣之一在于知识的关联性。本书以数学概念、数学思维和数学家为关联点，将与关联点相关的星星点点的数学知识联结成系统，尝试引导读者从发散性的思考中寻找乐趣，从系统性的总结中拓展认知。
本书的重点不是分享解题技巧，而是期望展示数学的趣味性。希望读者在汲取校内的数学正餐营养之外，能通过本书多多体验甜点般的数学趣味：洪水决堤可关联到埃及的几何学及中国的勾三股四弦五，童话中糖果屋的故事蕴含着数学中的还原思想，笛卡儿开创性的数学思想受益于他早晨躺在床上冥想……
本书表达了笔者对数学的一种看法。数学不等于解题，它是认识多彩世界的一种角度。从数学角度放眼，可看见许多有用的知识、有趣的想法、传奇的故事，它们在内容上与数学相关，但不囿于数学教材所关注的范畴。数学不只存在于校内课堂，它遍布在更大的世界。
本书以数学为切入点，将趣味性的知识、想法、故事关联成册，适合小学高年级学生和中学生阅读。
“几何”一词译自外文，现在的英文写法是geometry。从构词上看：geo有大地之意，metry有测量之意。流传下来的观点与证据显示：几何的起源与土地测量相关。
若尝试为文明的产生寻找规律，容易发现很多文明具有一个共同特征：起源于大河流域。
文明得以发展，很大程度上依赖于经济的发展——经济基础决定上层建筑。历史进程中，农业在相当长的时间里饰演着独撑经济的角色。一般情况下，地势平坦、土地肥沃、气候温和的地区利于农作物的生长，很多大河流域具有这般利于农业发展的环境优势。
中华文明源自黄河流域，古印度文明源自恒河流域，古巴比伦文明源自幼发拉底河、底格里斯河。同样，古埃及文明得益于尼罗河。
尼罗河流域土地肥沃，原因之一是每隔一定时间，尼罗河便要决堤一次。决堤的河水会将河底富含营养成分的淤泥冲刷到土地之上，周期性地滋养农作物的生长。
像很多利弊平衡的事情一样，这个过程也存在一个问题——河水会送来淤泥滋润土地，但同时也会冲垮原本有序的耕田，甚至冲毁部分土地。例如：原来图坦卡蒙·张三有一片形状很好看的土地，河水决堤之后，他虽然踩陷于沃腴肥美的土地中，却总也笑不起来，因为他再也找不到他家原有土地的界限啦。一次决堤使得古埃及人正常有序的生活受到破坏，极易引起各种矛盾和混乱。
为维护社会正常有序地运转，聪明的古埃及法老会派遣一些专员（他们被称作“司绳”）解决这些问题。他们专门负责重新测量土地、重新分配土地、重新根据土地状况制定税收额等。几何学就这样在测量一块块规则与不规则土地的过程中产生并发展起来。
这是古希腊历史学家希罗多德关于古埃及几何学产生的说法。
古埃及的文献记录显示，用于进行计算的很多数值只取到近似值，这是因为最初数学是为解决实际问题而产生的——实际问题中的很多数值做不到也不需要绝对准确。
在解决实际问题的数学的发展过程中，几何先于代数发展起来。当然，几何并非只研究面积问题，还有非常重要的其他范畴——
角度：三角板中最大的角为90度的直角，正六边形的一个内角为120度，分针每小时旋转360度。
长度：姚明的身高约为226厘米；胡夫金字塔的高度约为146.5米；中国南北两端相距约为5500千米，东西两端相距约为5200千米；地球赤道的周长约为40076千米。
体积：一滴水的体积约为0.05毫升，碗的容积一般为250毫升至600毫升，成年人胃的容积是50毫升至3000毫升，浴缸的容积约为400升。
角度、长度、面积、体积等都是几何学研究的内容。
“几何”二字由徐光启翻译《几何原本》时所创，后人推测是geo的音译。徐光启是明末数学家、农学家、政治家、军事家，如果非要再找一个“家”，那应该是“起名家”—非常擅长起名字的专家。
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● 柏拉图，与老师苏格拉底、学生亚里士多德并称为古希腊三贤，他40岁时，在雅典城外西北角的Akademy创立了“柏拉图学院”—后世高等学术机构（Academy）因此得名。柏拉图学院是西方大学的前身，相传学院的门楣上铭刻着这样一句话：不懂几何者不得入内。
● 在柏拉图学院中，数学是必修的课程，在15年的学制里有10年的时间学生需要学习几何。柏拉图被称为“数学家的缔造者”，学院的毕业生中有许多伟大的古代数学家，如欧多克索斯、欧几里得。
● 《几何原本》又称《原本》，由古希腊数学家欧几里得编著，共13卷，包括公理、公设、定义、命题。
● 《几何原本》的第4个公设是所有直角都相等，它蕴含着这样的深意：几何图形在哪里并不重要，同样的规则适用于空间中的任何地方，与位置无关，即空间是同质的。
● 在《几何原本》中，欧几里得归纳了所有最新的古希腊数学发现和技巧，综合了毕达哥拉斯、柏拉图、欧多克索斯以及其他人的成果。书中严格的演绎和可靠的证明成为后世科学文本的楷模。
● 数学史学家希斯称《几何原本》是“世上最伟大的数学教科书”。
● 哲学家、逻辑学家罗素曾在文章中表示：“我11岁时在哥哥的指导下开始学习《几何原本》，那是我生命中最精彩的一段时光，如同初恋般光彩夺目，我根本无法想象世间还有什么其他事情能如此令人着迷。”
● 1582年，意大利人利玛窦将15卷本版的《原本》带到中国。徐光启与利玛窦合译了前6卷的几何部分，并改《原本》之名为《几何原本》。后9卷由清代数学家李善兰与英国人伟烈亚力翻译。
● 现在几何中的名词平行线、直角、锐角、钝角等，都译自徐光启之手。上海的徐家汇也与徐光启有关。
● 徐光启的后代中有位女士叫倪桂珍，她结婚后育有6个孩子，他们的名字分别是宋霭龄、宋庆龄、宋子文、宋美龄、宋子良、宋子安。
● 巨石阵位于英格兰威尔特郡索尔兹伯里平原。地形考古学家安东尼·约翰逊认为：巨石建筑背后的指导原则并不源于天文学，而是源于几何学。证据显示，巨石阵的建造者们从经验出发，获取了复杂的毕达哥拉斯几何知识，且要比毕达哥拉斯本人早近2000年。
● 阿拉伯地区的数学在三角学、球面数学及地图学上进展巨大，这得益于“朝拜”问题——不论穆斯林身处何处，他们都会朝向圣城麦加祈祷。每一座清真寺建成后，都需要有一个壁龛指向麦加的精确方向。
● 印度数学家擅长三角学，他们意识到：半满月时，地球、月球、太阳构成了一个直角三角形（月球处于直角的位置）。通过角度测量，他们算出地球到太阳的距离是地球到月球距离的400倍。这个数值与现代结果的误差小于3%。
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回味1：“几何”的英文写法是_______________________。
回味2：把“几何”二字译出的人物是明末数学家_______________________。
回味3：埃及有金字塔、狮身人面像，还有一条大河叫_______________________。
世界上有很多心灵手巧的人，他们一出手便与众不同，我们听过他们的名字或见过他们的作品，例如：绘制《星空》的荷兰画家凡·高，设计国家体育场（鸟巢）的瑞士建筑师赫尔佐格、德梅隆，涂鸦伦敦的英国炫酷街头艺术家班克西。
还有一些心灵手巧的人，他们的内心一样丰富，一出手也是脱颖超众，只是我们很少听见他们的名字。但如果仔细观察，便常常能看到他们的“作品”。
他们折叠纸片，能折得异常笔直整齐；
他们系鞋带，能系出一朵花的美感；
他们缝纫衣服，针脚的轨迹像一件艺术品；
他们做晚饭，好看到让人不忍下筷……
巧人常常有，我们偶尔能听到他们的故事。我曾听长辈讲过这样一个故事片段——
有位砌墙的泥瓦工，做事有想法又非常细致，砌墙又快又直，有口皆碑，只可惜错过了上学的时机，没系统地学过数学知识。
有一次他与同事分享工作中的经验，其中一条是，砌相互垂直的墙角时，从一面墙量出30厘米，定个点，再从另一面墙量出40厘米，定个点，如果这两个点的距离是50厘米，就说明这个墙角砌得非常好。
学过小学几何的同学都能或都会知道，他所总结的是数学中一个了不起的定理：勾股定理。
下面简单描述勾股定理的内容：在直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方，即勾2+股2=弦2。
勾股定理的名字不唯一，几种常见的称谓如下——
①勾股定理：古代称较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦。
②商高定理：西周时（约公元前1000），商高提出了勾三股四弦五。
③毕达哥拉斯定理：因古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯（约公元前580—约公元前500）给出具体证明而得此名。
④百牛定理：相传毕达哥拉斯证明出该定理后，斩了一百头牛庆祝，由此得名。
虽然“商高”听起来像“智商很高”的意思，但它确实只是一个人名呀！
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● 商高与周公对话时提到：勾广三，股修四，径隅五（即勾三股四弦五，出自《周髀算经》）。商高告诉周公，这个结论是大禹治水时总结出来的。
● 周公姓姬名旦，是周文王之子，周武王之弟。在周朝的制度中，公为王之下的最高爵位（公、侯、伯、子、男）。
● 三国时，东吴数学家赵爽用著名的弦图（勾股圆方图）证明了勾股定理。
● 毕达哥拉斯是用诗歌的形式描述毕达哥拉斯定理的——
斜边的平方
如果我没有弄错
等于其他两边的
平方之和
● 早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了勾股定理——古巴比伦、古埃及、古印度、古代中国都有历史证据证明它的真实存在。但是，早期的发现者没有将这个事实上升到定理：指出该结论对所有直角三角形都成立，并给出相应的证明。毕达哥拉斯本人是第一个给出几何证明的人，之后他的证明方法被他的追随者中的数学家广为传播。
● 毕达哥拉斯定理是几何学中的定理，但它与数论之间有一个重要联系：直角三角形的三条边可以都是整数，且欧几里得证明了这样的三元数有无数多组。费马进一步思考，提出了猜想——当毕达哥拉斯定理中的平方被更高次方取代时，方程不存在正整数解。这便是后来的“费马大定理”（当整数n大于2时，方程xn+yn=zn不存在正整数解）。
● 定理——在既有命题的基础之上被证明为真的命题。该命题在被证明为真之前，被称为“猜想”；被证明为真之后，被称为“定理”；被证明为假之后，就只被当作一段故事。例如：费马猜想在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明为真后，改称为“费马大定理”。
● 公理——依据人类理性，不证自明的基本事实，即不需要再加以证明的正确命题。它是逻辑的起点，可用来推导其他命题，但不能由其他命题推导得到。
● 毕达哥拉斯学派认为所有数都能表示成整数或整数的比的形式，但毕达哥拉斯的一个学生希帕索斯提出了疑问——边长为1的正方形的对角线，它的长度不能被表示成两个整数的比。
● 希帕索斯的发现导致了数学史上的“第一次数学危机”。因为这一发现颠覆了毕达哥拉斯学派的理论基石，结果希帕索斯被残忍地投入海中溺死了。
● 常见的勾股数有3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41等。
● 勾股数的一种构造方法：任取两个不同的正整数a、b，若a＞b，则2ab、（a2-b2）、（a2+b2）三数可构成一组勾股数。
● 古印度人对勾股定理的描述是这样的：矩形对角线生成的正方形的面积，等于矩形两边各自生成的正方形的面积之和。
● 吠陀语的《绳法经》由古印度数学家波达亚纳写就于公元前8世纪左右，其中就有毕达哥拉斯定理，并列出了毕达哥拉斯三元数（勾股数）。有人认为毕达哥拉斯看过《绳法经》。
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回味1：勾股定理在中国又被称作_______________________。
回味2：勾股定理在外国常被称作_______________________。
回味3：勾股定理的证明方法很多，三国时的赵爽是用_________来证明的。
